[PDF] Identification de paramètres: une application à léquation de Richards

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Volume 1 - 2002, pages 127 à 157 - ARIMA

Identification de paramètres

une application à l'équation de Richards Pierre Ngnepieba* - François Xavier Le Dimet* - Alexis Boukong** - Gabriel Nguetseng***

Université Joseph Fourier

Projet IDOPT, LMC-IMAG (UJF) BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9, France {Pierre.Ngnepieba, François-Xavier.Ledimet}@imag.fr ** Université de Dschang, Faculté d'Agronomie et de Sciences Agricoles

BP 222 Dschang, Cameroun

*** Université de Yaoundé 1, Faculté des Sciences - BP 812 Yaoundé, Cameroun gnguets@uycdc.uninet.cm

RÉSUMÉ. La modélisation inverse

est devenue une approche fréquemment utilisée pour l'estima-

tion des paramètres en hydrogéologie. Fondamentalement cette technique est basée sur les mé-

thodes de contrôle optimal qui nécessitent des observations et un modèle pour le calcul des déri-

vées du premier ordre. Le modèle adjoint du modèle de Richards est construit pour obtenir le gra-

dient de la fonction coût par rapport aux paramètres de contrôle. Les paramètres hydrodynamiques

sont pris comme paramètres de contrôle; leurs valeurs optimales sont trouvées en minimisant la

fonction coût ceci en utilisant un algorithme de minimisation de type descente quasi-Newton. Cette

approche est utilisée pour l'identification des paramètres hydrodynamiques sur un modèle d'écou- lement souterrain en zone non saturée, ainsi que les études de sensibilité du modèle. ABSTRACT. Inverse modeling has become a standard technique for estimating hydrogeologic parameters. These parameters are usually inferred by minimizing the sum of the squared differen- ces between the observed system state and the one calculed by a mathematical model. Since some hydrodynamics parameters in Richards model cannot be measured, they have to be tuned with respect to the observation and the output of the model. Optimal parameters are found by minimizing cost function and the unconstrained minimization algorithm of the quasi-Newton limited memory type is used. The inverse model allows computation of optimal scale parameters and model sensi- tivity.

MOTS-CLÉS

: modèle adjoint, fonction coût, infiltration cumulée, infiltration cumulée observée, identification, contrôle optimal. KEYWORDS: adjoint model, cost fonction, cumulative infiltration, observed cumulative infiltration, identification, optimal control.

128ARIMA-Volume1-2002

1.Introduction

saturée.

2.Méthodologie

quenousconsidérerons. ARIMA

Identicationdeparamètres129

d'espace @t=@q@z;(1)

DARCY,1856):

q=K()@H @z;(2) oùHestlachargehydraulique. @t=@@z

K()@h@z1

;(3)

D()=K()@h

@;(4) @t=@@z

D()@@zK()

:(5) ARIMA

130ARIMA-Volume1-2002

(Richardsen1931)

C(h)=@

@h;(6) etl'équation(3)prendlaformede:

C(h)@h

@t=@@z

K(h)@h@z1

:(7)

C(h)=8

s(2n) hg hhg n1 1+hhg n2 n2 ;sih<0:

C(h)=0;sih0(cassaturé):(8)

K(h)=8

:K s 1+h hg nm(2 n1) ;sih<0:

K(h)=Ks;sih0(cassaturé):(9)

-slateneureneauàsaturationnaturelle, f(x)=s 1+x hg n2 n1

K()=Ks

s m :@@t=@@z

D()@@zK()

(0;z)=ini(z) (t;0)=surf(t) (t;Z)=fond(t)(10) ARIMA

Identicationdeparamètres131

soituneéquationenh: 8 :C(h)@h @t=@@z

K(h)@h@z1

h(0;z)=hini(z) h(t;0)=hsurf(t) h(t;Z)=hfond(t)(11) ci-dessoussontconnus: K s;s;hg;metn(12) structuralesdusol. (t;z)2[0;T] silinéairesdeformeplusgénérale.

2.1.1.Inltration

estdéniepar: I cal(t)=Z Z 0 q(t;z)dz;(13) ARIMA

132ARIMA-Volume1-2002

q(t;z)étantletauxd'inltration. cumuléeestdéniepar: I cal(t)=Z Z 0 ((t;z)ini)dz(14) temps (secondes)0.02.04.06.08.010.012.014.016.018.020.022.0 infiltration cumulee (cm) infiltration cumulee Experimentale d'eauenfonctiondutemps(14). naturellementseposerlaquestion: ARIMA

Identicationdeparamètres133

J(U)=4t

2M X j=0(Ical(tj)Iobs(tj))2(15) 1 2Z T 0" ZZ 0 ((t;z)ini)dzIobs(t)# 2 :(ttj)dt; U

Ks;s;h

g;m;n(16) telque

J(U)=InfU2PJ(U)(17)

2.1.3.Principe

équationdelaformesuivante:

dX dt=F(X;U);X2IRn;

X(0)=X0(18)

ARIMA

134ARIMA-Volume1-2002

nie. unique. X obsdeOpar:

J(U)=1

2Z T 0 jjC:X(U)Xobsjj2

Odt(19)

(trouverU2Ptelque:

J(U)=InfU2PJ(U)(20)

semi-continueinférieurementetsi: lim jjvjj!+1J(v)!+1 rJ(U)=0 oùrJestlegradientdeJparrapportàU. detypedescente. 8 :d bX dt=@F@X bX+@F@U :u; b

X(0)=0(21)

ARIMA

Identicationdeparamètres135

où @F @X et@F@U

àXetparrapportàU.

b

J(U;u)=Z

T 0D

C:X(U)Xobs;C:bXE

dt: (22) Z T 0* dbX dt;P+ dt=Z T 0@F@X bX;P dt+Z T 0@F@U u;P dt D bX(T);P(T)E

DbX(0);P(0)E

Z T 0 dP dt;bX dt= Z T 0* @F @X T P;bX+ dt+Z T 0* @F@U T P;u+ dt etenvertudelaconditioninitialede(21): D bX(T);P(T)E Z T 0 dP dt;bX dt= Z T 0* @F @X T P;bX+ dt+Z T 0* @F@U T P;u+ dt 8 :dP dt+@F@X T :P=CT:(C:XXobs);

P(T)=0(23)

ARIMAquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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