La méthode de Newton PDF La méthode de Newton.

La méthode de Newton

La méthode de Newton. 1) Position du problème f est une fonction dérivable sur un intervalle I. L'équation f(x)=0 admet une racine unique ? sur l'intervalle

Analyse Numérique

Ceci montre que la méthode de Newton converge de façon quadratiquesi elle converge ! Pour s'assurer de sa convergence on peut essayer d'appliquer à g le ...

CHAPITRE 2

4 Méthode de Newton Pour approcher les racines de f (x) = 0 par la méthode du point fixe on ... On a alors l' algorithme de Newton suivant :.

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5 nov. 2015 Algorithme sur la méthode. Newton-Raphson. 1 Historique. La méthode de résolution des équations numériques a été initiée par Isaac New-.

Méthode de Newton

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Autour de la méthode de Newton

La méthode de Newton en analyse. Soit I un intervalle de R et f : I ? R une application dérivable. Pour déterminer une approximation numérique des

Méthode de Newton

Grâce à sa convergence quadratique et sa complexité raisonnable la méthode de Newton reste une des méthodes les plus utilisée. Le choix de F est un choix

La méthode de Newton

1) Position du problème

fest une fonction dérivable sur un intervalle I. L"équationf(x) = 0admet une racine uniqueαsur l"intervalle I.

La méthode

Soita?Iune valeur approchée (grossière) deα. On va utiliser l"approximation affinegdefau pointa.

On aura doncg(x) =f(a) + (x-a)f

?(a)(tangenteTa).

La droiteT

acoupe l"axe des abscisses enb=a-f(a)f?(a). Sous certaines conditions, le nombrebpeut représenter une meilleure approximation deαquea. La méthode de Newton consiste à itérer le processus en repartant debet ainsi de suite.

2) Visualisation avec Geogebra

On cherche à résoudre l"équationf(x) = 0avecf(x) =x-3lnx 1

3) Mise en place de la suite récurrente

un+1=un-f(un) f?(un)etu0=aaveca?I a) Un cas favorable Lorsquefest monotone sur l"intervalle I et quefetf??sont de même signe entreaetα.

On obtient dans ce cas une suite monotone.

En effet si on appellegla fonction sur laquelle est basée la récurrence, on a g(x) =x-f(x) f?(x)et la dérivée degs"écrit :g ?= 1-(f ?)2-f×f?? (f?)2=f×f (f?)2et sifet f ??sont de même signe alorsg?>0etgest croissante.

Dans ce casu

n-un-1etg(un)-g(un-1) =un+1-unsont de même signe et la suite(un) est monotone. b) Un cas ennuyeux Lorsqu"il existe un point d"inflexion entreaetα,la suite risque d"être à croissance alternée (possibilité d"encadrement deα) mais la convergence versαn"est pas assurée.

Par exemple si on prendf(x) = (x-1)

3-1alors on aα= 2mais la suite définie par

0= 1-12

3≈0.21etun+1=g(un)ne sera plus définie pourn≥2,comme le montre la

figure, car la tangente en B1 à la courbe est parallèle à l"axe des abscisses. c) Le problème du calcul de la dérivée Si on ne dispose pas d"un logiciel de calcul formel l"obtention de l"expression def?(x) sera impossible. Deux possibilités s"offriront à nous : Adapter l"algorithme à chaque exemple à traiter.

Utiliser une valeur approchée def

?(x).

4) Un algorithme adapté : calcul de⎷a

Il s"agit de résoudref(x) = 0avecf(x) =x2-aetf?(x) = 2x

On obtientu

n+1=un-(un)2-a

2un=12?

un+aun

En posantv

n=aunetun+1=12(un+vn)on reconnait la méthode de Héron

Pour plus de détails voir :

5) Calcul d"une valeur approchée def?(un)

a) Une première idée La première idée est de prendref?(un)≈f(un+h)-f(un) havechpetit. Mais il faut adapter la valeur dehchoisie à chaque cas (pente de la fonction, précision souhaitée).

Algorithme

La suite étant monotone, on ne peut pas obtenir d"encadrement de la racineα,il faut donc utiliser un test d"arrêt de la forme|u n+1-un|< εpourεdonné.

f, a, het la précisionεsont donnés

Ldésigne la liste des termes de la suite

ndésigne le nombre d"itérations nécessaires pour atteindrela précisionε. L"initialisation avecc=a+1n"a pour seul but que de faire démarrer la boucle While.

L"évaluation répétée def(a)pouvant ralentir les calculs, cette valeur est stockée dans

la variabletet ce calcul n"est effectué qu"une seule fois.

L←- {a}

n←-0 c←-a+ 1

Tant queabs(c-a)> εfaire

c←-a y←-f(a) a←-a-h×yf(a+h)-y

L←-Lsuivie dea

n←-n+ 1

Affichern

AfficherL

Programme sur TI 82 Stats

La fonctionfa d"abord été saisie dans la variableY

1du menuf(x)de la calculatrice.

PROGRAM : NEWTON

:Input "U0=",A :Input "H=",H :Input "PRECISION=",E :ClrList L 1 :{B}→L1 :0→N :A+1→C :While Abs(C-A)>E :C→A :Y

1(A)→Y

:A-H*Y/(Y

1(A+H)-Y)→B

:Chaîne(L

1,{B})→L1

:N+1→N :End :Disp "N=",N :Disp L 1

Remarque

La rapidité de convergence de la méthode de Newton est de typequadratique et on a |u n+1-α| ≂k|un-α|2. 3 Pour plus dedétails voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_newton#Convergence et le document intitulé Evaluation expérimentale de la rapidité de convergence d"une suite Auteur : Henri ROLAND Groupe algorithmique de l"IREM d"Aix-Marseille b) Une autre approximation de la dérivée Si la suite converge versα,alors pournassez grand,unest voisin deun-1et on peut

écrire :f

?(un)≈f(un)-f(un-1) un-un-1La formule de récursion s"écrit alors : u n+1=un-(un-un-1)f(un) f(un)-f(un-1)=u n-1f(un)-unf(un-1)

f(un)-f(un-1)On retrouve la formule de récurrence habituellement associée à la méthode de la sécante

Pour plus de détails voir : http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_la_sécante

Algorithme

0=aetu1=bsont donnés.

L"évaluation répétée def(a)et def(b)pouvant ralentir les calculs, ces valeurs sont stockées dans les variabletetzet ce calcul n"est effectué qu"une seule fois à chaque itération. n←-0 t←-f(a) z←-f(b)

L←- {a}

Tant queabs(b-a)> εfaire

c←-a-(a-b)?tt-zL←-Lsuivie dec b←-a a←-c z←-t t←-f(a) n←-n+ 1

Affichern

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Programme sur TI 82 Stats

PROGRAM : NEWTON2

:Input "U0=",A :Input "U1=",B :Input "PRECISION=",E :0→N :Y

1(A)→T:Y1(B)→Z

:ClrList L 1 :{A}→L1 :While Abs(B-A)>E :A-(A-B)*T)/(T-Z)→C :Chaîne(L

1,{C})→L1

:A→B:C→A :T→Z:Y1(A)→T :N+1→N :End :Disp "N=",N :Disp L 1 4 RemarqueLa rapidité de convergence est alors un peu moins bonne et on a|u n+1-α| ≂k|un-α|Φ avecΦ =⎷5 +1

2?1.618mais meilleure que la méthode de la corde pour laquelle on a

|u n+1-α| ≂k|un-α| Pour plus de détails voir le document intitulé Méthode de la corde Auteur : Henri ROLAND Groupe algorithmique de l"IREM d"Aix-Marseille 5quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] La méthode de Newton La méthode de Newton.

La méthode de Newton

1) Position du problème

La méthode

On aura doncg(x) =f(a) + (x-a)f

La droiteT

2) Visualisation avec Geogebra

3) Mise en place de la suite récurrente

On obtient dans ce cas une suite monotone.

Dans ce casu

Par exemple si on prendf(x) = (x-1)

3-1alors on aα= 2mais la suite définie par

0= 1-12

3≈0.21etun+1=g(un)ne sera plus définie pourn≥2,comme le montre la

Utiliser une valeur approchée def

4) Un algorithme adapté : calcul de⎷a

On obtientu

2un=12?

En posantv

Pour plus de détails voir :

5) Calcul d"une valeur approchée def?(un)

Algorithme

f, a, het la précisionεsont donnés

Ldésigne la liste des termes de la suite

L←- {a}

Tant queabs(c-a)> εfaire

L←-Lsuivie dea

Affichern

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Programme sur TI 82 Stats

1du menuf(x)de la calculatrice.

PROGRAM : NEWTON

1(A)→Y

1(A+H)-Y)→B

1,{B})→L1

Remarque

écrire :f

Algorithme

0=aetu1=bsont donnés.

L←- {a}

Tant queabs(b-a)> εfaire

Affichern

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Programme sur TI 82 Stats

PROGRAM : NEWTON2

1(A)→T:Y1(B)→Z

1,{C})→L1

2?1.618mais meilleure que la méthode de la corde pour laquelle on a

Utiliser une valeur approchée def

f, a, het la précisionεsont donnés

Ldésigne la liste des termes de la suite