[PDF] Méthode de la Puissance itérée PolytechParis-UPMC

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Méthode de la Puissance itérée

Polytech'Paris-UPMC

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion

Introduction- p. 2/36

Introduction

- p. 3/36

Un problème de Physique

Considérons un système de deux billes reliées par 3 ressorts m1 m2 k1k2k3l1 l2 l3 - p. 3/36

Un problème de Physique

Considérons un système de deux billes reliées par 3 ressorts m1 m2 k1k2k3 l1 l2 l3

Position

x1(t) x2(t) Force F1 F2 -F2 F3 Le système doit osciller, mais à quelle fréquence et à quelleamplitude? - p. 3/36

Un problème de Physique

Considérons un système de deux billes reliées par 3 ressorts m1 m2 k1k2k3 l1 l2 l3

Position

x1(t) x2(t) Force F1 F2 -F2 F3 Le système doit osciller, mais à quelle fréquence et à quelleamplitude?

D'après les lois de NEWTON?

m

1x??1(t) =F1(t) +F2(t)

m

2x??2(t) =-F2(t) +F3(t)?????F

1(t) =-k1x1(t)

F

2(t) =k2(x2(t)-x1(t))

F

3(t) =-k3x2(t)

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 4/36

Donc,?

x??1(t) =-k1+k2 m1x1(t) +k2 m1x2(t) x

2(t) =k2

m2x1(t)-k2+k3 m2F3(t)Sous forme matricielle : x??(t) =-A-→x(t)avecA=? k 1+k2 m1-k2 m1-k2 m2k 2+k3 m2? En cherchant les positions sous la formex1(t) =C1cos(ωt)et x

2(t) =C2cos(ωt)on obtient :

A C 1 C 2? =ω2? C 1 C 2? Le problème revient donc à chercherC1?= 0,C2?= 0etωtels que les deux équations ci-dessus soient satisfaites. Cela revient à chercher les valeurs propres de la matriceA.

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 5/36

Le problème

Soit une matriceA, répondant à certaines conditions par exemple : Aest symétrique, hermitienneAest diagonalisableLes valeurs propres deAsont toutes différentes

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 5/36

Le problème

Soit une matriceA, répondant à certaines conditions par exemple : Aest symétrique, hermitienneAest diagonalisableLes valeurs propres deAsont toutes différentes On cherche à obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 5/36

Le problème

Soit une matriceA, répondant à certaines conditions par exemple : Aest symétrique, hermitienneAest diagonalisableLes valeurs propres deAsont toutes différentes On cherche à obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres de A.Méthodes basées sur le polynôme caractéristique

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 5/36

Le problème

Soit une matriceA, répondant à certaines conditions par exemple : Aest symétrique, hermitienneAest diagonalisableLes valeurs propres deAsont toutes différentes On cherche à obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres de

A.Méthodes basées sur le polynôme caractéristiqueMéthodes basées sur les matrices semblables

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 5/36

Le problème

Soit une matriceA, répondant à certaines conditions par exemple : Aest symétrique, hermitienneAest diagonalisableLes valeurs propres deAsont toutes différentes On cherche à obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres de

A.Méthodes basées sur le polynôme caractéristiqueMéthodes basées sur les matrices semblablesMéthodes itératives

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 5/36

Le problème

Soit une matriceA, répondant à certaines conditions par exemple : Aest symétrique, hermitienneAest diagonalisableLes valeurs propres deAsont toutes différentes On cherche à obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres de

A.Méthodes basées sur le polynôme caractéristiqueMéthodes basées sur les matrices semblablesMéthodes itératives

Les méthodes itératives sont basées sur une suite de vecteurs (xk)k?INqui tendent vers un vecteur propre.

IntroductionUn problème de PhysiqueLe problèmeAlgorithme de la puissanceitéréeMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion- p. 5/36

Le problème

Soit une matriceA, répondant à certaines conditions par exemple : Aest symétrique, hermitienneAest diagonalisableLes valeurs propres deAsont toutes différentes On cherche à obtenir les valeurs propres et les vecteurs propres de

A.Méthodes basées sur le polynôme caractéristiqueMéthodes basées sur les matrices semblablesMéthodes itératives

Les méthodes itératives sont basées sur une suite de vecteurs (xk)k?INqui tendent vers un vecteur propre.

Comment construire cette suite?

IntroductionAlgorithme de la puissanceitéréePrincipePrincipe (suite)AlgorithmeVitesse de ConvergenceVitesse de convergenceMéthode de déflationMéthode de la puissanceinverseConditions de convergenceConclusion

Algorithme de la puissance itérée- p. 6/36

Algorithme de la puissance itérée

- p. 7/36

1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

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1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

- p. 7/36

1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

dont les vecteurs propres sont : 4 1?? -1 1? - p. 7/36

1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

dont les vecteurs propres sont : 4 1? de valeur propre1,5? -1 1? de valeur propre0,8 - p. 7/36

1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

dont les vecteurs propres sont : 4 1? de valeur propre1,5? -1 1? de valeur propre0,8 - p. 7/36

1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

dont les vecteurs propres sont : 4 1? de valeur propre1,5? -1 1? de valeur propre0,8 - p. 7/36

1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

dont les vecteurs propres sont : 4 1? de valeur propre1,5? -1 1? de valeur propre0,8 - p. 7/36

1 2 3 4

-1-2-3-4 1-1 matriceA=?

1,36 0,56

0.14 0.94?

dont les vecteurs propres sont : 4 1? de valeur propre1,5? -1 1? de valeur propre0,8 - p. 8/36

Principe

Soit la matriceA? Mn,n(IR)dont on cherche les valeurs propres, supposons queApossèdenvaleurs propres de modules différents

1,λ2,...,λntelles que|λ1|<|λ2|<···<|λn|

et soient u1,-→u2,...,-→unles vecteurs propres associés - p. 8/36

Principe

Soit la matriceA? Mn,n(IR)dont on cherche les valeurs propres, supposons queApossèdenvaleurs propres de modules différents

1,λ2,...,λntelles que|λ1|<|λ2|<···<|λn|

et soient

u1,-→u2,...,-→unles vecteurs propres associésAlors, si-→x0est un vecteur quelconque,

- p. 8/36

Principe

Soit la matriceA? Mn,n(IR)dont on cherche les valeurs propres,quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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