Analyse Numérique
dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . 18. 2.2.2.2 Méthode de la sécante ... Exercice 1.4 Trouver une méthode pour calculer : sin (α + x) − sin α.
TP2 : f(x)=0
Exercice 2. On souhaite utiliser la méthode de dichotomie pour calculer. /. 2. 1. Proposer une fonction f : [02] → R continue avec f(0) < 0 < f(2) et telle
Analyse Numérique - Corrigé du TD 5
méthode de dichotomie produit une suite de sous-intervalles In = [anbn]
Méthodes numériques
2.5 Corrigés des exercices Figure 1 : Principe de la méthode de Dichotomie. 1.3.1.2 Convergence et estimation de l'erreur. Pour montrer que la méthode de ...
SMP3 : ANALYSE NUMÉRIQUE ET ALGORITHMIQUE
Exercice 1 : La méthode de la Dichotomie : Recherche de la racine x de l'équation f(x)=0 dans l'intervalle [a b] (x est la seule racine dans [a
Corrige de l exercice sur la dichotomie
Corrigé exercice Dichotomie. Corrigé exercice 2 Méthode de dichotomie pour la résolution d'une équation. 0. = )x(f. Théorème : Soit f est une fonction continue
DICHOTOMIE
On a représenté ci-dessous la fonction f définie par ( ) = − 7 . L'objectif est de déterminer sur l'intervalle [2 ; 4]
Module : Méthodes numériques et programmation
Dans ce polycopié de cours chaque section est suivie d'exercices corrigés de façon détaillée. METHODE␣DE␣DICHOTOMIE'). Les sorties renvoyées par ce script ...
1 Algorithme de dichotomie
(Détailler les étapes). 2 Suites récurrentes. Exercice 3. On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et pour
Travaux Pratiques Méthodes Numériques
méthode de dichotomie la méthode de point fixe et la méthode de Newton jusqu'à la ... Exercices pratiques corriges d'algèbre linéaire
Analyse Numérique
Rappeler la méthode de dichotomie qui permet d'approcher ce zéro de f. Par suite d'apr`es l'exercice 1
Analyse Numérique
1.5 Exercices du chapitre 1 . 2.2.2.1 Méthode de dichotomie (ou bisection) . . . . . . . . . . 18 ... 4.4.2.5 Méthode des trapèzes corrigés .
USTV 2011/2012
10 mai 2012 Recueil d'exercices corrigés ... les méthodes de dichotomie et de LAGRANGE (appelée aussi Regula falsi) produisent une suite de ...
TP2 : f(x)=0
Les exercices de cette séance de travaux pratiques seront résolus `a l'aide La méthode de dichotomie pour trouver la solution d'une équation f(x) = 0 ...
Corrige de l exercice sur la dichotomie
par la méthode de Dichotomie. Corrigé : n an bn M=(an+bn)/2 f(an).
Chapitre 1: Résolution déquations à laide de méthodes
La méthode de dichotomie consiste à construire une suite d'intervalles Exercice 1.2 1) Montrer que chaque équation suivante n'admet qu'une solution.
Résolution déquations non linéaires £ ¢ ¡ Exercice 4.1 Correction
et on pose xk+1 = ak + bk. 2 . Figure 3 – Étude graphique de la convergence (méthode de dichotomie). • Méthode de Newton xk+1 = xk ?.
Cours de mathématiques - Exo7
Plus précisément nous allons voir trois méthodes afin de trouver des approximations des solutions d'une équation du type (f (x) = 0). 1. La dichotomie.
1 Algorithme de dichotomie
TP INFO n° 2 : Algorithme de dichotomie et Suites. TS. 1 Algorithme de dichotomie. Exercice 1. Etude d'une fonction auxiliaire f et de solutions approchées
SMP3 : ANALYSE NUMÉRIQUE ET ALGORITHMIQUE
Exercice 1 : La méthode de la Dichotomie : Recherche de la racine x de l'équation f(x)=0 dans l'intervalle [a b] (x est la seule racine dans [a
Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 5EXERCICE 1
M´ethode des approximations successives, ordre de convergence SoientIun intervalle ferm´e deR,g:I→Iune fonction assez r´eguli`ere admettant un point fixel?Ii.e.g(l) =l. On consid`ere une suite des it´er´es suivante ?x0?Idonn´e,
x n+1=g(xn),?n≥0.(1.1) a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite(xn)n≥0. b. Calculer l"erreuren=xn-let donner une condition pour que la m´ethode du point fixe(1.1)soit d"ordrep≥1. On a e n+1=xn+1-l =g(xn)-g(l) = (xn-l)g?(l) +...+(xn-l)p-1(p-1)!g(p-1)(l) +(xn-l)pp!g(p)(cn),(1.2) o`ucnest un r´eel compris entrexnetl. On trouve que la m´ethode des approximations successives converge `a l"ordrepsous la condition : g(k)(l) = 0,?k= 1,...,p-1,pourp >1, et g (p)(l)?= 0,pourp≥1,(1.3) car sous les hypoth`eses (1.3) on a : lim n→+∞x n+1-l(xn-l)p= limn→+∞1p!g(p)(cn) =1p!g(p)(l)?= 0. Cas o`up= 2. En posantM= supx?I???g??(x)???, on peut ´ecrire ??xn-l???2, 1Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009ce qui peut s"´ecrire encore M2 ??xn-l???? 2Par r´ecurrence surn, on trouve
M2 ??x0-l???? 2n10-2n.
Ce qui montre qu"`a chaque it´eration le nombre de d´ecimales exactes double en th´eorie.EXERCICE 2Formules et illustrations graphiques des m´ethodes it´eratives de
recherche des z´eros d"une fonctionOn recherche un z´ero d"une fonction r´eguli`eref:I→Io`uIun intervalle
ferm´e deR.2.1 M´ethode de dichotomie
Rappeler la m´ethode de dichotomie qui permet d"approcher ce z´ero def.Faites une illustration graphique.
La m´ethode de dichotomie est bas´ee sur le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 2.1.Soit[a,b]un intervalle ferm´e deRetf: [a,b]→Rune fonction continue.Sif(a)f(b)<0alors?α?]a,b[tel quef(α) = 0.
On se donne un intervalleI0= [a,b] contenant le z´eroαque l"on veut approcher. La m´ethode de dichotomie produit une suite de sous-intervallesIn= [an,bn],n≥0, avec I n+1?Inet tel quef(an)f(bn)<0. En particulier, on prenda0=a,b0=betx0= a 0+b02 et pourn≥0 :on posean+1=an, bn+1=xnsif(an)f(xn)<0, ouan+1=xn, bn+1=bnsif(xn)f(bn)<0, etxn+1=an+1+bn+12 .(2.1) 2Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/20092.2 M´ethode de Newton On consid`ere maintenant la m´ethode de Newton pour rechercher ce z´ero. a. ´etablir sa formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor; b. faire un dessin pour illuster la m´ethode. a.Par la formule en utilisant un d´eveloppement de Taylor On se donnex0. Pourn≥0, on ´ecrit la formule de Taylor def(xn+1enxn, soit f(xn+1) =f(xn) +f?(xn)(xn+1-xn) + (xn+1-xn)ε(xn+1),(2.2) avec lim xn+1→xnε(xn+1) = 0. On n´eglige le terme (xn+1-xn)ε(xn+1), on suppose quef?(xn) inversible et on cherche x n+1tel quef(xn+1) = 0, d"o`u la m´ethode de Newton ?x0donn´e,
x n+1=xn-f(xn)f ?(xn),?n≥0. b.G´eom´etriquementxn+1est l"abscisse du point d"intersection de la tangente enxn`a la courbe defet l"axe des abscisses.EXERCICE 3Un exemple
3.1Soit l"´equation
x=e-x,x?[0,+∞[.(3.1) a. On consid`ere la m´ethode it´erative suivante ?x0?[0,+∞[ donn´e,
x n+1=e-xn,?n≥0.(3.2) Montrer que la m´ethode(3.2)est convergente six0est bien choisi. Donner dans ce cas l"ordre de convergence.Posonsg(x) =e-x.
Clairement 0 n"est pas solution de l"´equation (3.1). Pourx?]0,+∞[,g?(x) =-e-x, donc |g?(x)|<1 ce qui implique quegest contractante sur ]0,+∞[. Comme ]0,+∞[ est unouvert, le th´eor`eme du point fixe ne s"applique pas. Il faut trouver un ferm´e [a,b]?]0,+∞[,
tel queg([a,b])?[a,b]. 3Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
g([1/10,1])?[1/10,1] par continuit´e degsur [1/10,1]. Comme|g?(x)|<1 sur le ferm´e [1/10,1] de ]0,+∞[, on peut appliquer le th´eor`eme du point fixe. Il existel?[1/10,1] tel quel=g(l).Ordre de convergence
Commeg?(c) =-e-c?= 0, la m´ethode est convergente `a l"ordre 1. b. Appliquer la m´ethode de Newton `a l"´equation(3.1)et montrer que la convergence est quadratique. Pour appliquer la m´ethode de Newton `a l"´equation (3.1), on poseh(x) =x-e-x. Comme h ?(x) = 1 +e-x?= 0 sur ]0,+∞[, la m´ethode de Newton pour l"´equationh(x) = 0 s"´ecrit ??x0?[110
,1] donn´e, x n+1=xn-h(xn)h ?(xn),?n≥0, ou encore ?x0?[110
,1] donn´e, x n+1=xn-xn-e-xn1 +e-xn,?n≥0.Ordre de convergence
La fonctionh(x) =x-e-xestC2. Soitαla racine dehque l"on souhaite approcher par la m´ethode de Newton. Cette m´ethode peut se mettre sous la forme : ?x0donn´e,
x n+1=φ(xn),?n≥0, o`uφest donn´ee parφ(x) =x-h(x)h
?(x). On a ?(x) = 1-(h?(x))2-h(x)h??(x)(h?(x))2=h(x)h??(x)(h?(x))2. et donc ?(α) =h(α)h??(α)(h?(α))2= 0, carh(α) = 0. 4Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009De l"expression de la d´eriv´ee seconde ??(x) =(h?(x))3h??(x) +h(x)h(3)(x)(h?(x))2-2h(x)h?(x)(h??(x))2(h?(x))4, il vient ??(α) =h??(α)h ?(α)=-e-α1 +e-α?= 0. Par suite, d"apr`es l"exercice 1, la convergence de la m´ethode de Newton est quadratique pour l"´equationx=e-x,x?[0,+∞[. 3.2 Montrer que l"´equationx=-ln(x),x?]0,+∞[admet une solution unique.Montrer que la m´ethode it´erative
?x0?]0,+∞[ donn´e,
x n+1=-lnxn,?n≥0,(3.3) diverge. Proposer une m´ethode d"approximation de la solution.Posonsf(x) =-ln(x).
La fonctionfest d´erivable sur ]0,+∞[ et sa fonction d´eriv´ee estx?→f?(x) =-1/x. La
fonctionfest donc d´ecroissante sur ]0,+∞[. Comme limx→0f(x) = +∞etf(1) = 0, le point
fixe defsur l"intervalle ]0,+∞[ est localis´e dans le segment ouvert ]0,1[. Sur le segment ouvert ]0,1[, on a|f?(x)|>1, mˆeme en prenant un intervalle ferm´e [a,b]?]0,1[, la suite (xn)n≥0construite `a partir de la formule (3.3) diverge. En effet, pourn≥0,
il existe un r´eelξentrexnetltel que x n+1-l=f(xn)-f(l) =f?(ξ)(xn-l), et doncPar r´ecurrence on obtient
???xn-l???>???xn-1-l???> ... >???x1-l???>???x0-l???.D"o`u la m´ethode it´erative (3.3) diverge.
Une autre m´ethode d"approximation de la solution On cherche `a r´esoudrex=-ln(x) sur ]0,+∞[. En prenant l"exponentielle de cette derni`ere´egalit´e on obtient
x=e-x,x?[0,+∞[. C"est l"´equation (3.1) du d´ebut de cet exercice. La m´ethode (3.1) permet d"approcher la solution de l"´equationx=-ln(x) sur ]0,+∞[. 5Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009EXERCICE 4Points fixes attractif, r´epulsif
SoientIun intervalle ferm´e deR,φ:I→Iune fonctionC1(I)admettant un point fixea?Ii.e.φ(a) =a. On consid`ere une suite des it´er´es suivante ?x0?Idonn´e,
x n+1=φ(xn),?n≥0.(4.1) a. On suppose que|φ?(a)|<1.Soitktel que|φ?(a)|< k <1. Montrer que :
x?→φ?(x) est continue ena:En prenantε=k- |φ?(a)|>0, on a
Par in´egalit´e triangulaire, on trouve
Ce qui donne le r´esultat demand´e.
Prouver queφ([a-h,a+h])?[a-h,a+h]et que?x0?[a-h,a+h], la suite (xn)n≥0donn´ee par la formule(4.1)converge versa. On a •φest continue sur [a-h,a+h]; •φest d´erivable sur [a-h,a+h];D"apr`es le th´eor`eme des accroissements,
Commeφ(a) =a, la relation (4.3) s"´ecrit
ce qui signifie queφ([a-h,a+h])?[a-h,a+h].
6Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Convergence de la suite(xn)n≥0dans[a-h,a+h]pourx0?[a-h,a+h]
L"intervalle [a-h,a+h] est un ferm´e deR, c"est un espace complet. Commeφ([a-h,a+ h])?[a-h,a+h] etφest une application contractante de rapport 0< k <1, la suite des it´er´es ayant pour valeur initialex0?[a-h,a+h] converge vers le pointa?[a-h,a+h]. b. On suppose|φ?(a)|>1. Peut-on utiliser l"algorithme(4.1)pour approchera? Puisque|φ?(a)|>1, si applique l"algorithme (4.1) `aφpour approchera, la m´ethode diverge (voir l"exercice 3.2). On montre `a pr´esent que l"on peut quand mˆeme utiliser l"algorithme(4.1)pour approcher a. Comme la fonctionx?→φ?(x) est continue ena, •Siφ?(a)>0, alors on prendε=φ?(a)2 et doncφ?(a)2 i.e. ?h >0?x?[a-h,a+h], φ?(x)>0 tout commeφ?(a).(4.6) •Siφ?(a)<0, alors on prendε=-φ?(a)2 et donc3φ?(a)2 i.e. ?h >0?x?[a-h,a+h], φ?(x)<0 tout commeφ?(a).(4.7) Tout ceci pour dire que?h >0 tel queφ?a le mˆeme signe queφ?(a)?= 0 sur [a-h,a+h]. Sur [a-h,a+h],φest donc une bijection et on peut d´efinirφ-1.Comme (φ-1)?(φ(a)) = 1/φ?(a) etφ(a) =a, on a (φ-1)?(a) = 1/φ?(a). De (φ-1)?(a) =
1/φ?(a)<1, on peut appliquer lea.de cet exercice `aφ-1pour approchera.
c. On suppose maintenant que|φ?(a)|= 1. En prenantφ(x) = sin(x),x?[0,π/2],a= 0puisφ(x) =sh(x),x?[0,+∞[,a= 0, conclure.Cas o`uφ(x) = sin(x),x?[0,π/2],a= 0
On aφ(0) = 0 donc 0 est point fixe deφ(x) = sin(x) sur [0,π/2]. On a ´egalement |φ?(0)|= cos(0) = 1 et?x?]0,π/2],|φ?(x)|=|cos(x)|<1, donc la m´ethode des it´er´es successifs converge?x0?]0,π/2] et m˜Aame pourx0= 0. 7Universit´e de Nice Sophia-Antipolis
Licence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009Cas o`uφ(x) = sh(x),x?[0,+∞[,a= 0 On aφ(0) = 0 donc 0 est point fixe deφ(x) = sh(x) sur [0,+∞[. On a aussi|φ?(0)|=ch(0) = 1. Enfin?x?]0,+∞[,|φ?(x)|= ch(x)>1, donc la m´ethode des it´er´es successifs
diverge?x0?]0,+∞[. En conclusion, le cas o`u le point fixeav´erifie|φ?(a)|= 1 est douteuxi.e.dans lequel l"on ne peut pasa priorid´eterminer le comportement de la suite des it´er´es successifs.Vocabulaire
Soitaun point fixe d"une fonctionφi.eφ(a) =a. On suppose queφestC1au moins. Si|φ?(a)|<1alors on dit queaest un point fixeattractif. Si|φ?(a)|>1alors on dit queaest un point fixer´epulsif. 8quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] méthode de dichotomie python
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