[PDF] Fonctions de 2 et 3 variables 2 Extremums sous contrainte : mé

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Fonctionsde2et3variables

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fonction,onnote f:RR!R: fonction,onnote f:RRR!R: en(x;y;z). noteD(f).

Exemple

Soit f:RR!R (x;y)7!1 xy: couples(x;y)telsquexy6=0.Ainsi

D(f)=f(x;y)2RR:x6=yg:

Ona f(2;3)=1 23=1:

Exemple

Soit g:RRR!R (x;y;z)7!8 :yz xsix6=0

0sinon.

couples(x;y;z).Ainsi

D(g)=RRR:

Ona g(2;3;1)=31 2=3

2etg(0;32;12)=0:

2Extremumssouscontrainte:méthode

f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctiondedeuxvariableset c:RR!R (x;y)7!c(x;y) unedeuxièmefonctiondedeuxvariables. celuipourlequelf(x;y)estmaximum.

Uncouple(x

0 ;y 0 )deD(f)estunmaximumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 celuipourlequelf(x;y)estminimum.

Uncouple(x

0 ;y 0 )deD(f)estunminimumsouslacontrainte c(x;y)=0si c(x 0 ;y 0 )=0; f(x;y)f(x 0 ;y 0 souslacontraintec. f(x;y)deviennentalors

1.soitg(y)=f(h(y);y)danslepremiercas;

2.soitg(x)=f(x;h(x))danslesecondcas.

Exemple

Onconsidèrelafonction

f(x;y)=2xy c(x;y)=2x+3y6: y=22 3x: f(x;y)=f x;22 3x =2x 22
3x etondoitétudierlesextremumsde g(x)=2x 22
3x

Oncalcule

g 0 (x)=8 3x+4:

Ainsig

0 (x)>0pourx<3 2etg 0 (x)<0pourx>3

2etgaun

maximumatteintenx=3

2.Onaalors

y=22 33
2=1: unmaximum,cemaximumestatteinten 32
;1etvaut f 3 2;1 =3:

2x+3y6=0.

3Dérivéespartiellespremièreset

deuxvariablesSoit f:RR!R (x;y)7!f(x;y) unefonctionà2variables. (x;y)si,ladérivéedelafonction f y :R!R x7!f(x;y) existeenx.Onnote @f @x:RR!R (x;y)7!f 0y (x;y):

Pourcalculer@f

considérantycommeunnombreconstant. (x;y)si,ladérivéedelafonction f x :R!R y7!f(x;y) existeeny.Onnote @f @y:RR!R (x;y)7!f 0x (x;y):

Pourcalculer@f

considérantxcommeunnombreconstant.

Exemple

Soit f:RR!R (x;y)7!x 2 p y+y: Ona

D(f)=f(x;y)2RR:y0g:

Siyestconstant,ladérivéedex

2 p y+yparrapportàxest2xp y donc@f @x(x;y)=2xp y:

Sixestconstant,ladérivéedex

2 p y+yparrapportàyest x 21
2p y +1donc @f @y(x;y)=x 2 1 2p y+1: f(x;y)2RR:y>0g6=D(f):

àlapremièreoudeuxièmevariable.

Onnote

2 f @x 2 @x @f @x deuxièmedefparrapportàx.

Onnote

2 f @x@y=@ @x @f @y deuxièmedefparrapportà(x;y).

Onnote

2 f @y@x=@ @y @f @x deuxièmedefparrapportà(y;x).

Onnote

2 f @y 2 @y @f @y deuxièmedefparrapportày. troisvariablesSoit f:RRR!R (x;y;z)7!f(x;y;z) unefonctionà3variables. (x;y;z)si,ladérivéedelafonction f y;z :R!R x7!f(x;y;z) existeenx.Onnote @f @x:RRR!R (x;y;z)7!f 0y;z (x;y;z):

Pourcalculer@f

Demême@f

sibestl'unedeslettresx,yetz, 2 f @a@b=@ @a @f @b deuxièmedefparrapportà(a;b).

Exemple

Soit f(x;y;z)=p y+p z x+y 2 +p z: @f @z=x+y 2 p y 2(x+y 2 +p z) 2 p z 2 f @x@z=x+y 2 2p yp z 2(x+y 2 +p z) 3 p z

4Extremumssouscontrainte:méthode

contraintec. souslacontraintec. candidats.Elledonneunelistedecouples(x 0 ;y 0 )ets'ilexisteun extremum,ildoitêtredanscetteliste. d'extremum. construitunefonctiondetroisvariables g(x;y;)=f(x;y)+c(x;y): @g @x;@g @y;@g :@g @x=0 @g@y=0 @g @=0:

Exemple

Oncherchelesextremumsde

f(x;y)=4p xy souslacontrainte c(x;y)=x+y6=0:

Lafonctionassociéeest

g(x;y;)=4p xy+(x+y6): Ona @g @x=2p y p x+;@g @y=2p x p y+;@g @=x+y6:

Lescandidatssontdonclessolutionsde

8 :2 p y p x+=0 2 px p y+=0 x+y6=0:

L'équation

2p y p x+=0 donne y= 2 4x:

L'équation

2p x p y+=0 donnealors 4 +=0 donc4+ 2 =0puis=2ou=2.

L'équationx+y6=0devientalors

x+ 2 4x6=0 puis

2x6=0:

Onaalorsx=3.Mais,y=

2

4xdoncy=3.

extremumestatteinten(3;3)etvaut f(3;3)=12:

5Représentationgraphiquedesfonctions

x et y qui formentunangledroit. y x O

1.Onrepèrexsurl'axe

x enleplaçantàdistancexdeO enmesurantdegaucheàdroitesix0 enmesurantdedroiteàgauchesix<0

2.Onrepèref(x)surl'axe

y enleplaçantàdistancef(x)deO enmesurantdebasenhautsif(x)0 enmesurantdehautenbassif(x)<0

3.Ontraceunedroiteparallèleà

y passantparlepointrepérésur x

4.Ontraceunedroiteparallèleà

x passantparlepointrepérésur y deuxdroitestracéesprécédemment. y x O 3f(3) (3;f(3)) y x O 3 f(3) (3;f(3)) (x;y)7!f(x;y) axes x y et z auxdeuxautres.. y x z O

1.Onrepèrexsurl'axe

x enleplaçantàdistancexdeO enmesurantdegaucheàdroitesix0 enmesurantdedroiteàgauchesix<0

2.Onrepèreysurl'axe

y enleplaçantàdistanceydeO enmesurantdebasenhautsif(x)0quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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