Résolution des syst`emes linéaires Méthode de Gauss
Aide : on cherchera d 'abord une relation de récurrence entre Nn et Nn?1. 3. Méthode de Gauss. Transformation de A en une matrice triangulaire supérieure.
Chapitre V La méthode du pivot de Gauss et ses applications
La technique du pivot : On décrit l'algorithme qui permet d'échelonner un système linéaire quelconque. Données. Paramètre réel quelconque.
Chapitre 2 Résolution des Systèmes Linéaires Ax=b Méthodes
Soit un système linéaire Ax = b l'algorithme de Gauss sans pivotation est la méthode classique de substitution. La matrice d'origine A est d'abord
METHODE DU PIVOT DE GAUSS
La méthode du pivot de Gauss permet la résolution générale des systèmes d'équations linéaires à n équations et p inconnues. Elle s'utilise notamment pour
Systèmes déquations linéaires
1. Résoudre de quatre manières différentes le système suivant (par substitution par la méthode du pivot de Gauss
résolution des systèmes déquations linéaires - par la méthode du
RÉSOLUTION DES SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES. § 1. MATRICE COMPLETE D'UN SYSTEME D'EQUATIONS LINEAIRES. Exemple : est: PAR LA MÉTHODE DU PIVOT DE GAUSS.
Systèmes linéaires
La méthode du pivot de Gauss permet de trouver les solutions de n'importe quel système linéaire. Nous allons décrire cet algorithme sur un exemple. Il s'agit d'
Méthode du pivot de Gauss
La méthode du pivot permet d'associer `a tout syst`eme linéaire un syst`eme facile équivalent. Elle consiste `a sélectionner une équation qu'on va garder
1.3 Les méthodes directes
de la méthode de Gauss est de se ramener par des opérations simples (combinaisons linéaires)
Analyse Numérique
2.2.3 Convergence des méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel. . 13 On appelle méthode de résolution directe d'un système linéaire un algorithme.
UniversiteReneDescartes
UFRdemathematiquesetinformatique
chapitre1Resolutiondessystemeslineaires
MethodedeGauss
Methodesnumeriques2003/2004-D.Pastre
licencedemathematiquesetlicenceMASS 1Resolutiondessystemeslineaires
Notations
a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+:::+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+:::+annxn=bnnequations ninconnues A=2 6 6 6 4a11a12:::a1na21a22:::a2n:::
a n1an2:::ann3 7 7 7 5B=2 6 6 6 4b1b2:::
b n3 7 7 7 5AX=BEtudedessolutions:
Sidet(A)6=0(Areguliere)solutionunique
Exemple:
x+y=3 x+2y=5Sidet(A)=0(Asinguliere)systemedegenere
(impossibleouindetermine)Exemples:
2x+3y=4
4x+6y=5
2x+3y=4
4x+6y=8
2Theorie
Expressiondessolutionsparlareglede
Cramer:
x k=detk(A) det(A)avec detk(A)= a11:::a1;k1b1a1;k+1:::a1n
a21:::a2;k1b2a2;k+1:::a2n
a n1:::an;k1bnan;k+1:::annCalcultheoriqued'undeterminant
det(A)=nX i=1(1)i+jaijmij oumijestledeterminantdelasous-matrice obtenueensupprimantdeAlaiemeligneetla j emecolonneExercice:evaluerlenombreNnd'operations
necessairespourcalculerundeterminanten utilisantcetteformule.Aide:onchercherad'abordunerelationde
recurrenceentreNnetNn1. 3MethodedeGauss
superieureExemple:
2x+y4z=8
3x+3y5z=14
4x+5y2z=16A=2
6 4214335
4523
7 5B=2 6 48
14 163
7 5
Notation:A=
2148335
14 452
16
1erpivot:2
2emeligne-1ereligne3/2
3 emeligne-1ereligne2 214803=21 2 036
0
2emepivot:3/2
3emeligne-2emeligne2
214803=21 2 004 4 4
3emepivot:4
D'ou: 4z=432y1=22x+2+4=8
z=1 y=2 x=1Remarque:Touteslesmatricesintermediaires
ontlem^emedeterminantquiestdoncegala 2324=12
5
Autrefacondeconduirelescalculs
(ligne1)/pivot2 (ligne2)-(nouvelleligne1)3 (ligne3)-(nouvelleligne1)411=224
03=21 2 0360 (ligne2)/pivot3/2 (ligne3)-(nouvelleligne2)3 11224
012
3430044
(ligne3)/pivot411=224
012=3 4=3 001 1 D'ou: z=1 y=4=32=3z x=41=2y(2)z z=1 y=2 x=1Remarque:LedeterminantdeAestegalau
produitdespivots,soit23 24=126
2emeexemple
A=2 6 4214427
2113
7 5 la1ereetapedonne:2 6
411=22
001 00337 5
Lesystemeestimpossibleouindetermine
exemples B=2 6 4815 93
7 5!2 6 44
1 13 7 5 B=2 6 48
15 53
7 5!2 6 44
1 33
7 5 z=13=1 8 :z=1 yquelconque x=2y=2 7
3emeexemple
A=2 6 4214427
2213
7 5 la1ereetapedonne:2 6
411=22
001 01337 5 8
Resolution
2phases:
-substitutions!resolutionOnsupposequeAestderangn
1Onsupposea11nonnul(sinononfaitun
echangedelignes).Onresoutlapremiereequationparrapporta
x1etonremplacedanslesautresequations.
Onobtientlesystemeequivalent
a11x1+a12x2+:::+a1nxn=b1 a(2)22x2+:::+a(2)
2nxn=b(2)
2 a(2) n1x1+a(2) n2x2+:::+a(2) nnxn=b(2) n avec a(2) ij=aijai1a1j=a11 b(2) i=biai1b1=a11pour2i;jn et a(2) i1=0pouri2 9Iterations
Onrecommenceaveclepivota(2)
22supposenon
nulsinononfaitunechangedelignes,etc...EnposantA:;n+1=BetA(1)=A,al'etape
k,aveclepivota(k) k;k6=0,onaA(k+1)=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)11a(1)
12:::a(1)
1k a(1) 1;n+1 0a(2)22:::a(2)
2k a(2) 2;n+1 0a(k) k;k a(k) k;n+100a(k+1)
k+1;k+1::: a(k+1) k+1;n+100a(k+1)
n;k+1::: a(k+1) n;n+13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 a (k+1) ij=a(k) ija(k) ika(k) kj=a(k) kkpourk+1inetk+1jn+1 a(k+1) ij=0pourk+1inetj=k a (k+1) ij=a(k) ijsinonRemarque:det(A)=leproduitdespivots.
10Findelaresolution
2Ala(n1)emeetape,onaunematrice
triangulairesuperieure 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1)11a(1)
12:::a(1)
1k:::a(1)
1;n 0a(2)22:::a(2)
2k:::a(2)
2;n00:::a(k)
k;k:::a(k) k;n00:::00a(n)n;n3
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 526 6 6 6 6 6 6 6 4x 1x2 x k::: x n3 7 7 7 7 7 7 7 7 5=2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4a (1) 1;n+1 a(2) 2;n+1 a (k) k;n+1 a (n) n;n+13 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 A (n)XB(n)
Onremontefacilement,encommencantpar
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