Analyse Numérique
dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . 18. 2.2.2.2 Méthode de la sécante ... Exercice 1.4 Trouver une méthode pour calculer : sin (α + x) − sin α.
TP2 : f(x)=0
Exercice 2. On souhaite utiliser la méthode de dichotomie pour calculer. /. 2. 1. Proposer une fonction f : [02] → R continue avec f(0) < 0 < f(2) et telle
Analyse Numérique - Corrigé du TD 5
méthode de dichotomie produit une suite de sous-intervalles In = [anbn]
Méthodes numériques
2.5 Corrigés des exercices Figure 1 : Principe de la méthode de Dichotomie. 1.3.1.2 Convergence et estimation de l'erreur. Pour montrer que la méthode de ...
SMP3 : ANALYSE NUMÉRIQUE ET ALGORITHMIQUE
Exercice 1 : La méthode de la Dichotomie : Recherche de la racine x de l'équation f(x)=0 dans l'intervalle [a b] (x est la seule racine dans [a
Corrige de l exercice sur la dichotomie
Corrigé exercice Dichotomie. Corrigé exercice 2 Méthode de dichotomie pour la résolution d'une équation. 0. = )x(f. Théorème : Soit f est une fonction continue
DICHOTOMIE
On a représenté ci-dessous la fonction f définie par ( ) = − 7 . L'objectif est de déterminer sur l'intervalle [2 ; 4]
Module : Méthodes numériques et programmation
Dans ce polycopié de cours chaque section est suivie d'exercices corrigés de façon détaillée. METHODE␣DE␣DICHOTOMIE'). Les sorties renvoyées par ce script ...
Travaux Pratiques Méthodes Numériques
méthode de dichotomie la méthode de point fixe et la méthode de Newton jusqu'à la ... Exercices pratiques corriges d'algèbre linéaire
Analyse Numérique
Rappeler la méthode de dichotomie qui permet d'approcher ce zéro de f. Par suite d'apr`es l'exercice 1
Analyse Numérique
1.5 Exercices du chapitre 1 . 2.2.2.1 Méthode de dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . 18 ... 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés .
USTV 2011/2012
10 mai 2012 Recueil d'exercices corrigés ... les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi) produisent une suite de ...
TP2 : f(x)=0
Les exercices de cette séance de travaux pratiques seront résolus `a l'aide La méthode de dichotomie pour trouver la solution d'une équation f(x) = 0 ...
Corrige de l exercice sur la dichotomie
par la méthode de Dichotomie. Corrigé : n an bn M=(an+bn)/2 f(an).
Chapitre 1: Résolution déquations à laide de méthodes
La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles Exercice 1.2 1) Montrer que chaque équation suivante n'admet qu'une solution.
Résolution déquations non linéaires £ ¢ ¡ Exercice 4.1 Correction
et on pose xk+1 = ak + bk. 2 . Figure 3 – Étude graphique de la convergence (méthode de dichotomie). • Méthode de Newton xk+1 = xk ?.
Cours de mathématiques - Exo7
Plus précisément nous allons voir trois méthodes afin de trouver des approximations des solutions d'une équation du type (f (x) = 0). 1. La dichotomie.
1 Algorithme de dichotomie
TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie et Suites. TS. 1 Algorithme de dichotomie. Exercice 1. Etude d'une fonction auxiliaire f et de solutions approchées
SMP3 : ANALYSE NUMÉRIQUE ET ALGORITHMIQUE
Exercice 1 : La méthode de la Dichotomie : Recherche de la racine x de l'équation f(x)=0 dans l'intervalle [a b] (x est la seule racine dans [a
1 Algorithme de dichotomie
Exercice 1Etude d"une fonction auxiliaire f et de solutions approchées d"équations par dichotomie
Soitfla fonction définie surRparf(x)=x3-3x2+5.
1.Etudier les variations defsurR.
2.Dresser le tableau de variation complet defen justifiant les calculs de limites aux bornes.
3.Justifier que l"équation (E1) :f(x)=0 possède une unique solutionαdans [-2;-1] et que c"est même
l"unique solutionde l"équation (E1) dansR.
4.Appliquer à la main l"algorithme de dichotomie (voir Algorithme 1) avec les valeurs initialesa= -2 et
b= -1 pour déterminer un encadrement deαd"amplitude 0,1. On complétera le tableau en Annexe 2
avec les valeurs des variables en entrée de la boucle Tant Que. Combien d"étapes sont nécessaires? Pouvait-on le prévoir?5.Télécharger le fichier DICHOTOMIE14ELEVE.ALGsur mon site et compléter l"algorithmede Dichotomie
pour cette fonction avecAlgobox.6.Tester cet algorithme en partant dea= -2 etb= -1 pour obtenir un encadrement deαd"amplitude
0,001.
7.Compléter l"algorithmepour qu"il affiche en sortie le nombre d"étapes nécessaires.
8.Justifier que l"équation (E2) :f(x)=10 possède une unique solutionβsur ]-∞;+∞[ et déterminer le
plus grand entier relatifntel quen<βAlgorithme 1Dichotomie
Entrée(s)a,b,precision
tant que|a-b| >precisionfaire a+b2→m
sif(a)×f(m)?0alors m→b sinon m→a fin du si fin du tant queSortie(s)a,b
Page 1/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTSEtapeabm
1 2Exercice 2Etude d"une fonction g
Soitgla fonction définie surR-{0} parg(x)=1
2? x2-6x-10x?
1.Justifier quegest dérivable surR-{0} et démontrer queg?est du même signe que la fonctionfétudiée
dans la partie A.2.En déduire l"étude des variations de la fonctiong.
3.Dresser le tableau de variation complet degen justifiant les calculs de limites aux bornes.
4.Justifier que l"équation (E2) :g(x)=0 possède une unique solution dans]0;+∞[et déterminer une
valeur approchée de cette solution à 0,1 près avec une méthode par balayage. (Détailler les étapes).
2 Suites récurrentes
Exercice 3
On considère la suite
(un)définie paru0=1 et, pour tout entier natureln, u n+1=? 2un.1.Compléter l"algorithme2 pour qu"il retourne le terme de rangnde la suite(un):
a.Programmer cet algorithme avec Algobox et donner une valeurapprochée à 10-4près du résultat
qu"il affiche lorsque l"on choisitn=3.b.Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées obtenues à l"aide de cet algorithmepour cer-
taines valeurs den. n15101520Valeur affichée1,41421,95711,99861,99991,9999
Page 2/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite(un)?Algorithme 2
Variables :nest un entier naturel
iest un entier naturel uest un réel positifInitialisation: Demander la valeur den
Affecter àula valeur 1
Traitement : Pourivariant de 0 à ... :
| Affecter àula valeur ...Fin de Pour
Sortie : Afficheru
2. a.Etudier les variations de la fonctionf:x?→?2xsur[0; 2].
b.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 0Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour tout entier natureln, u n+1=2un+vn3etvn+1=un+3vn4.
PARTIE A
Compléter l"algorithme3 pour qu"il calcule les termesde rangn(saisi par l"utilisateur)des suites(un)et(vn):
Programmer cet algorithmeavec Algobox puis l"exécuter en saisissantN=2. Recopier et compléter le tableau
donné ci-dessous donnant l"état des variables au cours de l"exécution de l"algorithme. KWUV 0 1 2Algorithme 3
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterW+3V4àVFin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin Page 3/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS PARTIE B
1. a.Montrer que pour tout entier natureln,vn+1-un+1=5
12(vn-un).
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. Montrer que pour tout entier natureln,wn=8?5
12? n 2. a.Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décroissante.
b.Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturelnon aun?10 et v n?2. c.En déduire que tes suites(un)et(vn)sont convergentes. 3.Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.
4.Montrer que la suite(tn)définie partn=3un+4vnest constante.
En déduire que la limite commune des suites
(un)et(vn)est46 7. Page 4/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS Corrigé 1exo 2
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn 3etvn+1=un+3vn4
PARTIE A
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIE B
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géométrique de raison5 12et de
premier termew0=v0-u0=10-2=8. D"après le cours (formeexplicited"unesuitegéométrique)on peut dire que, pour tout entier natu-
reln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On a vu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ; on peut en déduire que pour toutn,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. Page 5/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à-direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
eqslantv n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théorème, la suite(vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn), définie parwn=vn-un, est convergente comme différence de deux suites convergentes,
et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut dire que la suite(wn)est
convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites(un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Lessuites
est convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Page 6/6
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
AffecterW+3V4àVFin tant que
AfficherU
AfficherV
FinPage 3/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTSPARTIE B
1. a.Montrer que pour tout entier natureln,vn+1-un+1=5
12(vn-un).
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un.Montrer que pour tout entier natureln,wn=8?5
12? n2. a.Démontrer que la suite(un)est croissante et que la suite(vn)est décroissante.
b.Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturelnon aun?10 et v n?2. c.En déduire que tes suites(un)et(vn)sont convergentes.3.Montrer que les suites(un)et(vn)ont la même limite.
4.Montrer que la suite(tn)définie partn=3un+4vnest constante.
En déduire que la limite commune des suites
(un)et(vn)est46 7.Page 4/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTSCorrigé 1exo 2
Soient deux suites
(un)et(vn)définies paru0=2 etv0=10 et pour toutn?Npar u n+1=2un+vn3etvn+1=un+3vn4
PARTIE A
Variables :Nest un entier
U,V,Wsont des réels
Kest un entier
Début :Affecter 0 àK
Affecter 2 àU
Affecter 10 àV
SaisirN
Tant queK AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
Fin État des variables :
KWUV 0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIE B
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn 4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géométrique de raison5 12et de
premier termew0=v0-u0=10-2=8. D"après le cours (formeexplicited"unesuitegéométrique)on peut dire que, pour tout entier natu-
reln,wn=8?5 12? n 2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On a vu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ; on peut en déduire que pour toutn,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0. Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn 4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn. Donc la suite
(vn)est décroissante. Page 5/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à-direvn>un. La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10. Pour tout entier natureln,vn>un
eqslantv n?10? =?un?10. La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2. Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. la suite (un)est convergente vers un réel?u. La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théorème, la suite(vn)est convergente vers un réel?v. 3.La suite(wn), définie parwn=vn-un, est convergente comme différence de deux suites convergentes,
et sa limite est égale à?v-?u. Or la suite
(wn)est géométrique de raison5 12et-1<512<1; donc on peut dire que la suite(wn)est
convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites(un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?. 4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t 0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46. Lessuites
est convergente vers 3?+4?=7?. La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7. La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7. Page 6/6
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
AffecterK+1 àK
AffecterUàW
Affecter2U+V3àU
AffecterW+3V4àV
Fin tant que
AfficherU
AfficherV
FinÉtat des variables :
KWUV0210
1214/38
214/352/943/6
PARTIE B
1. a.Pour tout entier natureln,
v n+1-un+1=un+3vn4-2un+vn3=3(un+3vn)12-4(2un+vn)12
3un+9vn-8un-4vn
12=5vn-5un12=512(vn-un)
b.Pour tout entier naturelnon posewn=vn-un. D"après la question précédente, on peut dire que la suite (wn)est géométrique de raison512et de
premier termew0=v0-u0=10-2=8.D"après le cours (formeexplicited"unesuitegéométrique)on peut dire que, pour tout entier natu-
reln,wn=8?5 12? n2. a.un+1-un=2un+vn
3-3un3=2un+vn-3un3=vn-un3=wn3
On a vu que, pour toutn,wn=8?5
12? n ; on peut en déduire que pour toutn,wn>0 et donc que, pour toutn,un+1-un>0.Donc la suite
(un)est croissante. v n+1-vn=un+3vn4-4vn4=un+3vn-4vn4=un-vn4=-wn4
Et commewn>0, on peut dire quevn+1-vn<0 pour toutn.Donc la suite
(vn)est décroissante.Page 5/6
F.JUNIER 2014/2015TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie etSuitesTS b.On a vu que, pour toutn,wn>0; donc, pour toutn,vn-un>0 c"est-à-direvn>un.La suite
(vn)est décroissante donc, pour toutn,vn?v0??vn?10.Pour tout entier natureln,vn>un
eqslantv n?10? =?un?10.La suite
(un)est croissante donc pour toutn,un?u0??un?2.Pour tout entier natureln,vn>un
u n?2? =?vn?2. la suite (un)est convergente vers un réel?u.La suite
(vn)est décroissante minorée par 2 donc, d"après ce même théorème, la suite(vn)est convergente vers un réel?v.3.La suite(wn), définie parwn=vn-un, est convergente comme différence de deux suites convergentes,
et sa limite est égale à?v-?u.Or la suite
(wn)est géométrique de raison512et-1<512<1; donc on peut dire que la suite(wn)est
convergente vers 0. La limite d"une suite est unique donc?v-?u=0 et donc?v=?u; les suites(un)et(vn)ont donc la même limite qu"on appelle?.4.tn+1=3un+1+4vn+1=3×2un+vn
3+4×un+3vn4=2un+vn+un+3vn
=3un+4vn=tndonc la suite(tn)est constante. t0=3u0+4v0=3×2+4×10=6+40=46
Comme la suite
(tn)est constante, pour toutn,tn=t0=46; la suite(tn)est donc convergente vers 46.Lessuites
est convergente vers 3?+4?=7?.La limite d"une suite est unique donc 7?=46???=46
7.La limite commune des suites
(un)et(vn)est donc46 7.Page 6/6
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] méthode de dichotomie python
[PDF] Methode de dissertation
[PDF] Méthode de dissertation HELP
[PDF] Méthode de factorisation
[PDF] methode de factorisation d'un polynome
[PDF] methode de gauss (systeme lineaire)
[PDF] méthode de gauss jordan exercices corrigés
[PDF] méthode de gauss matrice
[PDF] méthode de gauss matrice pdf
[PDF] methode de gauss resolution systeme
[PDF] méthode de gestion du temps pdf
[PDF] methode de horner
[PDF] methode de l'anthropologie
[PDF] méthode de la sécante exercice corrigé
