[PDF] Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss





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Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss

Aide : on cherchera d 'abord une relation de récurrence entre Nn et Nn?1. 3. Méthode de Gauss. Transformation de A en une matrice triangulaire supérieure.



Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications

La technique du pivot : On décrit l'algorithme qui permet d'échelonner un système linéaire quelconque. Données. Paramètre réel quelconque.



Chapitre 2 Résolution des Systèmes Linéaires Ax=b Méthodes

Soit un système linéaire Ax = b l'algorithme de Gauss sans pivotation est la méthode classique de substitution. La matrice d'origine A est d'abord 



METHODE DU PIVOT DE GAUSS

La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d'équations linéaires à n équations et p inconnues. Elle s'utilise notamment pour 



Systèmes déquations linéaires

1. Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss



résolution des systèmes déquations linéaires - par la méthode du

RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES. § 1. MATRICE COMPLETE D'UN SYSTEME D'EQUATIONS LINEAIRES. Exemple : est: PAR LA MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS.



Systèmes linéaires

La méthode du pivot de Gauss permet de trouver les solutions de n'importe quel système linéaire. Nous allons décrire cet algorithme sur un exemple. Il s'agit d' 



Méthode du pivot de Gauss

La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. Elle consiste `a sélectionner une équation qu'on va garder 



1.3 Les méthodes directes

de la méthode de Gauss est de se ramener par des opérations simples (combinaisons linéaires)



Analyse Numérique

2.2.3 Convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel. . 13 On appelle méthode de résolution directe d'un système linéaire un algorithme.

UniversiteReneDescartes

UFRdemathematiquesetinformatique

chapitre1

Resolutiondessystemeslineaires

MethodedeGauss

Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre

licencedemathematiquesetlicenceMASS 1

Resolutiondessystemeslineaires

Notations

a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+:::+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+:::+annxn=bnnequations ninconnues A=2 6 6 6 4a

11a12:::a1na21a22:::a2n:::

a n1an2:::ann3 7 7 7 5B=2 6 6 6 4b

1b2:::

b n3 7 7 7 5AX=B

Etudedessolutions:

Sidet(A)6=0(Areguliere)solutionunique

Exemple:

x+y=3 x+2y=5

Sidet(A)=0(Asinguliere)systemedegenere

(impossibleouindetermine)

Exemples:

2x+3y=4

4x+6y=5

2x+3y=4

4x+6y=8

2

Theorie

Expressiondessolutionsparlareglede

Cramer:

x k=detk(A) det(A)avec detk(A)= a

11:::a1;k1b1a1;k+1:::a1n

a

21:::a2;k1b2a2;k+1:::a2n

a n1:::an;k1bnan;k+1:::ann

Calcultheoriqued'undeterminant

det(A)=nX i=1(1)i+jaijmij oumijestledeterminantdelasous-matrice obtenueensupprimantdeAlaiemeligneetla j emecolonne

Exercice:evaluerlenombreNnd'operations

necessairespourcalculerundeterminanten utilisantcetteformule.

Aide:onchercherad'abordunerelationde

recurrenceentreNnetNn1. 3

MethodedeGauss

superieure

Exemple:

2x+y4z=8

3x+3y5z=14

4x+5y2z=16A=2

6 4214
335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5

Notation:A=

2148
335
14 452
16

1erpivot:2

2emeligne-1ereligne3/2

3 emeligne-1ereligne2 2148
03=21 2 036
0

2emepivot:3/2

3emeligne-2emeligne2

2148
03=21 2 004 4 4

3emepivot:4

D'ou: 4z=4

32y1=22x+2+4=8

z=1 y=2 x=1

Remarque:Touteslesmatricesintermediaires

ontlem^emedeterminantquiestdoncegala 23
24=12
5

Autrefacondeconduirelescalculs

(ligne1)/pivot2 (ligne2)-(nouvelleligne1)3 (ligne3)-(nouvelleligne1)4

11=224

03=21 2 036
0 (ligne2)/pivot3/2 (ligne3)-(nouvelleligne2)3 11224
012

3430044

(ligne3)/pivot4

11=224

012=3 4=3 001 1 D'ou: z=1 y=4=32=3z x=41=2y(2)z z=1 y=2 x=1

Remarque:LedeterminantdeAestegalau

produitdespivots,soit23 24=12
6

2emeexemple

A=2 6 4214
427
2113
7 5 la1ereetapedonne:2 6

411=22

001 0033
7 5

Lesystemeestimpossibleouindetermine

exemples B=2 6 48
15 93
7 5!2 6 44
1 13 7 5 B=2 6 48
15 53
7 5!2 6 44
1 33
7 5 z=13=1 8 :z=1 yquelconque x=2y=2 7

3emeexemple

A=2 6 4214
427
2213
7 5 la1ereetapedonne:2 6

411=22

001 0133
7 5 8

Resolution

2phases:

-substitutions!resolution

OnsupposequeAestderangn

1Onsupposea11nonnul(sinononfaitun

echangedelignes).

Onresoutlapremiereequationparrapporta

x

1etonremplacedanslesautresequations.

Onobtientlesystemeequivalent

a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a(2)

22x2+:::+a(2)

2nxn=b(2)

2 a(2) n1x1+a(2) n2x2+:::+a(2) nnxn=b(2) n avec a(2) ij=aijai1a1j=a11 b(2) i=biai1b1=a11pour2i;jn et a(2) i1=0pouri2 9

Iterations

Onrecommenceaveclepivota(2)

22supposenon

nulsinononfaitunechangedelignes,etc...

EnposantA:;n+1=BetA(1)=A,al'etape

k,aveclepivota(k) k;k6=0,onaA(k+1)=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)

11a(1)

12:::a(1)

1k a(1) 1;n+1 0a(2)

22:::a(2)

2k a(2) 2;n+1 0a(k) k;k a(k) k;n+1

00a(k+1)

k+1;k+1::: a(k+1) k+1;n+1

00a(k+1)

n;k+1::: a(k+1) n;n+13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 a (k+1) ij=a(k) ija(k) ika(k) kj=a(k) kkpourk+1inetk+1jn+1 a(k+1) ij=0pourk+1inetj=k a (k+1) ij=a(k) ijsinon

Remarque:det(A)=leproduitdespivots.

10

Findelaresolution

2Ala(n1)emeetape,onaunematrice

triangulairesuperieure 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)

11a(1)

12:::a(1)

1k:::a(1)

1;n 0a(2)

22:::a(2)

2k:::a(2)

2;n

00:::a(k)

k;k:::a(k) k;n

00:::00a(n)n;n3

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 52
6 6 6 6 6 6 6 6 4x 1x2 x k::: x n3 7 7 7 7 7 7 7 7 5=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1) 1;n+1 a(2) 2;n+1 a (k) k;n+1 a (n) n;n+13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 A (n)XB(n)

Onremontefacilement,encommencantpar

x n xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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