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BULLETIN FRANÇAIS D'ACTUARIAT, Vol. 9, n°18, juillet - décembre 2009, pp. 41 - 63

MODELISATION DE LA FREQUENCE DES SINISTRES EN

ASSURANCE AUTOMOBILE

Olga A. VASECHKO

1

Michel GRUN-RÉHOMME

2

Noureddine BENLAGHA

3

RÉSUMÉ

La sinistralité en assurance automobile se mesure en termes de fréquence des accidents et de montant de ces accidents. Dans ce marché fortement concurrentiel,

l'assureur cherche à sélectionner des facteurs qui contribuent à expliquer la sinistralité.

Dans cet article, on s'intéresse aux facteurs explicatifs du nombre d'accidents

responsables déclarés par l'assuré à son assureur. Pour répondre à l'importance du nombre

d'assurés sans sinistre sur une période d'exercice et à l'hétérogénéité de cette population

(absence de sinistre ou sinistre non déclaré), des modèles à " inflation de zéros » sont

proposés : le modèle de Poisson et le modèle binomial négatif. A priori, ces modèles n'ont jamais été utilisés sur des données d'assurance automobile française. Nous montrons empiriquement que ces modèles sont justifiés, même si les variables explicatives de la fréquence des sinistres sont sensiblement les mêmes qu'avec les modèles classiques de comptage, à l'exception du choix de contrat et ils révèlent un effet de sélection adverse. La probabilité que l'assuré a eu un sinistre responsable non déclaré, augmente avec le coefficient réduction majoration et diminue avec l'ancienneté du véhicule et l'ancienneté de permis.

ABSTRACT

In the strongly competitive automotive insurance market, the insurer tries to determine factors that explain the frequency and cost of claims. In this paper, we study the factors that explain the number of accidents declared by the responsible insurant to his or her insurer giving consideration to the importance of the number of insurants without an accident over a given year. We use zero-inflated distributions (Poisson and binomial negative). These distributions model count data that have many zeros. For example, the 1

Research Institute of Statistics, Kyiv, Ukraine

2 Université Paris 2, ERMES-UMR7181-CNRS, Paris, France - M. GRUN-REHOMME - 3 sq. Auguste Renoir,

75014 Paris, France - E-Mail : grun@ensae.fr

3 Université Paris 2, ERMES-UMR7181-CNRS, Paris, France

42 O.A. VASECHKO - M. GRUN-REHOMME - B. BENLAGHA

zero-inflated Poisson distribution might be used when the proportion of zero counts is greater than expected on the basis of the mean of the non-zero counts. Specifically, we separate the zero accidents into two groups: those without an accident from those who had an accident but did not declare it. These models have not been used on data for the French automobile insurance market. Empirically, we show that the explanatory variables of the frequency of the disasters are appreciably the same as those with the classic models of counting, with the exception of the choice of contract for which we find adverse selection. The probability that the policyholder does not declare a claim increases with the bonus- surcharge coefficient and decreases with the age of the driver and the age of the car.

ZUSAMMENFASSUNG

Die Schadenfallsrate wird in der Autoversicherung mittels der Ausdrücke für die (Fehlen von Schadenfall oder nicht angemeldeter Schadenfall), wurden Modelle mit "Inflation von Nullen" vorgeschlagen: Poisson-Modell und negative Binomial-Modell.

Autoversicherung verwendet worden.

Wir zeigen empirisch, dass diese Modelle begründet sind, selbst wenn die für die einen gegnerischen Auswahleffekt. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Versicherte einen nicht angemeldeten Steigerungsverminderung und vermindert sich mit dem Alter des Fahrzeuges und dem

Alter des Führerscheines.

MODELISATION DE LA FREQUENCE DES SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE 43

1. INTRODUCTION

La sinistralité en assurance automobile est un problème important pour les pays industrialisés. Pour les assureurs, elle se mesure en termes de fréquence des accidents et de montant de ces accidents. Dans ce marché fortement concurrentiel de l'assurance automobile, qui représente la branche la plus importante de l'assurance non-vie, l'assureur cherche à déterminer des facteurs qui contribuent à expliquer la sinistralité. Ces facteurs lui permettent, en construisant des classes de risque, de segmenter son portefeuille et de hiérarchiser ces

classes à l'aide d'indicateurs de sinistralité, comme la prime pure. Cette démarche vise à

obtenir une bonne adéquation entre la sinistralité et les primes payées par les assurés. Dans cet article, on s'intéresse aux facteurs explicatifs du nombre d'accidents

responsables déclarés par l'assuré à son assureur. En général, des modèles de comptage

(modèle de Poisson ou modèle binomial négatif) sont utilisés dans la modélisation de la

fréquence des accidents. Mais du fait de l'existence, dans le portefeuille, d'un grand

nombre d'assurés sans sinistre sur une période d'exercice (une année), le nombre de zéros

de la variable aléatoire du nombre de sinistres est important. De plus, la valeur zéro peut correspondre à deux sous populations : les assurés qui n'ont eu aucun sinistre dans l'année

(cas général) et ceux qui ont eu un accident responsable et qui ne l'ont pas déclaré à

l'assureur. Non déclaration d'un accident mineur, en indemnisant directement la partie adverse pour éviter d'avoir un malus et une augmentation de sa prime. Cette non déclaration peut aussi correspondre à un délit de fuite.

Pour répondre à cette importance des valeurs nulles et à l'hétérogénéité de la

population correspondante, des modèles à " inflation de zéros » ont été proposés : le

modèle de Poisson à inflation de zéros (Zero-Inflated Poisson, noté ZIP) et le modèle binomial négatif à inflation de zéros (Zero-Inflated Negative Binomial, noté ZINB). Les variables explicatives de la fréquence des sinistres sont sensiblement les mêmes qu'avec les

modèles classiques de comptage, à l'exception du choix de contrat et ils révèlent un effet de

sélection adverse. A notre connaissance, ces modèles ont été très peu utilisés en assurance automobile.

On trouve un article de L

EE et al. (2002) sur les conducteurs novices dont l'ancienneté de permis est inférieure à un an. Ils montrent empiriquement sur des données australiennes que le modèle ZIP est justifié du fait d'une sur-dispersion de la fréquence des sinistres. M ELGAR et al. (2005) utilisent un modèle ZINB sur des données d'une compagnie

44 O.A. VASECHKO - M. GRUN-REHOMME - B. BENLAGHA

espagnole et montrent que ce modèle est plus adéquat aux données. Récemment, B

OUCHER

et al. (2007, 2008a) comparent, aussi sur des données espagnoles, les modèles à inflation de

zéros et les modèles à barrière (hurdle models), mais ils n'insistent pas sur les

interprétations des probabilités de sinistralité à l'aide des variables exogènes. Pour des

données longitudinales ou des données de panel, on peut consulter les articles de B

OUCHER

et al. (2008b) et B

OUCHER, DENUIT (2008c).

Notre démarche empirique est nouvelle dans la mesure où elle concerne des données françaises et que nous disposons du coefficient réduction majoration qui traduit l'expérience passée du conducteur. Ce texte est organisé en 5 sections. Après l'introduction, les modèles probabilistes utilisés sont exposés synthétiquement dans la section 2. Les données et quelques

statistiques exploratoires sont présentées dans la section 3. Les résultats et les comparaisons

entre les différents modèles constituent la section 4. Le papier se termine par des conclusions (section5), une bibliographie et des annexes.

2. LES MODELES

Dans la modélisation des processus de comptage, ici de la fréquence des sinistres, deux sortes de modèle sont couramment mis en oeuvre ; le modèle de poisson et le modèle binomial négatif. On trouve une littérature abondante sur l'utilisation de ces modèles : G REENE (1996), WOOLDRIDGE (1997), CAMERON et TRIVEDI (1998), WINKILMANN (2000), Y

AU et al. (2003), YANG et al. (2007).

Rappelons les définitions et les propriétés de ces modèles pour bien comprendre par la suite l'emploi des modèles ZIP et ZINB.

2.1 Modèle de Poisson

Dans un modèle de Poisson, la probabilité pour qu'une variable aléatoire Y (nombre de sinistres responsables déclarés) prennent la valeur i y (0,1,2... i y) pour un assuré i est donnée par : ii y i ii i ePY y Xy O (1) où le paramètre i dépend du vecteur i

Xdes caractéristiques (régresseurs) de

l'assuré i par une équation log linéaire, à savoir : ln , ii

Xoù est le vecteur des

coefficients à estimer. MODELISATION DE LA FREQUENCE DES SINISTRES EN ASSURANCE AUTOMOBILE 45 On vérifie aisément que dans la loi de Poisson (1), l'espérance est égale à la variance. i X ii ii i

EYX VarYX e

(2) Cette hypothèse d'équidispersion (homogénéité du portefeuille par rapport au risque) est très restrictive. Mais dans la pratique, du fait d'une abondance de valeurs nulles et de la présence de quelques valeurs extrêmes, la variance est supérieure à la moyenne. Dans ce cas, on parle d'une sur-dispersion de la variable Y. Cette situation implique une sous estimation des écarts types et on rejette trop souvent l'hypothèse nulle de non significativité des coefficients du modèle. D'où l'idée d'utiliser un modèle de comptage alternatif, basé sur la loi binomiale négative, qui prend en compte cette sur-dispersion par l'introduction d'un paramètre supplémentaire () qui permet, en outre, de capter l'hétérogénéité inobservée de la variable endogène (qui peut impliquer la sur-dispersion observée).

2.2 Modèle binomial négatif

Dans un modèle binomial négatif, on définit la probabilité pour que Y prenne la valeur i y par: (/)1 i y i i ii iii yPY y Xy (3)

En posant

1/, l'espérance et la variance s'expriment ainsi :

(/ ) , (/ ) (1 ) i X ii i ii i i

Ey X e Vary X

OODO (4)

La variance est donc différente de l'espérance et le paramètre traduit une sur dispersion (ou une sous dispersion) des données. Si

0, le modèle binomial se réduit au

modèle de Poisson. Si

0, le modèle de Poisson est rejeté au profit du modèle négatif

binomial. La sur-dispersion peut être testée soit par le ratio /( )Dnp, où D désigne la déviance, n le nombre d'observations et p le nombre de paramètres dans le modèle, soit par le ratio 2 /( )Xnp, où 2 X correspond à la statistique du chi-deux de Pearson. La déviance est définie comme 2 fois la différence entre le maximum possible de la log vraisemblance et le maximum atteint sur le modèle estimé (M

C CULLAGH, NELDER, 1989).

Le 2 Xde Pearson correspond à la somme des carrés des écarts à la moyenne. Si ces ratios sont supérieurs à 1, les données présentent une sur dispersion (et une sous dispersion si ces rations sont inférieurs à 1).

46 O.A. VASECHKO - M. GRUN-REHOMME - B. BENLAGHA

2.3 Les modèles ZIP et ZINB

CRAGG (1971) a développé différents modèles dans la situation où pour une variable endogène, un événement (comme l'achat d'un bien ou la déclaration d'un sinistre) peut se produire ou non, comme dans le modèle Tobit (T

OBIN, 1958). Si l'événement ne se produit

pas, la valeur zéro est attribuée à la variable endogène, qui est supposée continue et à

valeurs positives. Le processus de décision est représenté par un modèle probit et le second

événement (montant de l'achat ou du sinistre) par un modèle de régression standard.

En se référant à la réalité des données, il est possible que la population des assurés

pour lesquels Y=0, soit composée de deux sous populations : Une population qui prend la décision de participer à l'événement ou l'expérience, c'est-à-dire qui effectue une déclaration d'accident dans le cas où celui ci se produit. La valeur zéro indique que le conducteur assuré n'a pas eu de sinistre pendant la période considérée. Une population qui ne déclare pas un sinistre responsable à son assureur. En effet, certains assurés sont amenés à ne pas déclarer un accident sans grande gravité, pour éviter un malus et donc de payer davantage la prochaine prime. Comme les pénalités du système sont indépendantes du montant des sinistres, le conducteur responsable a tout intérêt à indemniser directement la partie adverse pour les petits sinistres. L'autre cas, concerne les conducteurs qui, par exemple, accrochent une voiture en stationnement,quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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