[PDF] Lissage exponentiel Méthode de Holt-Winters

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Séries temporelles - Cours 3

Lissage exponentiel

Angelina Roche

Executive Master Statistique et Big Data

2018-2019

Séries temporelles - Cours 3

Rappels cours précédents

I Nous observonsX1;:::;Xnune quantité qui évolue avec le temps. I Dans les cours précédents nous avons vu comment : I Modéliser la partie non aléatoire de la série (tendance et saisonnalité). I Supprimer la tendance et la saisonnalité pour se ramener à un processus stationnaire. I Modéliser un processus stationnaire à l"aide d"un modèle de type ARMA(p,q).

Séries temporelles - Cours 3

Plan du cours d"aujourd"hui

Principe du lissage exponentiel

Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple

Autres méthodes

Séries temporelles - Cours 3

Principe du lissage exponentiel

Plan

Principe du lissage exponentiel

Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple

Autres méthodes

Séries temporelles - Cours 3

Principe du lissage exponentiel

Lissage exponentiel

I Ensemble de méthodes de calculs de prédiction d"une série, centrées sur une mise à jour facile de la prédiction à l"arrivée d"une nouvelle observation. I Introduites par Holt (1957) et par Brown (1962) comme des méthodes empiriques. Plus récemment des résultats théoriques ont été prouvés.

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Principe du lissage exponentiel

Prévision et erreur de prévision

I Pour un horizonh>0, nous souhaitons prévoirXt+hà partir deX1;:::;Xt. Nous notons X t+hjt=E[Xt+hjX1;:::;Xt] I Les modèles de lissage exponentiel prévoient différentes modélisations deXt+hjt. I Nous noterons l"erreur de prévision à l"horizon 1 au tempst: Z t=XtXtjt1

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Lissage exponentiel simple

Plan

Principe du lissage exponentiel

Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple

Autres méthodes

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Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel simple (I)

I Il s"agit de prédire une sériefXtgt2Zsans saisonnalitéavec une tendance lo calementconstante I Supposons que nous ayons construit une prédiction^Xtjt1de X tà partir deX1;:::;Xt1et que nous disposons maintenant d"une nouvelle observationXt, nous prédisons

Xt+1jt=^Xtjt1+et=Xt+ (1)^Xtjt1

où

0 < <1est un pa ramètreet et=Xt^Xtjt1est

l"erreur commise au tempst1. I

Initialisation :^X1j0=X1(par exemple).

I

À l"horizonh, nous prédisons :

Xt+hjt=^Xt+1jt:

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Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel simple (II)

I

Par récurrence, nous pouvons montrer que

Xt+1jt=Xt+(1)Xt1+:::+(1)jXtj+:::

+(1)t1X1+ (1)t^X1j0; d"où le terme lissage exp onentiel

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Lissage exponentiel simple

Représentation espace-état

Définition

La série(Xt)t2Zobéit à un modèle delissage exp onentielsimple (LES) si t=`t1+Zt(2.1) X t=`t1+Zt(2.2) où`test appeléétat au temps tet(Zt)t2Zest un bruit blanc gaussien appelé innovation .I

L"équation (2.1) est appelée

équa tiond"état

ou

équation de

transition I

L"équation (2.2) est appelée

équa tiond"observation

.Remarque : Si(Xt)t2Zsuit un modèle LES de paramètrealorsXsuit un modèle

MA(1).

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Lissage exponentiel simple

En pratique :

I On pose^`1=X1(par exemple) puis, par récurrence, `t=Xt+ (1)^`t1: I

Pour un horizonhpas trop grand, on définit

b

Xt+hjt=b`t:

I Le paramètreest estimé par maximisation de la vraisemblance du modèle LES. I

FonctionsHoltWinters(),ets()defo recast,...

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Lissage exponentiel simple

Exemple : données simulées avec=0:5Predictions à l'horizon h= 10

020406080100

-1 0 1 2 3 4

5Figure -En noir : obse rvationde la série jusqu"au temps t=100, en

bleu : prédictions par lissage exponentiel avec intervalles de prédiction à

80% (bleu) et 95% (bleu clair).

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Lissage exponentiel simple

Exemple : évolution des ventes d"un produitPrédiction à l'horizon h=10 t

Ventes

010203040506070

20 30
40

50Figure -En noir : obse rvationde la série jusqu"au temps t=100, en

bleu : prédictions par lissage exponentiel avec intervalles de prédiction à

80% (bleu) et 95% (bleu clair).

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Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Plan

Principe du lissage exponentiel

Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple

Autres méthodes

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Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Principe

I Mise à jour avec tendance localement linéaire. La prédiction de X t+hconnaissantX1;:::;Xts"écrit

Xt+hjt=`t+hbt;

où`test appelé niveau etbtla pente. I

Soient;2]0;1[.

I

Mise à jour du niveau

t=Xt+ (1)(`t1+bt1) =`t1+bt1+et: I

Mise à jour de la pente :

b t=(`t`t1) + (1)bt1=bt1+et; avec=.

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Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Représentation espace-état

Définition

La série(Xt)t2Zobéit à unmo dèlede lissage exp onentieldouble (LED) si elle vérifie : X t=`t+bt+Zt=1 1`t b t +Zt(3.1) `t b t =F`t1 b t1 Z t;(3.2) oùF=1 1 0 1 est la matrice de transition.Remarque : Si(Xt)t2Zsuit un modèle LED alors2Xest un processus MA(2).

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Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Exemple : données simulées avec=0:8 et=0:4Predictions à l'horizon h= 10

020406080100

0 50
100

150Figure -En noir : obse rvationde la série jusqu"au temps t=100, en

bleu : prédictions par lissage exponentiel avec intervalles de prédiction à

80% (bleu) et 95% (bleu clair).

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Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Exemple : évolution des ventes d"un produitPredictions à l'horizon h= 10 t

Ventes

0 1020 3040 5060 70

20 25 3035 40 4550Figure -En noir : obse rvationde la série jusqu"au temps t=100, en

bleu : prédictions par lissage exponentiel avec intervalles de prédiction à

80% (bleu) et 95% (bleu clair).

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Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple Plan

Principe du lissage exponentiel

Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple

Autres méthodes

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Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple

Principe

I Prise en compte d"une composante saisonnièrestde période connuem.

Xtjt1=`t1+bt1+stm

I

Soient;;

2]0;1[. Quand une nouvelle observationXtest disponible.

I

Mise à jour du niveau :

t=(Xtstm) + (1)(`t1+bt1): I

Mise à jour de la pente :

b t=(`t`t1) + (1)bt1: I

Mise à jour de la saisonnalité :

s t= (Xt`t1bt1) + (1 )stm: I

Prévision à l"horizonh:

Xt+hjt=`t+hbt+stm+h+m;

oùh+m1est le reste de la division euclidienne de h1pa rm.

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Autres méthodes

Plan

Principe du lissage exponentiel

Lissage exponentiel simple

Lissage exponentiel double (méthode de Holt)

Méthode de Holt-Winters ou lissage exponentiel triple

Autres méthodes

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Autres méthodes

Prédictions basées sur des décompositions multiplicatives I

Méthode de Holt-Winters multiplicative :

Xt+hjt= (`t+hbt)stm+h+m

I

Composante tendancielle multiplicative.

I

Sans composante saisonnière :^Xt+hjt=`tbht.

IAvec composante saisonnière additive :^Xt+hjt=`tbht+stm+h+m. IAvec composante saisonnière multiplicative :^Xt+hjt=`tbhtstm+h+m.

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Autres méthodes

Composante tendancielle amortie

I Composante tendancielle additive amortie :`t+hbtest remplacé par`t+hbtoùh=1++:::+havec2]0;1[ un paramètre. I Composante tendancielle multiplicative amortie :`tbhtest remplacé par`tbht.

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Autres méthodes

Modèles espace-état

Chaque méthode de lissage exponentiel est associé à plusieurs modèles représentés par une équation espace-état du type. I

Modèle avec erreur additive :

X t=Wut1+Zt u t=Fut1+Gut1Zt: I

Modèle avec erreur multiplicative :

X t=Wut1(1+Zt) u t=Fut1+Gut1Zt: Iciut= (`t;bt;st;:::;stm)tdésigne le vecteur des états au tempst,(Zt)t2Zun bruit blanc gaussien de variance2,W tel queWut1=^Xtjt1.

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Autres méthodes

Remarques finales

I

Les paramètres d"estimation (2,,,

ainsi que les valeurs initiales des états) peuvent être estimés par maximisation de la vraisemblance d"un modèle espace-état. I Les intervalles de prédiction sont dérivés à partir de ces modèles. I Il est possible de sélectionner un modèle à partir d"un critère de type AIC, AICc ou BIC.

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Autres méthodes

Pour plus d"information...

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