[PDF] 1 Un peu de Maple 2 Méthode dEuler

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T.P. Maple n

o31Nous allons ici tracer las solutions approchées d"une équation différentielle du premier ordre du type :

y ?=F(x,y), avec la condition initiale :y0=y(x0). On ne se pose aucun problème quant à l"existence et l"unicité des solutions.

1 Un peu de Maple

1.1 Des listes

Maple peut manipuler des listes comme :[[X,Y],[X",Y"], ...,[X",Y"]]. qu"on peut mettre dans une variable commePoints L"opérateurop(...)ote les crochets extérieurs d"une liste, ainsi :Points :=[op(Points),[X,Y]]ajoute un point à la liste de pointsPoints...

1.2 Des graphes

plot(Points)engendre le graphe formé des segments de droites reliant les points successifs dePoints.

Celui ci peut au besoin se mettre dans une variable commeAouB...

On regardera aussi l"optioncolor=...deplot.

Les couleurs usuelles sontblack, yellow, red, blue, green... de différencier les graphes.

2 Méthode d"Euler

2.1 La méthode avec un pash

On part d"un pointMde coordonnées (XM,YM) appartenant à la solution approchée.

Le point suivant est le pointEde coordonnées (XE,YE), tel queXE=XM+het tel que le pointEest sur la droite

passant parMde penteF(XM,YM).

Voir la figure ci-dessous.M

XM YM XE YE E h

F??. 1 - Méthode d"EulerOn itère le procédé en partant du point (X0,Y0) et en reprenant à chaque étape le pointEcomme nouveau point

M, autant de fois qu"il le faut pour queXdécrive l"intervalle demandé.Cours de Spé T.S.I. - Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

2T.P. Maple no32.2 Questions

1)Calculer les coordonnées deEen fonction de celles deM, deFet deh.S???????:On a dans l"énoncé :XE=XM+h.

Par ailleurs :YE=YM+hF(XM,YM) puisqueF(XM,YM) est la pente de la droite (ME).2)Ecrire une procédureEulerà 5 paramètres :F, X0, Y0, Xfin et n,

qui calcule la liste desn+1 points de la solution approchée pour les paramètres donnés.

Euler:=proc(F,X0,Y0,Xfin,n)

localXM,YM,XE,YE,h,Points;

XM:=evalf(X0);

YM:=evalf(Y0);

h:=evalf((Xfin-X0)/n);

Points:=[[XM,YM]];

tondo

YE:=YM+h?F(XM,YM);

XE:=XM+h;

Points:=[op(Points),[XE,YE]];

XM:=XE;

YM:=YE

end do; plot(Points)

end proc3)Tracer la solution approchée d"Euler pour l"équation différentielley?=x+yavec (x0,y0)=(0,1)

sur [0,4] avecn=10.

Euler((u,v)->u+v,0,1,4,10);01020304050

1

2344)Tracer sur un même graphe la solution exacte et la solution approchée d"Euler.

S???????:Notons d"abord qu"on obtient facilement la solution exacte de cette équation différentielle

linéaire du premier ordre :y=2ex-x-1.

Sol:=plot(2*exp(x)-x-1,x=0..4):

E:=Euler((u,v)->u+v,0,1,4,10):

display([Sol,E]);Cours de Spé T.S.I. - Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

T.P. Maple n

o33020406080100 1

2343 Méthode de Runge-Kutta d"ordre 2

3.1 La méthode avec un pas deh

En partant du pointMappartenant à la solution approchée de la méthode de Runge-Kutta d"ordre 2, on

construit d"abord le point d"EulerE. On considère le pointRK1, milieu du segment (ME), de coordonnées?XRK1,YRK1?. Le point suivant de la solution approchée est le pointRK2, de coordonnées?XRK2,YRK2?, avec :XRK2=XE=XM+h, et qui, de plus, appartient à la droite passant parMet de penteF?XRK1,YRK1?

Voir la figure ci-dessous.

XMYM XE YE hYRK1 XRK1

XRK2YRK2RK1

RK2M h/2 E

F??. 2 - Méthode de Runge-Kutta d"ordre 2Cours de Spé T.S.I. - Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

4T.P. Maple no3On itère le procédé en partant du point (X0,Y0) et en reprenant à chaque étape le pointEcomme nouveau point

M, autant de fois qu"il le faut pour queXdécrive l"intervalle demandé.

3.2 Questions1)Calculer les coordonnées deRK2en fonction de celles deM, deFet deh.S???????:On a dans facilement :XRK1=XM+h2

Par ailleurs :YRK1=YM+h2

F(XM,YM) puisqueF(XM,YM) est la pente de la droite (ME).

Bien sûr,XRK2=XM+h.

Enfin :YRK2=YM+hF(XRK1,YRK1) puisque la pente de la droite (MRK2) estF(XRK1,YRK1).2)Ecrire une procédureRK2à 5 paramètres :F, X0, Y0, Xfin et n,

qui calcule la liste desn+1 points de la solution approchée pour les paramètres donnés.

RK2:=proc(F,X0,Y0,Xfin,n)

localXM,YM,XRK1,YRK1,XRK2,YRK2,h,Points;

XM:=evalf(X0);

YM:=evalf(Y0);

h:=evalf((Xfin-X0)/n);

Points:=[[XM,YM]];

tondo

YRK1:=YM+1/2?h?F(XM,YM);

XRK1:=XM+1/2?h;

YRK2:=YM+h?F(XRK1,YRK1);

XRK2:=XM+h;

Points:=[op(Points),[XRK2,YRK2]];

XM:=XRK2;

YM:=YRK2

end do; plot(Points)

end proc3)Tracer la solution approchée de Runge-Kutta d"ordre 2 pour l"équation différentielley?=x+yavec

(x0,y0)=(0,1) sur [0,4] avecn=10.

RK2((u,v)->u+v,0,1,4,10);020406080

1

234Cours de Spé T.S.I. - Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

T.P. Maple n

o354)Tracer sur un même graphe la solution exacte, la solution approchée d"Euler et la solution approchée de

Runge-Kutta d"ordre 2.

Rk2:=RK2((u,v)->u+v,0,1,4,10):

display([Sol,E,Rk2]);020406080100 1

2344 Méthode de Runge-Kutta d"ordre 4

4.1 La méthode avec un pas deh

A partir du pointM, on construit les pointE,RK1,RK2. RK

3est le milieu du segment (M,RK2).

Le point suivant de la solution approchée est le pointRK4, de coordonnées?XRK4,YRK4?, avec :XRK2=XE=XM+h, et qui, de plus, appartient à la droite passant parMet de pente : 16

Voir la figure page suivante.

On itère le procédé en partant du point (X0,Y0) et en reprenant à chaque étape le pointEcomme nouveau point

M, autant de fois qu"il le faut pour queXdécrive l"intervalle demandé.

4.2 Questions1)Calculer les coordonnées deRK4en fonction de celles deM, deFet deh.S???????:On a dans facilement :XRK3=XM+h2

Par ailleurs :YRK3=YM+h2

F(XRK1,YRK1) puisqueF(XRK1,YRK1) est la pente de la droite (MRK2).

Bien sûr,XRK4=XM+h.

Enfin :YRK4=YM+16

en utilisant la pente de la droite (MRK4).2)Ecrire une procédureRK4à 5 paramètres :F, X0, Y0, Xfin et n,Cours de Spé T.S.I. - Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

6T.P. Maple no3XMYM

XE E YE hYRK1 XRK1 XRK2

XRK4YRK2

YRK4

XRK3h/2

RK1 M RK2

RK4RK3F??. 3 - Méthode de Runge-Kutta d"ordre 4qui calcule la liste desn+1 points de la solution approchée pour les paramètres donnés.

RK4:=proc(F,X0,Y0,Xfin,n)

XM:=evalf(X0);

YM:=evalf(Y0);

h:=evalf((Xfin-X0)/n);

Points:=[[XM,YM]];

tondo

YRK1:=YM+1/2?h?F(XM,YM);

XRK1:=XM+1/2?h;

YRK2:=YM+h?F(XRK1,YRK1);

XRK2:=XM+h;

YRK3:=YM+1/2?h?F(XRK1,YRK1);

XRK3:=XM+1/2?h;

YRK4:=YM+

XRK4:=XM+h;

Points:=[op(Points),[XRK4,YRK4]];

XM:=XRK4;

YM:=YRK4

end do; plot(Points) end proc

Cours de Spé T.S.I. - Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

T.P. Maple n

o373)Tracer la solution approchée de Runge-Kutta d"ordre 4 pour l"équation différentielley?=x+yavec

(x0,y0)=(0,1) sur [0,4] avecn=10.

RK4((u,v)->u+v,0,1,4,10);020406080100

1

2344)Tracer sur un même graphe la solution exacte, la solution approchée d"Euler, la solution approchée de

Runge-Kutta d"ordre 2 et la solution approchée de Runge-Kutta d"ordre 4.

Rk4:=RK4((u,v)->u+v,0,1,4,10):

with(plots): display([Sol,E,Rk2,Rk4]);020406080100 1

confondues, la solution de Runge-Kutta d"ordre 4 et la solution exacte.Cours de Spé T.S.I. - Christophe Caignaert - Lycée Colbert - 59200 Tourcoing - http://c.caignaert.free.fr

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