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Ici nous avons la fonction de production Vous pouvez utiliser les mêmes arguments de l'exercice 3 pour dire que les élasticités de production sont données par

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Exercice 1 Soit une entreprise dont l'évolution de la production en fonction du nombre d'unités de travail utilisée est donnée dans le tableau ci-dessous :

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K et le travail L selon la fonction de production : Y ) f!K L" ! K L " avec $

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Tracer sur un même graphique les fonctions de coût moyen et de coût marginal des deux types de raffineries Exercice 2 2 Soit la fonction de production :

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a EXERCICE 4 PRODUCTIVITÉS MOYENNES PRODUCTIVITÉS MARGINALES ET ISOQUANTES Soient les fonctions de production suivantes :

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Question 3 : trouvez la relation entre s? et sw qui égalise les capitaux par tête et donc la production par tête Correction Exercice 1 : On va montrer que la

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La fonction de production de cette entreprise présente des rendements d'échelle croissants pour tous les niveaux de production VRAI Cobb Douglass : Q = AL K

TD n o5 de Macroeconomie

La fonction de production neoclassique et le

modele de Solow

Licence AES AGE,AGT,CAI, semestre 5

Faculte de Droit et des Sciences

Economiques de Limoges

Exercice 1 :La fonction du production neoclassique La fonction de production Cobb-Douglas est le la forme : Y t=AKtL1t Question 1 :Montrez que cette fonction verie les conditions d'Inada. Question 2 :Calculez la productivite marginale de capital a partir de l'expression deYtet a partir de l'expression deyt(Il faut tenir compte du fait queYt= PmK t:Kt+PmLtLtqui est la consequence des rendements constants a l'echelle)

Exercice 2 : Le modele de Solow

Nous supposons l'existence de deux pays qui ont la m^eme fonction de production du type : Y t=K0;3 tL0;7 t soit par t^ete de travailleur : y t=k0;3 t Par ailleurs ces pays ont le m^eme taux de croissance de la population et la m^eme depreciation du capital tel que (n+) = 8%. 1 Question 1 :Pour le paysAseuls les capitalistes epargnent. Ils epargnent une part constante disonss= 0;3durevenu du capital. Determinez le capital d'etat stationnaire.

Question 2 :

Pour le paysBseuls les travailleurs epargnent. Ils epargnent une part constante disonssw= 0;2durevenu du travail. Determinez le capital d'etat stationnaire.

Question 3 :

trouvez la relation entresetswqui egalise les capitaux par t^ete et donc la production par t^ete.

Correction

Exercice 1 :

On va montrer que la fonction de production Cobb-Douglas verie les conditions d'INADA. Condition # 1 : Les rendements marginaux sont positifs et decrois- sants.

Positif :

Dit autrement laPmKet laPmL(productivite marginale du capital et productivite marginale du travail) sont positives : Ajouter une unite de capital ou une unite de travail permet d'augmenter la production. Verions cela avec la fonction de production : @Y t@K t=PmKt=Kt1Lt1=LtK t 1 >0 @Y t@L t=PmLt= (1)KtLt= (1)KtL t >0

Decroissants :

chaque unite de capital (ou de travail) supplementaire aug- mente de moins en moins la production. Pour s'assurer de cela il faut re-deriver les productivites marginales et s'assurer qu'elles sont negatives. @PmK t@K t= (1)Kt2Lt1=(1)L1tK 2t<0 2 @PmL t@L t=PmLt=(1)KtLt1=(1)KtL 1+t<0

Condition # 2 : Les limites aux bornes.Les limites des productivites marginales tendent vers+1lorsque la quantite de

facteur utilise tend vers 0 et tendent vers 0 lorsque la quantite de facteur utilise tend vers+1. Ces conditions servent a assurer l'unicite de l'equilibre dans le modele Solow. En eet, pour assurer ques:ytsoit superieur a(n+)ktlorsquektest tres petit, il surait ques:Pmksoit superieur a(n+)kt. Tant qu'a faire, qui peut le plus peut le moins, il sut de supposer que la limite de laPmkttende vers+1 lorsquekttend vers 0. Un autre solution consisterait a poser quef(0)>0mais cette possibilite est ecarte dans la mesure ou il est impensable que l'on puisse produire sans capital. PmK t=LtK t 1 On voit bien que si l'on xeLtles limites de laPmKtsont : lim K t!0PmKt= +1 lim K t!+1PmKt= 0

De la m^eme facon :

PmL t= (1)KtL t On voit bien que si l'on xeKtles limites de laPmLtsont. lim L t!0PmLt= +1 lim L t!+1PmLt= 0

Condition # 3 : Rendements constants a l'echelle.

3 Si l'on multiplie tous les facteurs de production par une valeurs quelconque (positive), disons, la production est multipliee par.

A(Kt)(Lt)1=A1KtLt1=yt

Exercice 2 :

Le but de cet exercice voir comment l'etat stationnaire est aecte selon que l'epargne porte sur le revenu du capital ou le revenu du travail. On va donc avoir deux hypotheses alternatives : 1. L 'epargnep art ^etep ortes url esseu lsr evenusd ucap ital: S tL t=sPmktkt ouStrepresente l'epargne globale,Ltle nombre de travailleurs,Pmktktle revenu brut du capital par t^ete. 2. L 'epargnep ortesu rl esseu lsr evenusd utr avail: S tL t=swwt ouStrepresente l'epargne globale,Ltle nombre de travailleurs,wt=yt

Pmktktle salaire.

L'epargne porte sur le revenu du capital

L'equation dynamique d'accumulation du capital par t^ete va s'ecrire : Dk t=spiPmktkt(n+)kt En remarquant quePmktkt=yt(consequence de la fonction de production

Cobb-Douglas) on en deduit que :

Dk t=spiyt(n+)kt A l'etat stationnaireDkt= 0. En remplacantytpar son expression (yt=Akt) et en resolvant enkton trouve : k =Asn+

11et doncy=Asn+

1 4 Application numerique :A= 1, (n+) = 0;08,= 0;3,s= 0;3. k =0:30:30;08

110;3= 1;1832 et doncy=0;30;30;08

0;310;3= 1;0517

L'epargne porte sur le revenu du travail

L'equation dynamique d'accumulation du capital par t^ete va s'ecrire : Dk t=swwt(n+)ktEn remarquant quewt=ytPmktkt= (1)yt(consequence de la Cobb-Douglas), on peut ecrire : Dk t=sw(1)yt(n+)kt A l'etat stationnaireDkt= 0. En remplacantytpar son expression (yt=Akt) et en resolvant enkton trouve : k =A(1)swn+

11et doncy=A(1)swn+

1 Application numerique :A= 1, (n+) = 0;08,= 0;3,sw= 0;2. k =(10:3)0:20;08

110;3= 2;2243 et doncy=(10;3)0;30;08

0;310;3= 1:2710

Lien entresetswpour egaliser le capital par t^ete.

On desire que :

k w=A(1)swn+

11=kpi=Asn+

IL est clair que dans ce cas :

A(1)swn+=Asn+

En simpliant :

(1)sw=spiC'est le lien entre enter les taux d'epargne qui permet aux deux economiesAetB d'avoir le m^eme capital par t^ete donc la m^eme production par t^ete.

Remarque :

Si dans le modele de Solow on introduisait l'epargne par t^ete sous la forme :StL t=sPmktkt+swwt

On obtiendrait :

k =A(1)sw+Asn+ 11 Comme dans le modele de Solow on epargne sur le revenusw=s=set donc on retrouve bien : k =Asn+ 11 6quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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