Le coin du petit programmeur TP : Algorithme dEuclide
d) Tu peux regarder le script pour te donner une idée de la construction d'un algorithme et du langage Scratch. 3) Construire le script ci-dessous et déterminer
Algorithme dEuclide
Algorithme d'Euclide. François DE MARÇAY. Département de Mathématiques d'Orsay. Université Paris-Sud France. 1. Division euclidienne : École élémentaire.
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Fiche méthode : équations diophantiennes
Résoudre une équation diophantienne
Principe
Résoudre une équation diophantienne se passe en deux ou trois temps1) On détermine un solution particulière ( un ou deux temps)
2) utilisant le théorème de Gauss
Une équation diophantienne est de la forme : ax + by = c avec a , b , c , x et y des entiers relatifs et le but est de trouver (x ;y) . Une équation diophantienne a des solutions si et seulement si c est un multiple de PGCD(a ;b) Pourquoi ? Parce que pour pouvoir utiliser le théorème de Gauss , on a besoin que a et b soient premiers entre eux !On va travailler sur un exemple détaillé
Résoudre : 630 x 1088 y = 20 avec x et y entiers relatifs .Avant de commencer
: à la calculatrice , on détermine PGCD(630 ;1088) = 2 . Comme 20 est un multiple de 2 , il y a des solutions donc on peut poursuivre .Simplifions par 2 :
315 x 544 y = 10
Solution particulière de 315 x 544 y = 1
544 = 315 + 229
315 = 229 + 86
229 = 2(86) + 57
86 = 57 + 29
57 = 29 + 28
29 = 28 +1
Puis , on va " remonter
Fiche méthode : équations diophantiennes
1 = 29 28 = 86 57 (57 29 ) = 86 2( 57) + 29
= 315 229 2 (229 2(86)) + 86 57 = 315 3 (229) + 5 (86) 57 = 315 3 ( 544 315) +5(315 229 ) ( 229 2(86)) = - 3 (544) + 9(315) 6(229) + 2(86) = 9 (315) 3(544) 6 (544 315 )+2(315 229 ) = - 9(544) +17 (315) -2( 229) = - 9 ( 544) +17 ( 315) 2 ( 544 315) = -11 (544) +19( 315)On a donc : 1 = 315 (19) 11 ( 544)
La solution particulière de 315 x 544 y = 1 est donc le couple ( 19 , 11) Faire attention de bien mettre les solutions dans le bon orL:s{quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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