[PDF] Applications de la dérivée au minimum d'une fonction

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4.1 croissance, décroissance et extremums d"une fonction

André Lévesque4 - 1

Applications de la dérivée 4

4.1 Croissance, décroissance et extremums d"une fonction

Pierre Fermat

1601-1665

Mathématicien français,

le plus grand du XVIIe siècle et l"un des plus grands de toute l"Histoire. Fermat fut un précurseur du calcul différentiel, de la géométrie analytique et du calcul des probabilités. C"est lui qui a introduit vers 1628 la notion de maximum et de minimum relatif d"une fonction. Il a démontré que les extremums relatifs d"une fonction ƒ(x) sont donnés par

ƒ(x+Δx) - ƒ(x)

Δx = 0

en faisant disparaître Δx.

C"est en utilisant cette

découverte qu"il a défini la droite tangente comme la limite de droites sécantes.

La dérivée d"une fonction nous renseigne sur certaines particularitésde son graphique. Elle permet d"identifier entre autres,

•pour quelles valeurs de son domaine la courbe croît ou décroît, •quelles sont les extremums relatifs ou absolus de la fonction. Intuitivement lorsqu"on se déplace de gauche vers la droite sur l"axe des x et que le graphique d"une fonction monte, on dit que la fonction

est croissante; lorsque le graphique descend, la fonction est ditedécroissante. Le terme extremums relatifs se rapporte aux maximumset minimums d"une fonction sur une région particulière de sondomaine tandis que le terme extremum absolu est relié au maximum etau minimum d"une fonction sur l"ensemble de son domaine. Pour biensaisir chacune de ces notions examinons d"abord le graphique ci-dessous.y

x(b; f(b)) (a; f(a)) (c; f(c)) (d; f(d)) (e; f(e))

MIN REL et MIN ABS

MAX REL

MIN REL

MAX REL

MIN RELMIN REL

La fonction associée à ce graphique est

•décroissante sur ]-

∞, a[ ? ]b, c[ ? ]d, e[,

•croissante sur ]a, b[ ? ]c, d[ ? ]e,

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Elle possède

5 extremums relatifs

??? 2 maximums relatifs: ƒ(b) et ƒ(d) 3 minimums relatifs: ƒ(a) , ƒ(c) et ƒ(e) •parmi les minimums relatifs, ƒ(a) est le minimum absolu,

•parmi les maximums relatifs, aucun n"est un maximum absolu; en fait la fonction ne possède pas de maximum absolu.

La dérivée va nous permettre de déterminer à quel endroit de sondomaine, une fonction est croissante ou décroissante. Elle permet ausside localiser tous les extremums relatifs et absolus d"une fonction.

définition 4.1.1 croissance

Une fonction ƒ est croissante en x = c,

s"il existe un voisinage V(c) avec c dans le domaine de la fonction tel que ?- x ? V(c) ƒ(x) < ƒ(c) pour x < c ƒ(x) > ƒ(c) pour x > c cƒ(c) définition 4.1.2 décroissance

Une fonction ƒ est décroissante en x = c,s"il existe un voisinage V(c) avec c dansle domaine de la fonction tel que

?- x ? V(c) ƒ(x) > ƒ(c) pour x < c ƒ(x) < ƒ(c) pour x > c cƒ(c) définition 4.1.3 maximum relatif

Une fonction ƒ possède un maximumrelatif ƒ(c) en x = c, s"il existe un voisi-nage V(c) avec c dans le domaine de lafonction tel que

?- x ≠ c de V(c), on a ƒ(x) < ƒ(c) cƒ(c) définition 4.1.4 minimum relatif

Une fonction ƒ possède un minimumrelatif ƒ(c) en x = c, s"il existe un voi-sinage V(c) avec c dans le domaine de lafonction tel que

?- x ≠ c de V(c), on a ƒ(x) > ƒ(c) cƒ(c) Les deux premières définitions vont nous permettre de démontrer lerésultat qui suit.

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proposition 4.1.1

Soit ƒ une fonction dérivable en x = c.

a) Si ƒ "(c) > 0 alors ƒ est croissante en x = c,b) Si ƒ "(c) < 0 alors ƒ est décroissante en x = c. par définition car > 0 car > 0 par la définition 4.1.1 a) Si ƒ "(c) > 0 alors lim x→ c

ƒ(x) - ƒ(c)

x - c> 0 Il existe sûrement un voisinage troué de c pour lequel,

†(x) - †(c)

x - c > 0 .

Par conséquent

??? si x - c < 0 alors ƒ(x) - ƒ(c) < 0 si x - c > 0 alors ƒ(x) - ƒ(c) > 0 ou d"une façon équivalente ??? ƒ(x) < ƒ(c) lorsque x < c ƒ(x) > ƒ(c) lorsque x > c

La fonction est donc croissante en x = c.

b) La démonstration est semblable. exemple 4.1.1 1-1

ƒ(x) = x

2 - 1 -1 1 g(x)= x 3

Déterminer si les fonctions suivantes sont croissantes ou décroissantespour x = -1, x = 1 et x = 0.

a) ƒ(x) = x 2 - 1 b) g(x)= x 3 c) h(x) = ⎷‾‾ 3 x 2 ____________ a) Si ƒ(x) = x 2 - 1 alors ƒ "(x) = 2x

Par la proposition 4.1.1 on a

ƒ "(-1) = -2 < 0 ?ƒ décroît lorsque x = -1 , "(1) = 2 > 0 ?ƒ croît lorsque x = 1 , "(0) = 0 On ne peut rien conclure.

Si on examine le graphique de la fonction, on note que lorsquex=0 la fonction est ni croissante, ni décroissante. Elle passe parun minimum relatif.

b) Si g(x)= x 3 alors g "(x) = 3x 2

Par la proposition 4.1.1 on a

g "(-1) = 3 > 0 ?g croît en x = -1 , g "(1) = 3 > 0 ?g croît en x = 1 , g "(0) = 0 On ne peut rien conclure. Si on examine le graphique de la fonction, on note que lorsque x=0la fonction est croissante.

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-1 1 h(x) = ⎷‾‾ 3 x 2 c) Si h(x) = ⎷‾‾ 3 x 2 alors h "(x) = 2 3 3 x

Par la proposition 4.1.1 on a

h (-1) = - 2

3 < 0 ?h décroît lorsque x = -1 ,

h "(1) = 2

3 > 0 ?h croît lorsque x = 1 ,

h "(0) ?/

On ne peut rien conclure.

Si on examine le graphique de la fonction, on note que la fonctionest ni croissante, ni décroissante lorsque x = 0. Elle passe par unminimum relatif.

remarque Si ƒ "(c) = 0 ou ƒ "(c) ?/ alors ƒ peut être

•croissante en x = c,

•décroissante en x = c,

•ni croissante, ni décroissante en x = c.

définition 4.1.5 nombre critique on utilise les lettres n.c. pour désigner un nombre critique

Soit ƒ une fonction et c

une valeur du domaine de cette fonction.Si

(c) = 0 ou † (c) ?/

alors c est appelé nombre critique de la fonction ƒ. exemple 4.1.2 x = -1 et x = 0 sont deux valeurs du domaine de la fonction Trouver les nombres critiques de ƒ(x) = ⎷‾‾ 3 x 4 + 4⎷‾ 3 x .____________ a) dom ƒ = R, b) ƒ "(x) = 4 3 x 1/3 + 4 3 x -2/3 = 4(x + 1) 3 3 x 2 ????? 0 si x = -1 ?/ si x = 0 c) n.c.: {-1, 0} . exemple 4.1.3 seul x = 2

3 fait partie du

domaine de la fonction

Trouver les nombres critiques de ƒ(x) = 1

x 2 (x - 1). ____________ a) dom † = R \ {0, 1}, b) ƒ "(x) = - (3x -2) x 3 (x - 1) 2

0 si x = 2

3 ?/ si x = 0 ou x = 1 c) n.c.: 2 3 .

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Étudier la croissance (ou la décroissance) d"une fonction d"unemanière ponctuelle n"est pas très pratique spécialement lorsqu"ondésire obtenir le comportement graphique de la fonction. Une étudeglobale serait plus appropriée.

proposition 4.1.2 Soit ƒ une fonction dérivable sur l"intervalle I = ]a, b[. Si ?- x dans l"intervalle I, a) ƒ "(x) > 0 alors ƒ est croissante sur I,b) ƒ "(x) < 0 alors ƒ est décroissante sur I. exemple 4.1.4 si la dérivée change de signe lorsque x = c alors ƒ"(c) = 0 ou ƒ" est discontinue en x = c mais, pour tous les problèmes que nous allons considérer, les points de discontinuité seront les mêmes que les points où la dérivée n"existe pas la première ligne du tableau des signes de la dérivée contient dans l"ordre croissant, les valeurs du domaine de la fonction pour lesquelles la dérivée s"annule ou n"existe pas ainsi que toutes les valeurs isolées ne faisant pas partie du domaine de cette fonction; la deuxième ligne contient les signes de la dérivée; la troisième ligne repro- duit le comportement de la fonction à l"aide de la proposition 4.1.2 Trouver les intervalles de croissance et de décroissance de

ƒ(x) = x

3 - 6x 2 + 9x .____________ a) dom ƒ = R, b) ƒ "(x) = 3x 2 - 12x + 9

Pour déterminer où sur le domaine de la fonction, la dérivée estpositive et où, elle est négative, on construit le tableau dessignes de ƒ

". Pour cela on doit d"abord déterminer les endroitsoù la dérivée peut changer de signe. Il peut se produire unchangement de signe seulement aux endroits où la dérivée passepar zéro ou n"existe pas. On doit d"abord trouver ces valeurs

"(x) = 3(x 2 - 4x + 3) = 3(x - 3)(x - 1) = ????? 0 si x = 3 ou x = 1 ?/ aucune valeur n.c.: {1, 3} . c) A l"aide des valeurs trouvées, on construit le tableau des signes de la dérivée. x- ∞13∞

ƒ "(x) + 0 - 0 +

†(x)

d) La fonction est

•décroissante sur ]1, 3[ ,

•croissante sur ]-

∞, 1[ ? ]3, ∞[ .

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Cette étude de la croissance et décroissance d"une fonction nousamène à nous intéresser à la notion d"extremum relatif.

proposition 4.1.3 Si ƒ(c) est un extremum relatif de la fonction ƒ alors c est un nombre critique.

démonstrationSi ƒ(c) est un extremum relatif de la fonction ƒ alors pour x = c, lafonction

•n"est pas croissante ? ƒ

"(c) >/ 0(prop. 4.1.1. a)

•n"est pas décroissante ? ƒ

"(c) Nous savons maintenant que •lorsque ƒ(c) est un extremum relatif, le point c est un nombre critique.

Mais attention la réciproque n"est pas vrai,

•si le point c est un nombre critique, ƒ(c) n"est pas nécessairement un extremum relatif. Pour obtenir les extremums relatifs d"une fonction, il suffit de trouver les nombres critiques de la fonction puis de déterminer ensuite la

nature de chaque nombre critique à l"aide d"un test appelé test de ladérivée première.

proposition 4.1.4 test de la dérivée première Soit ƒ une fonction, c un nombre critique et a, b deux nombresréels tels que

•a < c < b ,

•ƒ est continue sur ]a, b[ ,

•c est le seul nombre critique sur [a, b] ,

a) si ƒ "(a) > 0 et ƒ "(b) < 0 alors ƒ(c) est un maximum relatif ,b) si ƒ

"(a) < 0 et ƒ "(b) > 0 alors ƒ(c) est un minimum relatif ,c) autrement ƒ(c) n"est pas un extremum relatif .

La proposition ne sera pas démontrée mais elle mérite quelques explications. Le test de la dérivée première ne peut être appliqué que si les trois conditions préalables sont respectées.

La première condition semble tout à fait acceptable. Mais pourquoiexiger que la fonction soit continue sur ]a, b[ et que c soit le seulnombre critique sur [a,b] ?

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Pour répondre à la question examinons legraphique de la figure 4.1.1. Sur cegraphique, on remarque que ƒ(2) et ƒ(4)sont des extremums relatifs. 2 et 4 sont parconséquent des nombres critiques. Si on nes"occupe pas de la discontinuité en x = 0et que l"on utilise le test de la dérivée pre-mière pour le nombre critique 2, en prenanta = -1 et b = 3, on déduira que ƒ(2) n"estpas un extremum relatif.

y x a24b y = f(x)y = f(x) figure 4.1.1

En effet puisque ƒ "(-1) > 0 et ƒ "(3) > 0 (la fonction est croissantepour les deux valeurs), on conclut que pour x = 2 la fonction estcroissante. Évidemment le résultat n"a aucun sens puisque ƒ(2) est unminimum relatif.

la proposition 4.1.4 est donc efficace pour

étudier les extremums

d"une fonction à la condition de ne pas oublier de nombres critiques et de porter une attention particulière aux points de discontinuité de la fonction y x 24ab
y = f(x)y = f(x) figure 4.1.2

De même, s"il existe plus d"un nombrecritique entre les valeurs de a et de b, letest ne sera pas valable. Par exemple,toujours en considérant le nombre critique2 si maintenant a = 1 et b = 5, on obtientƒ

"(1) < 0 et ƒ "(5) < 0 (la fonction estdécroissante pour les deux valeurs). Onconclut que lorsque x = 2 la fonction estdécroissante. Ce résultat est encore fauxpuisqu"en x = 2 la fonction passe par unminimum.

exemple 4.1.5 pour pouvoir appliquer sans risque le test de la dérivée première, tous les points dequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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