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Resolution numerique des equations de Saint-Venant, mise en oeuvre en volumes nis par un solveur de Riemann bien balance

P.-Y. Lagree

CNRS & UPMC Univ Paris 06, UMR 7190,

Institut Jean Le Rond@'Alembert, Bo^te 162, F-75005 Paris, France pierre-yves.lagree@upmc.fr ; www.lmm.jussieu.fr/lagree

February 24, 2022Abstract

Nous montrons comment resoudre par volumes nis les equations de Saint-Venant. Un programme en "C"

est explique (dupythonest propose aussi). Des exemples sont ensuite presentes. L'ensemble est empirique,

les notions sont abordees de maniere rapide, allusive et simpliee. page ouebe de ce chierhttp://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/MFEnv/code_C_saintvenant.pdf

1 Rappel des equations

1.1 Rappel des equations

Le systeme que nous considerons est celui des Equations de Saint-Venant (CRAS 1871 Adhemar Jean-Claude

Barre de Saint- Venant, equationsShallow Wateren anglais oudepth averaged), 1871 : 150 ans deja, voir

la videohttps://www.youtube.com/watch?v=rmAFsEpl7HQ). Ces equations sont presentees et discutees dans

http://www.lmm.jussieu.fr/ ~lagree/COURS/MFEnv/MFEnv.pdf: 8< th+@xQ= 0 tQ+@x Q2h +gh22 =gh@xZ ;(1) avech(x;t) est la hauteur d'eau etQ(x;t) le debit,u(x;t) la vitesse moyenne,Q(x;t) =h(x;t)u(x;t) le ux, facteur de forme (coecient de Boussinesq),frottement (fonction deQet oriente parQ=jQj) au fond et Z(x;t) est la "topographie" ou forme du fond,gla gravite...

On considere que les hypotheses pour l'etablir (couche mince principalement) sont valables dans des cas

varies qui ne sont pas uniquement ceux de l'eau.

Le facteur de forme (coecient de Boussinesq) et le frottement au fond dependent du choix du prol de base.

Note: passage a une equation seulement

Une simplication importante se produit lorsque l'inertie est negligeable c'est "l'onde de crue diusante", si la

pressiongh@xhest aussi negligeable c'est l'"onde cinematique": th+@x[1(gh@xZgh@xh)] = 0 (2)

ou le terme entre crochets estQ, ce terme est obtenu par la resolution enQde la deuxieme equation (sans

tQ+@xQ2h , et1est formellement fonction reciproque de. Cela mene a une equation 1D. 1

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Fermetures pour Saint-Venant

Pour les equations de Saint-Venant (1), le facteur de forme et le frottement au fonddependent du choix du

prol de base et s'expriment en fonction deQeth.

Pour les canaux et

euves, en turbulent, faute de mieux, pour resoudre Saint-Venant Eq. 1 on choisit = 1 et=cjQjQh

le facteur de forme vaut l'unite car on suppose que le prol est assez plat,est le frottement au fond etcle

coecient de friction, ce coecient depend de la nature du sol. Avec= 2 on a la loi de Chezy (dite aussi

Darcy Weissbach, frottement turbulent habituel enu2) avec= 7=3, on a la loi de Manning-Strickler.

Pour de l'eau en couche mince, en laminaire (ruissellement autour d'un Poiseuille), par exemple la lave en

premiere approximation, ou pour un uide assez visqueux (la p^ate a cr^epe) 65
et= 3jQjh 2

Pour un granulaire (milieux constitue de particules de plus d'une dizaine de micrometres, le sable, le gravier, les

rochers.... en dessous, il s'agit des poudres qui ont des proprietes dierentes), la modelisation de leur ecoulement

passe par Saint-Venant. On s'inspire du frottement de Amontons-Coulomb liant la contrainte tangentiellea la

contrainte normalegh. On denit un coecient de frictionqui peut ^etre variable(I) =s+=(1+I0=I) (sI00:3 suivant les types de materiaux) et fonction deI= (d=h)5Q=2h=pgh(nombre sans

dimension que l'on peut construire avec les quantites en jeu et la taille du graind). Le coecientest compris

au nal entre 0.2 et 0.4 suivant les materiaux et :=gh. Le prol de base est calculable, c'est le prol de

(on ne donne pas de detail ici), on peut donc estimer 54
et=ghjQjQ

Pour des

uides complexes, (les ecoulements d'avalanche/inondation nissent toujours par ^etre tres sales, ce sont des melanges complexes de cailloux, de graviers, de boue et d'eau) des uides en loi de puissance

sont souvent employes. Pour le cas des glaciers en ecoulementn= 1=3, c'est la loi de Glen. Pour la boue

0:1< n <0:4

=2(1 + 2n)2 + 3net=cnnQh 2 njQjQ Pour de la neige, on modie leprecedent, on garde un0constant et on ajoute une friction de type uide en

carre de la vitesse etun coecient. C'est la loi de Voellmy (0valeur typique 0.2 etvaleur typique 500m/s)

= 1 et=gh(0+1 Q 2h

3)jQjQ

Pour les

uides a seuil, il faut rajouter une condition, liee au seuil de contrainte. Dans ces cas l'usage est

d'utiliser l'onde cinematique, ou l'onde diusante Eq. 2, voir les ecoulements de Binghamhttp://www.lmm.

jussieu.fr/ ~lagree/COURS/MFEnv/mainM2EMN.pdf

Panache: Les ecoulements de type panache se resolvent avec les equations de couche limite integrees sur leur

epaisseur. On retrouve alors des equations de type Saint-Venant.

En pratique, tout le monde prend abusivement = 1 pour les resolutions, ce que nous ferons par la suite,

la raison est que cela permet d'ecrire une equation d'energie et d'assurer l'invariance Galileenne des equations.

Le frottement n'est en revanche pas pris constant mais fonction des variablesQeth; il depend donc du type

d'ecoulement (turbulent, laminaire, granulaire...). - 2-

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1.2 Equation de bilan locale

On peut ecrire (1) sous une forme compacte

tU+@xF(U) =S(U);(3) avec une nouvelle denition deU,F(U) etS(U). On identieUau vecteur des variables conservatives etF(U) le ux U=h Q ; F(U) =0 @Q Q 2h +gh22 1 A (4) le terme source lie a la forme du fond et au frottement:

S(U) =0

gh@xZ :(5) puis on coupe en autant de parties que de contributions aS(U)...

1.3 "Split": decomposition convection-frottement

Pour resoudre (3) il est d'usage de decomposer en etapes (on "coupe"Sen plusieurs parties, en commencant

par pas de source, puis apres chaque source une a une c'est lesplitting). Cela renvoie a la discretisation

tU= (Un+1Un)=t, on va decomposer l'accroissement (Un+1Un)=en plusieurs etapes, ici trois etapes (Undonne, puisU1, puisU2et ennUn+1). L'equation de conservation tU+@xF(U) =S(U); est donc "semi discretisee" en (Un+1Un)=t+@xF(U) =S(U); dansSil y a deux termes, un lie au fondSZ= (0;gh@xZ) et un lie au frottementSf= (0;=) tU+@xF(U) =SZ(U) +Sf(U); La premiere etape est une etape conservative, pas deS! (U1Un)=t+@xF(Un) = 0; la seconde avec le premier terme source, (U2U1)=t=SZ(U1); la troisieme avec le deuxieme terme source: (Un+1U2)=t=Sf(U2); au nal, en ajoutant toutes les contributions on retrouve bien: (Un+1Un)=t= (Un+1U2)=t+ (U2U1)=t+ (U1Un)=t=@xF(Un) +SZ(U1) +Sf(U2); les termes etants pris avec des estimations dierentes deU, mais tout se perd dans l'erreur t. - 3-

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1.4 Matrice Jacobienne

On va donc commencer par examiner les equations avecS(U) = 0: on veut resoudre le probleme sans sources:

tU+@xF(U) = 0:(6) On derive la fonctionF(U) par rapport aU, en cha^ne:@xF(U) =@UF(U)@xU: xF(U) =0 @0 1 ghQ2h 22Qh
1 A @xh Q =J(U)@xU;

la matrice JacobienneJ(U) a ici deux valeurs propres1et2, le fait qu'elles existent est la denition de

l'hyperbolicite. Si cette matrice n'a pas de valeurs propres, on ne peut pas utiliser la methode qui suit. Le

systeme est strictement hyperbolique pourh >0 (normal!). Ces valeurs propres vont servir pour construire les

solutions approchees du ux, elles ont: 1=Qh pgh=ucand2=Qh +pgh=u+c:(7) on reconna^tcla vitesse de propagation des ondes : c=pgh:

1.5 Discontinuites

Les equations de Saint-Venant dans un domaineDqui est le segment [x1;x2] en mouvement: ddt Z x2 x

1hdx= 0;etddt

Z x2 x

1hudx+ [gh22

dx]x2x1= 0

donc comme on conna^t le resultat d'une derivation d'integrale lorsqu'il y a une discontinuite enxcqui se

deplace a la vitessew, que l'on ecrit ici en 1D ddt Z x2 x

1Cdx=Z

xc x

1(@C@t

+@(Cu)@x )dx+Z x2 x c(@C@t +@(Cu)@x )dxjC(wu)j ouC=hpour la masse etC=uhpour la quantite de mouvement, les discontinuites sont: jh(wu)j= 0 etjuh(wu)12 gh2j= 0: - 4-

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1.6 Linearisation des equations: pour approximer le

ux

Examinons le cas simple d'un

uide au repos sur fond plat avec une hauteur d'eau constanteu= 0,h=h0.

Si on resout l'equation linearisee de Saint-Venant sur fond plat sans frottements, on denit les perturbations a

l'etat de baseQ= 0 eth=h0parqettels queQ= 0 +qeth=h0+alors en posantc20=gh0: @t+@xq= 0 tq+c20@x= 0;(8)

On veut resoudre ces equations connaissant des conditions initiales, par exemple, on connait(x;0) etq(x;0).

On peut aussi remarquer que si on se donneq(x;0), on se donne aussi@xq(x;0) sa derivee, mais c'est aussi

se donner@t=@xq. Donc, on peut aussi dire que l'on veut resoudre ces equations connaissant(x;0) et

t(x;0). C'est le "probleme de Cauchy": connaissant l'EDP et ses conditions initiales, on veut resoudre pour

tout temps. On note0(x) =(x;0),q0(x) =q(x;0) et1(x) =@t(x;0)

Les equations (8)) se mettent sous la forme d'une equation des ondes:@2tc20@2x= 0. On peut aussi ecrire

sous forme "caracteristique" cette equation (en manipulant (8)) avec une advection vers la droite et une autre

vers la gauche@t(c0+q) +c0@x(c0+q) = 0 t(c0q)c0@x(c0q) = 0;(9) qui donne (lesxc0tviennent bien de la solution de l'equation d'advection) c

0(x;t) +q(x;t) =f(xc0t) etc0(x;t)q(x;t) =g(x+c0t)

La solution a la forme bien connue de somme def(xc0t) +g(x+c0t) (le facteur 1=2c0vient de la demarche

et simplie les calculs qui suivent) (x;t) =12c0(f(xc0t) +g(x+c0t)) On a donc respectivement(x;t) et aussi par derivation directe en temps@t(x;t):

2c0(x;t) =f(xc0t) +g(x+c0t) resp. 2c0@t(x;t) =c0f0(xc0t) +c0g0(x+c0t)

donc si on se donne at= 0 la distribution(x;t) =0(x) et sa derivee@t(x;0) =1(x), alors

2c00(x) =f(x) +g(x) et 2c01(x) =c0f0(x) +c0g0(x)

on en deduit quef(x)g(x) =2Rx

01()d+K, constante dont on peut se passer. On en deduit donc les

expressions des fonctionsfetgen fonction de0et1: f(x) =c00(x)Z x 0

1()detg(x) =c00(x) +Z

x 0 1()d et en deplacant dec0ten moins et en plus (en remarquant queRxc0t

01()d= +R0

xc0t1()d): f(xc0t) =c00(xc0t) +Z 0 xc0t

1()detg(x+c0t) =c00(x+c0t) +Z

x+c0t 0 1()d la somme nous donne la relation (qui est la solution du "probleme de Cauchy") (x;t) =0(xc0t) +0(x+c0t))2 +12c0Z x+c0t xc0t 1()d:

Ce que nous venons d'ecrire est bien la solution pour tout temps de l'equation aux derivees partielles de depart

avec la donnee de la solution(x;t) =0(x) et de sa derivee en temps@t(x;0) =1(x) au temps initial: (x;t) =(xc0t;0) +(x+c0t;0))2 +12c0Z x+c0t xc0t@ t(;0)d: - 5-

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Ce premier resultat important etant etabli, repassons aux deux variablesetq, comme par denition t=@xqdonc1(x) est disons un@xq0(x) donne initialement: (x;t) =0(xc0t) +0(x+c0t))2

12c0[q0(x+c0t)q0(xc0t)]:

Cette expression nous donne la valeur de(x;t) connaissant les champs initiaux0etq0.Figure 1: A gauche, la solution au pointMenxett >0 est determinee par une partie des donnees, en

l'occurence0enAet enBet1=@t0sur le segmentAB. A gauche on voit les zones in uencees et determinees par les donnees0et et1dans le temps futurt >0 Cette construction etant faite, ensuite quand on resout par exemple tq+@x(F) = 0;avecF=c200 on a l'expression du uxFobtenue avec l'analyse precedente pour(x;) avec les valeurs en (c0t):

F(x;t) =c200(xc0t) +c200(x+c0t))2

c02 [q0(x+c0t)q0(xc0t)]; la forme du ux en fonction des quantites conservees le long dexc0tet deF=F=c200est donc:

F(x;t) =F(xc0t) +F(x+c0t))2

c02 [q0(x+c0t)q0(xc0t)]; Cette forme nous servira pour construire des approximations du ux aux faces de nos domaines. Gardons la en t^ete, mais auparavant rappelons les volumes nis. Nous retrouverons ce resultat et d'autres circonvolutions autour de l'equation des ondes dans http://www.lmm.jussieu.fr/ ~lagree/COURS/MFEnv/MFEnv.pdf - 6-

Saint-Venant Volumes Finis "bien balances"

2 Resolution numerique, cas

uide parfait

2.1 Splitting: etape convectiveFigure 2: Le signal continuU, approxime parUnienxi. Le

ux aux faces du petit volume centre enxiet de longueur xestFi1=2a gauche etFi+1=2a droite. L'espace est decoupe enNpetits segments de longueur quelconquea priori, mais ici nous supposerons un

pas xconstant (x=L=N, voir gures 2 et aussi 9) pour alleger les notations. De m^eme pour le temps, le pas

de temps tsera suppose constant, assez petit pour assurer la stabilite. Ces petits segments de longueur x,

sont les petits "volumes", car nous sommes en dimension un. Prenons le systeme (3) (sans sourceS(U) = 0) et

integrons a la fois enxsur un intervalle entrexi1=2;etxi+1=2centre enxiet en temps detnatn+1. L'equation

que nous regardons est donc @U@t +@F(U)@x = 0: On poseUniune approximation deUautour de la positionxi(entrexix=2 etxi+x=2, notesxi1=2;xi+1=2), ou m^eme plus clairementUniest la valeur moyenne: U ni=1xZ xi+1=2 x i1=2U(x;tn)dx; ouise rapporte au segmentCi= (xi1=2;xi+1=2) = (xi1=2;xi1=2+ x),nse rapporte au tempstnavec t n+1tn= t. Et comme par integration sur le "segment/ Volume" on aRxi+1=2xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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