Fiche méthode 3 :´Equations différentielles.
Fiche méthode 3 :´Equations différentielles. I Du premier ordre : On a une équation du type (E) : y/ + ay = b `a résoudre. (Attention a est a priori une
EQUATIONS DIFFERENTIELLES I Définition et notation
Résoudre une équation différentielle d'ordre n sur un intervalle I c'est trouver toutes les fonctions dérivables n fois sur I solution de l'équation. • Quand
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
– Exemple : ?F (tY
Méthodes numériques de résolution déquations différentielles
Les fonctions. Matlab (Octave) pour résoudre une équation différentielle ne marchent pas si la fonction retourne un vecteur ligne. L'écriture de la fonction '
Cours de mathématiques - Exo7
Voici des équations différentielles faciles à résoudre. (b) Résolution de l'équation avec second membre (E) par la méthode de variation de la constante.
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Méthode : Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle. Vidéo https://youtu.be/LX8PxR-ScfM. Prouver que la fonction définie sur ]0
- FICHE DE COURS CHAPITRE SUR LES EQUATIONS
On considère y la fonction définie sur IR de la variable x
Introduction aux équations différentielles et aux dérivées partielles
Table des matières. I Equations différentielles. 7. 1 Méthodes de résolution explicite des équations différentielles “simples”. 9. 1.1 Définitions .
Équations différentielles
Résoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation de la constante : 1. y ?(2x? 1.
Chapitre 6 : Équations différentielles
25 nov. 2013 Savoir résoudre une équation linéaire du premier ordre ou du second ordre à coefficients constants en maîtrisant notamment la méthode de ...
1 Motivation
1.1 Quelques exemples de problemes dierentiels
Modele malthusien de croissance de population
Modelisation de l'evolution d'une population \fermee" {P(t) : taille de la population a l'instant tt {P0(t) : variations de la taille de la populationOn supp oseque les nom bresde naissances et de d ecesson tprop ortionnels ala taille de la p opulation,
avec un taux de nataliteet un taux de mortalite. P0(t) =P(t)P(t) = ()P(t)
T ailleinitiale de la p opulation: P(t0) =P0
Solution
P(t) =P0exp(()(tt0)):
Modele dit \de croissance logistique"
Ajout d'un terme de competition entre les individus (P0(t) =aP(t)bP(t)2P(0) =P0
ßEquation dierentielle non lineaire
Calcul de la solution par separation des variables P0(t)aP(t)bP(t)2= 1
1aPbP2=1=aP
+b=aabP=)P0aPbP2=1a P0P +bP0abP Z P0P =h lnjPji etZbP0abP=h lnjabPjiSolution obtenue
P(t) =aP0bP
0+ (abP0)ea(tt0)
1Pendule pesant non amorti
O l(t)M{P endulede masse m, suspendu enOFil ( OM) non pesant et de longueurl.
(t) : position par rapport a la position d'equilibre (angle signe).Mouvement du pendule gouverne par la
loi fondamentale de la dynamique.Equation du mouvement :
(t) est solution du probleme dierentiel : 8<00(t) =gl
sin((t)) (0) =0; 0(0) = 0 (par exemple)ßequation dierentielle d'ordre 2 non lineaire
Pendule pesant non amorti : transformation
(t) est solution du probleme dierentiel : (00(t) =!2sin((t)) (0) =0; 0(0) = 0 par exemplePosons :x(t) =(t),y(t) =0(t) etY(t) = x(t)
y(t)!On a alors
Y0(t) = x0(t)
y 0(t)! = 0(t)00(t)!
= 0(t) !2sin((t))! = y(t) !2sin(x(t))!Pendule pesant non amorti : transformation
Y(t) = (t)
0(t)! est solution du probleme dierentiel :Y0(t) =F(t;Y(t))
Y(0) =Y0
avec F t; x y! = y !2sin(x)! et Y 0= 0 0! 21.2 Forme generale d'une equation dierentielle
Equation dierentielle, probleme de Cauchy
On s'in teresseaux equationsdi erentiellesdu premier ordre de la forme y0(t) =F(t;y(t))
avecF:IRp!Rp(I, intervalle deR) une fonction continue. Si p >1, il s'agit en pratique d'un systeme dierentiel.Le probl emea vecconditi oninitiale est app ele
pr oblemede Cauc hy (y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp;Notion de solution
Probleme de Cauchy
(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp;Solution
Une solution du p roblemede Cauc hy est la donn eed'un in tervalle ~Iet d'une fonction'2 C1(~I;Rp) tels que {t02~I,~II, {'0(t) =F(t;'(t))8t2~I, {'(t0) =y0.Remarque
On utilise souvent la m^eme notation pour l'inconnue dans l'equationyet la solution', noteey...1.3 Un resultat theorique fondamental
Le theoreme de Cauchy-LipschitzTheoreme
Considerons le probleme de Cauchy :
()(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02I,y02Rp; avecF: (t;y)2IRp!F(t;y)2Rp. Supposons que {Fest continue surIRp, {Fest lipschitzienne eny, uniformement ent: il existeL >0 telle que8t2I;8y1;y22 VRpy0jjF(t;y1)F(t;y2)jj Ljjy1y2jj:
Alors, le probleme de Cauchy () possede une unique solution. Cette solution est denie sur un intervalle
contenantt0.3Et le calcul eectif de la solution?
Mo delemalth usien: OK
equa di lineaire d'ordre 1 a coes constantsMo delede c roissancelogistique : OK
equa di d'ordre 1, non lineaire mais a variables separablesP endulep esant?
(Y0(t) =F(t;Y(t))Y(0) =Y0avecF(t; x
y! ) = y !2sin(x)!ßIl s'agit d'un systeme dierentiel 22.
ßLe systeme est bien d'ordre 1... mais il est non lineaire.Calcul numerique d'une solution approchee
Pas d'expression explicite de la solution
Calcul numerique d'une solution approchee0123456-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 temps t q(t)2 Mise au point de methodes numeriques et convergence2.1 Principe
ButOn suppose que le probleme de Cauchy
(y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0; t02R,y02Rp; admet une unique solutionydenie surI= [t0;t0+T]. 4Subdivision de l'intervalle de temps
t 0t 1t nt n+1tN=t0+Ttn=tn+1tn;t= max0nNtn:
L'objectif est de calculer des valeurs (Yn)0nN, qui soient de \bonnes" approximations de (y(tn))0nN.Lien avec l'integration numerique
Integration de l'equation
Z tn+1 t ny0(t)= F(t;y(t)) y(tn+1)y(tn) =Z tn+1 t nF(t;y(t))dtApproximation
{y(tn+1)y(tn)ßYn+1Yn {Z tn+1 t nF(t;y(t))dtßFormule de quadrature :RAG(tn+1tn)F(tn;y(tn))
RAD(tn+1tn)F(tn+1;y(tn+1))
Trapezes(tn+1tn)F(tn;y(tn)) +F(tn+1;y(tn+1))2
Methodes numeriques correspondantes
Methode d'Euler expliciteÞschema explicite
Yn+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn;Yn)
Y 0=y0Methode d'Euler impliciteÞschema implicite
Yn+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn+1;Yn+1)
Y 0=y0Methode de Crank-NicolsonÞschema implicite
Y n+1=Yn+ (tn+1tn)F(tn;Yn) +F(tn+1;Yn+1)2 Y0=y0 52.2 Notion de convergence
Introduction des notions d'erreur locale/erreur globale{y(t) solution exacte de l'equation dierentielle,
( Yn)0nNvaleurs donnees par le schema numerique Þyappreconstruction d'une solution approchee ane par mxErreur localeen=y(tn)Yn
Erreur globaleE(t) = max0nNjenj(!:Ndepend de t)
Denition de la convergenceLa methode numerique est ditecon vergentesiE(t) = max0nNjenj !0:
t!0 62.3 Convergence de la methode d'Euler explicite
Erreur de consistance
Probleme de Cauchy
y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0ßsolution exacte :yMethode d'Euler explicite
Yn+1=Yn+ tF(tn;Yn)
Y 0=y0ßschema numerique : (Yn)
Denition
L' erreur de consistance (locale) al'instan tnest denie comme l'erreur commise par la solution exacte dans le schema numerique : n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn)):Estimation de l'erreur de consistance
Probleme de Cauchy
y0(t) =F(t;y(t)) y(t0) =y0Methode d'Euler expliciteYn+1=Yn+ tF(tn;Yn)
Y 0=y0 ßon suppose que la solution exacte veriey2 C2([t0;t0+T]|{z} I;R) n=y(tn+1)y(tn)tF(tn;y(tn)) Mais, {y(tn+1) =y(tn) + ty0(tn) +t22 y00(n) {y0(tn) =F(tn;y(tn)) D'ou, n=t22 y00(n):Majoration de l'erreur de consistance
n=t22 y00(n):Majoration
M2= sup
[t0;t0+T]jy00(t)j=) j"nj M22 t2:Remarque : lien entrey00andF
y0(t) =F(t;y(t));
y00(t) =@F@t
(t;y(t)) +@F@y (t;y(t))y0(t) @F@t (t;y(t)) +@F@y (t;y(t))F(t;y(t)): 7Erreur due au schema numerique
La solution exacte et le sc heman umeriquev erient: y(tn+1) =y(tn) + t F(tn;y(tn)) +"n Y n+1=Yn+ t F(tn;Yn)Alors, comme en=y(tn)Yn, on obtient
e n+1=en+ tF(tn;y(tn))F(tn;Yn)+"n: Si Fest localement lipschitzienne enyuniformement ent(hypothese du thm de Cauchy-Lipschitz), on aF(tn;y(tn))F(tn;Yn)Ljenj
et jen+1j jenj(1 +Lt) +j"nj:Deux lemmes intermediaires
Lemme 1
Soit (n)n0une suite positive veriant
80nN; n+1an+;aveca0 et0:
Alors,81nN+ 1,
nan0+n1X i=0a i=an0+1an1aLemme 2
De plus, sia= 1 +avec >0, comme (1 +)nen, on a
nen0+quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] méthode essai anglais bac
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