[PDF] Méthodes Numériques I - Algorithmique numérique

View - Download Méthodes Numériques I - Algorithmique numérique

Previous PDF

Next PDF

Méthodes Numériques I

Algorithmique numérique

François Cuvelier

Laboratoire d"Analyse Géométrie et Applications

Institut Galilée

Université Paris XIII.

6 avril 2016

6 avril 2016 1 / 14

Plan

1Polynômes d"interpolation de Lagrange

2Dérivation numérique

3Intégration numérique

4Résolution de systèmes linéaires

Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures

Matrices triangulaires supérieures

Méthode de Gauss-Jordan

Polynômes d"interpolation de Lagrange6 avril 2016 2 / 14 Plan

1Polynômes d"interpolation de Lagrange

2Dérivation numérique

3Intégration numérique

4Résolution de systèmes linéaires

Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures

Matrices triangulaires supérieures

Méthode de Gauss-Jordan

Dérivation numérique6 avril 2016 3 / 14

Plan

1Polynômes d"interpolation de Lagrange

2Dérivation numérique

3Intégration numérique

4Résolution de systèmes linéaires

Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures

Matrices triangulaires supérieures

Méthode de Gauss-Jordan

Intégration numérique6 avril 2016 4 / 14

Plan

1Polynômes d"interpolation de Lagrange

2Dérivation numérique

3Intégration numérique

4Résolution de systèmes linéaires

Matrices particulières

Matrices diagonales

Matrices triangulaires inférieures

Matrices triangulaires supérieures

Méthode de Gauss-Jordan

Résolution de systèmes linéaires6 avril 2016 5 / 14

Système diagonal

SoitAPMnpKqdiagonale inversible etbbbPKn:

x ibi{Ai;i;@iP v1;nw:(1)Algorithme 1FonctionRSLMATDIAGpermettant de résoudre le sys- tème linéaire à matrice diagonale inversible Axxxbbb:Données :A: matrice diagonale deMnpRqinversible. b bb: vecteur deRn:

Résultat :xxx: vecteur deRn:

1:FonctionxxxÐRSLMATDIAG(A;bbb)

2:PouriÐ1ànfaire

3:xpiq Ðbpiq{Api;iq

4:Fin Pour

5:Fin FonctionRésolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 6 / 14

Système triangulaire inférieur

SoitAPMnpKqtriangulaire inférieure inversible (Ai;j0 sii j)

Axxxbbbðñ

A

1;10:::0

......0 A n;1::: :::An;n x 1... x n b 1... b n

AinversibleðñA

i;i0;@iP v1;nwSoitiP v1;nw;pAxxxqibi;ðñn¸ j1A i;jxjbi: b ii1¸ j1A i;jxjAi;ixin¸ ji1A i;jloomoon 0x ji1¸ j1A i;jxjAi;ixi x i1A i;i bii1¸ j1A i;jxj ;@iP v1;nw:(2)Résolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 7 / 14

Système triangulaire inférieur

SoitAPMnpKqtriangulaire inférieure inversible (Ai;j0 sii j)

Axxxbbbðñ

A

1;10:::0

......0 A n;1::: :::An;n x 1... x n b 1... b n

AinversibleðñA

i;i0;@iP v1;nwSoitiP v1;nw;pAxxxqibi;ðñn¸ j1A i;jxjbi: b ii1¸ j1A i;jxjAi;ixin¸ ji1A i;jloomoon 0x ji1¸ j1A i;jxjAi;ixi x i1A i;i bii1¸ j1A i;jxj ;@iP v1;nw:(2)Résolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 7 / 14

Système triangulaire inférieur

SoitAPMnpKqtriangulaire inférieure inversible (Ai;j0 sii j)

Axxxbbbðñ

A

1;10:::0

......0 A n;1::: :::An;n x 1... x n b 1... b n

AinversibleðñA

i;i0;@iP v1;nwSoitiP v1;nw;pAxxxqibi;ðñn¸ j1A i;jxjbi: b ii1¸ j1A i;jxjAi;ixin¸ ji1A i;jloomoon 0x ji1¸ j1A i;jxjAi;ixi x i1A i;i bii1¸ j1A i;jxj ;@iP v1;nw:(2)Résolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 7 / 14 x i1A i;i bii1¸ j1A i;jxj ;@iP v1;nw:Algorithme 2R0

1:RésoudreAxxx"bbben calculant

successivementx1,x2, ...,xn.

Algorithme 2R1

1:PouriÐ1ànfaire

2:xiÐ1Ai,i¨

bi´i´1ÿ j"1A i,jxj˛"

3:Fin PourRésolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 8 / 14

x i1A i;i bii1¸ j1A i;jxj ;@iP v1;nw:Algorithme 2R1

1:PouriÐ1ànfaire

2:xiÐ1Ai,i¨

bi´i´1ÿ j"1A i,jxj˛"

3:Fin Pour

Algorithme 2R2

1:PouriÐ1ànfaire

2:SÐi´1ÿ

j"1A i,jxj

3:xiÐ pbi´Sq{Ai,i

4:Fin PourRésolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 8 / 14

x i1A i;i bii1¸ j1A i;jxj ;@iP v1;nw:Algorithme 2R3

1:PouriÐ1ànfaire

2:SÐi´1ÿ

j"1A i,jxj

3:xiÐ pbi´Sq{Ai,i

4:Fin Pour

Algorithme 2R4

1:PouriÐ1ànfaire

2:SÐ0

3:PourjÐ1ài´1faire

4:SÐS`Api,jq °xpjq

5:Fin Pour

6:xiÐ pbi´Sq{Ai,i

7:Fin PourRésolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 8 / 14

x i1A i;i bii1¸ j1A i;jxj ;@iP v1;nw:Algorithme 2FonctionRSLTRIINFpermettant de résoudre le système linéaire triangulaire inférieur inversible Axxxbbb:Données :A: matrice triangulaire deMnpKqinférieure inversible. b bb: vecteur deKn:

Résultat :xxx: vecteur deKn:

1:FonctionxxxÐRSLTRIINF(A;bbb)

2:PouriÐ1ànfaire

3:SÐ0

4:PourjÐ1ài1faire

5:SÐSApi;jq xpjq

6:Fin Pour

7:xpiq Ð pbpiq Sq{Api;iq

8:Fin Pour

9:Fin FonctionRésolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 8 / 14

Système triangulaire supérieur

SoitAPMnpKqtriangulaire supérieure inversible (Ai;j0 sii j)

Axxxbbbðñ

A

1;1::: :::A1;n

0......

0:::0An;n

x 1... x n b 1... b n

Exercise 1

Ecrire la fonctionRSLTRISUPpermettant de résoudre le système

triangulaire supérieureAxxxbbb:Résolution de systèmes linéairesMatrices particulières6 avril 2016 9 / 14

Algorithme de Gauss-Jordan

AxxxbbbðñUxxxfff

oùUmatrice triangulaire supérieure. Opérations élémentaires sur les matrices :

LiØLjpermutation lignesietj

LiÐLiLjcombinaison linéaire

A l"aide d"opérations élémentaires, on va transformer successivement enn1 étapes le système. A l"étapek;on vas"arrangerpour annuler les termes sous-diagonaux de la colonnekde la matrice sans modifier

lesk1 premières colonnes.Résolution de systèmes linéairesMéthode de Gauss-Jordan6 avril 2016 10 / 14

0

0...0"" ¨¨¨ "

0¨¨¨ ¨¨¨0"¨¨¨ "

0... ...0

xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] méthode de gestion du temps pdf

[PDF] methode de horner

[PDF] methode de l'anthropologie

[PDF] méthode de la sécante exercice corrigé

[PDF] méthode de la sécante python

[PDF] methode de la variation de la constant

[PDF] methode de lecture syllabique gratuite

[PDF] méthode de lecture syllabique pour apprendre ? lire pas ? pas pdf

[PDF] methode de maintenance pdf

[PDF] Méthode de Mémoire

[PDF] Méthode de Newton

[PDF] methode de newton analyse numerique exercices corrigés

[PDF] méthode de point fixe exercices corrigés pdf

[PDF] méthode de prévision lissage exponentiel

[PDF] méthode de prévision statistique