[PDF] Déplacement et méthodes rapides de factorisation des matrices

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Ax=b???

lim k!+1x(k)=x=A1b kr(k)k=kbAx(k)k ??????A;B;C2Mn(K)? ????? ?? ? ? A=BC a ij= 0 (x n=bna nn x i=biPn j=i+1aijxja ii????i2Jn1;1K ??x(n) =b(n)A(n;n) ??????i=n1?1????? ?? = 0 ??????j=i+ 1?n????? ?? = +A(i;j)x(j) ??x(i) =b(i)A(i;i) (x1=b1a 11 x i=b iPi1 j=1aijxja ii????i2J2;nK ??x(1) =b(1)A(1;1) ??????i= 2?n????? ?? = 0 ??????j= 1?i1????? ?? = +A(i;j)x(j) ??x(i) =b(i)A(i;i)

Ux=bb???

A=LU LUx=b Ly=b Ux=y ??????A? A i??? ??? ???? ??????? ????? ???I=J1;iK????1in? P A i1=L(i1)U(i1)??8k2J1;i1K; l(i1) kk= 1 ????i2N??? ???Pi1???? ?????? ??????? ?? ??????? ???Pi??? ?????? A i=Ai1c d Taii A i=Ai1c d Taii =L(i)U(i)=E0 f T1 Gh 0 Tuii A i1=EG Eh=c f TG=dT f

Th+uii=aii

E=L(i1)

G=U(i1)

A i=L(i1)0 f T1

U(i1)h

0 Tuii L (i1)h=c f

TU(i1)=dT

????i2J1;n1K;lii= 1? ?? ? ?????? ????i2J1;n1K?Ai=L(i)U(i)????? det(Ai) =det(L(i))det(U(i)) = (iY k=1l kk)det(U(i)) =det(U(i)) =iY k=1u kk??? A PA=LU

PAQ=LU

??????k= 1?n1????? ????A(k;k)6= 0????? ??????i=k+ 1?n????? ??A(i;k) =A(i;k)=A(k;k) ??????j=k+ 1?n????? ??????i=k+ 1?n????? ??A(i;j) =A(i;j)A(i;k)A(k;j)

A=LDMT

LDM Tx=b Ly=b Dz=y M Tx=z ij=(

1??i=j

0??i6=j? ?? ? ?????ij=(

1??ij

0??i > j

???A????? ???mii=lii= 1?8i2J1;nK??? ??????? ?? ?? ?? ?????D2Mn(K)????? ??? ?

D=diag(u11;:::;unn)

D

1=diag(1u

11;:::;1u

nn)

A=LU=LDD1U

M T=D1U M

Tij=nX

k=1D 1 ikUkjk=ikj jX k=1D 1 ikUkjk=i jX k=11U ikUkjk=i UijU ii M

Tii=iX

k=11U ikUkik=i=UiiU ii= 1 ??????k= 1?n1????? ????A(k;k)6= 0????? ??????i=k+ 1?n????? ??A(i;k) =A(i;k)=A(k;k) ??????j=k+ 1?n????? ??????i=k+ 1?n????? ??A(i;j) =A(i;j)A(i;k)A(k;j) ???????i= 1?n1????? ???????j=i+ 1?n????? ???A(i;j) =1A(i;i)A(i;j)

A=LDLT

x

TAx >0

A=BBT BB Tx=b By=b B Tx=y ???????x? A=BBT

A=B1BT1=B2BT2???

B

12B1=BT2(BT1)1

D=B12B1???

B 1=B2D B

2BT2=B1BT1= (B2D)(B2D)T=B2DDTBT2

DD

T=D2=In

d ii= 1????D=In???? ??????? ??? B

1= (B12)1=B2

8i2J1;nK;iY

k=1u kk=det(Ai)>0 ?? ???? ???? ?? ??????D2Mn(K)??? ???

D=diag(pu

11;:::;pu

nn)????D1=diag(1pu

11;:::;1pu

nn)

A=LDD1U

B=LD??C=D1U??? ???????A=BC

A=AT= (BC)T=CTBT=BC????CTBT=BC

C(BT)1=B1CT

??????k= 1?n1????? ????A(k;k)0????? ??A(k;k) =sqrt(A(k;k)) ??????l=k+ 1?n????? ??A(l;k) =A(l;k)=A(k;k) ???????j=k+ 1?n????? ???????m=j?n????? ???A(m;j) =A(m;j)A(m;k)A(j;k) )?? ???? ?? ?Pn1 k=2[(k1) +Pn i=k+1] +

2n2n36

n36 ?? ? ???n? A=QR QQ

T=QTQ=I

Q 1=QT QQ =QQ=I T=Q T QRx=b Qy=b y=Q1b=QTb Rx=y

A=Q1R1=Q2R2???

Q

T2Q1=R2R11

T=R2R11

T

TT= (R2R11)T(R2R11)

= (QT2Q1)T(QT2Q1) =QT1Q2QT2Q1 =QT1InQ1 =In ? ???In=InITn? ?? ?? ?????? ???? ??? T=In R

2R11=In??QT2Q1=In

R

2= (R11)1=R1??Q1= (QT2)1=Q2

q

1=?1k?1k2

8j2J1;n1K~qj+1=?j+1jX

k=1(qk;?j+1)qk; qj+1=~qj+1k~qj+1k2 j=jX i=1r ijqi; 8>< :r jj=k?jPj1 k=1(qk;?j)qkk2 r ij= (qi;?j)????i2J1;j1K rij= 0????j2J1;nK??i2Jj+ 1;nK ??????j= 1?n????? ??Q(1 :n;j) =A(1 :n;j) ??????i= 1?j1????? ??R(i;j) =Q(1 :n;i)TQ(1 :n;j) ??Q(1 :n;j) =Q(1 :n;j)R(i;j)Q(1 :n;i) ??R(j;j) =kQ(1 :n;j)k2 ??Q(1 :n;j) =Q(1 :n;j)=R(j;j) ???? ??O(4n33 n

X=x1::: xnTet Y=y1::: ynT??? ???8(i;j);xi6=yj

C ij=1x iyj

C(X;Y) =0

B B@1x

1y1:::1x

1yn:::1x

iyj::: 1x ny1:::1x nyn1 C CA H ij=Hi1;j+1 ????(x0;:::;x2n2)2K2n1 H=0 B

BBBBBBBBB@x

0::: ::: xn3xn2xn1::::::xn2xn1xn::::::::::::xnxn+1

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