Cours de mathématiques - Exo7
Si par exemple
CHAPITRE 2
5 Méthode de la sécante. 12. 5.1 Convergence . Exemple 2.1 On cherche une racine de la fonction f (x) = x2 + x ? 6 = 0 sur. [1 2].
Méthode de la sécante
Méthode de la sécante. • La méthode de Newton nécessite le calcul de et on obtient la méthode de la sécante ... Exemple: (choix de g).
Analyse Numérique
20 0 615468502. Cet exemple confirme les remarques générales. La méthode de Newton est la plus rapide. Ici
EILCO : Analyse Numérique Chapitre 3 : Résolution Numérique des
Méthode de la sécante. Etude de la convergence Méthode de dichotomie : Exemple ... Si par exemple a = 1 b = 2 et ? = 10?4
Résolution dune équation méthodes de la sécante et de type point
2.3 Méthode de la sécante ou regula falsi (facultatif) démarrage (dans l'exemple on effectue 5 pas en partant de l'intervalle initial [2; 3].
1 Convergence 2 Critère darrêt
Exercice 4 : Faire un dessin illustrant la méthode de Newton pour la fonction y = xe?x avec x(0) = 0.5 puis x(0) = 2. Exemple 1 : considérons la fonction y =
Méthodes Numériques : Optimisation
arrive par exemple lorsque F est déjà le résultat d'un calcul complexe. Lemme 2.14 : Vitesse de convergence de la méthode de la sécante.
La méthode de la corde
La méthode de la corde. Groupe algorithmique de l'IREM d'Aix-Marseille. Henri ROLAND 2010-2011. 1) Position du problème. Soit f une fonction dérivable et
Résolution approchée déquations ordinaires (EO): f(x)=0 Contents
Admettez le résultat de convergence sur la méthode de sécante et essayez de Exemple 1.2.1 (Equations nonlinéaires dans les schémas numériques pour EDO).
CHAPITRE2
ÉQUATIONS NON LINÉAIRES
hm@mat.ulaval.caTABLE DES MATIÈRES
1 Introduction 2
2 Méthode de la bissection 3
2.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33 Méthode du point fixe 5
3.1 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53.2 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54 Méthode de Newton 10
4.1 Racines multiples d"ordre m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115 Méthode de la sécante 12
5.1 Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126 Accélération de la convergence 14
6.1 Procédé d"Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
146.2 Méthode de Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Mat-2910 A-14page 1 de 16
1I NTRODUCTION
Dans ce chapitre nous nous intéressons à la recherche de racines d"une fonc- tion d"une seule variable : f:R!R f(x) =0 En général les solutions explicites sontdifficiles, voirimpossible, à obtenir analytiquement. Donc nous devons trouver desméthodes numériquesqui conduisent à des solutions approchées.Exemple 1.1-e x1=0une solution
e x+1=0pas de solutions x24sin(x) =0deux solutions
x3+5x21=0trois solutions
-cos(x) =0une infinité de solutionsMat-2910 A-14page 2 de 162M ÉTHODE DE LA BISSECTION
Théorème 2.1Soit f:[a,b]!R une fonction continue. Si f(a)f(b)<0, alors il éxiste au moins un x2[a,b]tel que f(x) =0. Si de plus f est strictement monotone dans[a,b], alors cette racine est unique. 2.1A LGORITHME
On posex1=a+b2
Sif(x1) =0, alorsx1est un zéro defet on s"arrête. Sinon, on construira x2à partir dex1de la manière suivante :
Si f(x1)f(a)>0 alorsfchange de signe entrex1etbet on changea para:=x1. On pose ensuitex2=a+b2 Si f(x1)f(a)<0 alorsfchange de signe entrex1etaet on changeb parb:=x1. On pose ensuitex2=a+b2 n=1qui converge versxtelle quef(x) =0. 2.2C ONVERGENCE
Soit[a0,b0] = [a,b]avecf(a)f(b)<0.
Soitxn=12
(bn1+an1),n=0,1,.Il exite x2[a,b]tel que :
jxxnjba2 n De plus, pour atteindre la précisionjxxnjil suffit de choisir nln(ba)ln()ln(2) Le dernier résultat permet de fixer a priori le nombre d"itérations nen le reliant à la précision désirée. Exemple 2.1On cherche une racine de la fonction f(x) =x2+x6=0sur [1,2]Intervalle initial : [a,b] = [1, 2]
k x f(x)1 1.7500e+000 -1.1875e+000
2 1.8750e+000 -6.0938e-001
3 1.9375e+000 -3.0859e-001
4 1.9688e+000 -1.5527e-001
5 1.9844e+000 -7.7881e-002
9 1.9990e+000 -4.8819e-003Mat-2910 A-14page 3 de 16
10 1.9995e+000 -2.4412e-003
11 1.9998e+000 -1.2206e-003
12 1.9999e+000 -6.1034e-004
13 1.9999e+000 -3.0517e-004
14 2.0000e+000 -1.5259e-004
17 2.0000e+000 -1.9073e-005
18 2.0000e+000 -9.5367e-006
19 2.0000e+000 -4.7684e-006
20 2.0000e+000 -2.3842e-006Mat-2910 A-14page 4 de 16
3M ÉTHODE DU POINT FIXE
Définition 3.1Soit g une fonction continue sur[a,b]. On appelle point fixe de la fonction g tout point x2[a,b]vérifiant g(x) =x. -Soit g:[a,b]![a,b]une fonction continue. Alors la fonction g(x) admet au moins un point fixe dans[a,b]. P ourapprocher les racines de f(x) =0 par la méthode du point fixe on cherche donc une fonction g telle que f(x) =0()g(x) =xExemple 3.1
f(x) =x2x2 g(x) =x22,g(x) =px+2,g(x) =1+2x g(x) =x2+22x1 3.1A LGORITHME
La méthode du point fixe consiste à construire à partir d"une approximation initialex0la suite des nombresxntel que : x n+1=g(xn),n=0,1, x02[a,b]
-Choix de la fonctiong?L asuite (xn)converge-t-elle?
Si la suite converge, sa limite xvérifie-t-ellex=g(x)? Comment estimer l"évolution de l"erreur en=xnxau cours des itérations? 3.2C ONVERGENCE
Si dans [a,b],gvérifie
(i)x2[a,b] =)g(x)2[a,b] (ii)gune fonction continue, alors1.gpossède au moins un point fixex2[a,b].
2. Si gest strictement contractante, c"est à dire qu"il éxistek, 0k<1 tel que8x2[a,b],8y2[a,b]jg(x)g(y)jkjxyj
alors :Mat-2910 A-14page 5 de 16 (a)xest unique. (b)8x02[a,b], la suite(xn)définie parxn+1=g(xn)convergex Sigestd érivable, il est souvent plus commode d"exprimer unec ondition suffisante sur la dérivéeg0que de vérifier directement quegest une application contractante. -Soit g une fonction dérivable sur[a,b]. Si g0vérifiejg0(x)j<1,8x2 [a,b], alors g est strictement contractante dans[a,b]. -Soit g:[a,b]!Rune fonction donnée tels que : a) g est une contraction stricte sur[a,b]. b) g([a,b])[a,b], c"est à dire8x2[a,b],g(x)2[a,b]. Alors 1. La fonction g (x)admet un unique point fixe xdans[a,b]. 2.P ourtoutx
02[a,b],lasuite(xn)n2Ndéfiniepar: xn+1=g(xn),(n
0)converge vers xlorsque n! 1.
Vitesse de convergence
On cherche à quantifier la vitesse de convergence de la suitexnen compa- rant la valeur absolue de l"erreuren=xnxentre deux itérations successives. La méthode du point fixe xn+1=g(xn)est dite d"ordrersijen+1jjenjra une limite finie quandntend vers+1. On dit que la suite (en)converge avec unordre de convergenceégal à rs"il existe une constanteC>0 telle que : jen+1jjenjrC, pournassez grand r=1 l" ordre de convergence est dit linéaire ou géométrique r>1 superlinéaire r=2 quadratique Il est souvent délicat de déterminer un intervalle[a,b]dans lequel les hy- pothèses (a) et (b) du théorème du point fixe sont vérifiées. Soit g:R!Rune fonction de classeC1et soitxun point fixe deg tel quejg0(x)j<1. Alors, il existe un voisinageIdextel que la suite (xn)n2Ndéfinie parxn+1=g(xn)avecx02I, converge versx.De plus
1.Si g0(x)6=0, la convergence est géométrique
2. S"il existe un entier r2 tel quegsoit de classeCrau voisinage dex et si g0(x) ==g(r1)(x) =0,g(r)(x)6=0
alors, la convergence est d"ordrer.Mat-2910 A-14page 6 de 16Interprétation géométrique
Exemple 3.2:
f(x) =x2+x6=0 1. x=g(x) =6x+1;x0=5 2. x=g(x) =p6x;x0=5 3. x=g(x) =6x2;x0=5Exemple:
y= 6/(x+1); x_0 =5.000000E+00 k x eabsolue erelative0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000
1 1.0000e+000 4.0000e+000 4.0000e+000
2 3.0000e+000 2.0000e+000 6.6667e-001
3 1.5000e+000 1.5000e+000 1.0000e+000
4 2.4000e+000 9.0000e-001 3.7500e-001
5 1.7647e+000 6.3529e-001 3.6000e-001
6 2.1702e+000 4.0551e-001 1.8685e-001
7 1.8926e+000 2.7760e-001 1.4667e-001
8 2.0742e+000 1.8163e-001 8.7564e-002
9 1.9517e+000 1.2255e-001 6.2790e-002
10 2.0327e+000 8.1030e-002 3.9863e-002
11 1.9784e+000 5.4312e-002 2.7452e-002
12 2.0145e+000 3.6077e-002 1.7908e-002
13 1.9904e+000 2.4109e-002 1.2113e-002
14 2.0064e+000 1.6047e-002 7.9976e-003
15 1.9957e+000 1.0709e-002 5.3661e-003
16 2.0029e+000 7.1344e-003 3.5621e-003
17 1.9981e+000 4.7585e-003 2.3815e-003
18 2.0013e+000 3.1713e-003 1.5847e-003
19 1.9992e+000 2.1147e-003 1.0578e-003Mat-2910 A-14page 7 de 16
20 2.0006e+000 1.4096e-003 7.0459e-004
21 1.9996e+000 9.3981e-004 4.6999e-004
22 2.0003e+000 6.2650e-004 3.1321e-004
23 1.9998e+000 4.1769e-004 2.0886e-004
24 2.0001e+000 2.7845e-004 1.3922e-004
25 1.9999e+000 1.8564e-004 9.2822e-005
29 2.0000e+000 3.6669e-005 1.8334e-005
30 2.0000e+000 2.4446e-005 1.2223e-005
Fonction :
y= sqrt(6-x); x_0 =5.000000E+00 k x eabsolue erelative0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000
1 1.0000e+000 4.0000e+000 4.0000e+000
2 2.2361e+000 1.2361e+000 5.5279e-001
3 1.9401e+000 2.9598e-001 1.5256e-001
4 2.0149e+000 7.4837e-002 3.7142e-002
5 1.9963e+000 1.8657e-002 9.3460e-003
6 2.0009e+000 4.6676e-003 2.3327e-003
7 1.9998e+000 1.1667e-003 5.8341e-004
8 2.0001e+000 2.9168e-004 1.4584e-004
9 2.0000e+000 7.2920e-005 3.6460e-005
Fonction :
y= 6-x^2; x_0 =5.000000E+00 k x eabsolue erelative0 5.0000e+000 1.0000e+000 1.0000e+000Mat-2910 A-14page 8 de 16
1 -1.9000e+001 2.4000e+001 1.2632e+000
2 -3.5500e+002 3.3600e+002 9.4648e-001
3 -1.2602e+005 1.2566e+005 9.9718e-001
4 -1.5881e+010 1.5881e+010 9.9999e-001
5 -2.5220e+020 2.5220e+020 1.0000e+000
6 -6.3605e+040 6.3605e+040 1.0000e+000
7 -4.0455e+081 4.0455e+081 1.0000e+000
8 -1.6366e+163 1.6366e+163 1.0000e+000
9 -Inf Inf NaN
10 -Inf NaN NaN
11 -Inf NaN NaN
12 -Inf NaN NaN
13 -Inf NaN NaNMat-2910 A-14page 9 de 16
4M ÉTHODE DENEWTON
Soit f:[a,b]!Rcontinue et dérivableOn cherche toujours à résoudref(x) =0.
Il est évident que sih(x)est une fonction non nulle, alorsxest une solution def(x) =0 si et seulement sixest un point fixe de g(x) =x+h(x)f(x) La méthode de Newton consiste alors à choisir la fonctionh(x)de telle sorte que la méthode des approximations successives appliquée à la fonctiong(x)soit d"ordre deux. C"est à dire tel queg0(x) =0. Ceci serait le cas si on choisit par exempleh(x) =1f0(x)On a alors l" algorithme de Newton suivant :
x0donné
x n+1=xnf(xn)f 0(xn)Exemple 4.1f(x) =x2a=0
x n+1=12 (xn+ax n)Convergence
On a le résultat de convergence suivant :
Théorème 4.1Soit f:[a,b]!Rune fonction de classe C3et soit x2]a,b[ un zéro de f(x). a) Si f0(x)6=0, alors il existe un voisinage I de xtelle que la suite(xn)n2N
définie par : x02I,8n2N,xn+1=xnf(xn)f
0(xn) existe et converge vers xquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8[PDF] méthode de singapour maths cm1
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