[PDF] Sur quelques équations fonctionnelles linéaires

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BULLETIN DE LAS. M. F.MICHELGHERMANESCU

Bulletin de la S. M. F., tome 68 (1940), p. 109-128 © Bulletin de la S. M. F., 1940, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Bulletin de la S. M. F. » (http: //smf.emath.fr/Publications/Bulletin/Presentation.html) implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/ conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de

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Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ - 409 - SUR

QUELQUE

S

ÉQUATION

S

FONCTIONNELLE

S

LINÉAIRE

S Pn r M. MICHE L

GHERMANESCU

A l'occasio n de recherche s su r les

équation

s fonctionnelle s d a premie r ordre j'a i eu besoi n d e la solutio n continu e la plu s géné-rale de quelques équations fonctionnelles d'un type spécial rentran t dan s la form e générale (A aç(.r,y z}

ç(y

x) 7 c (s x,y) o,dans laquelle a, (3, y désignent des constantes réelles, non foules nulles Comm e l'intégratio n de ces

équation

s dépassai t le cadr e d utravail que j'avais entrepris, j'ai traité à part l'équation (A) dans le présen t

Mémoire

Je rappell e brièvemen t quelque s propriété s

élémentaire

s don t j'aura i besoin dan s la suite .rt. Une fonction f (a?, y) est dite symétrique par rapport aux variable s x e t y, lorsqu'ell e satisfai t la relatio n /(^y)=/(y^) b. Une fonctio n f (c-r y est dit e symétrique gauche pa r rap -port aux variables x et y, lorsqu'elle satisfait à la relation /(•y,y)=-/(y^) c. Tout e fonctio n /(a*, y est décomposabl e d^uTie seulemanière dans la somme d'une fonction symétrique et d'une fonc- tion symétriqu e gauch e pa r rappor t au x variable s x et y f(r /(^y^/Cr^) /(^y)-/(r^ )j (^j ) - - - - - -^ - - - - •+• - - - - ^ - - - - . 1 Voir, pa r exemple, M

GHERMANESCI

{Bull. de la Soc. roumaine de

Math.,

t 40
igSS, p i4i et suiv.) - 110 - d. Une fonctio n /(.r y, -s) symétriqu e pa r rappor t deu x couples de variable s (a?, y) (*r, l'es t encor e pa r rappor t {y. e. Une fonctio n /(a*, y, -s) symétriqu e gauch e pa r rappor t deu x couples d e variable s {x, y) (a?, l'est encore pa r rappor t (y Une fonction/^ y, z), symétriqu e pa r rappor t u n coupl e (;r,r e t symériqu e gauch e par rappor t u n autr e (y, s) est identiquement nulle. g. Toute fonctio n /(^,y) symétriqu e pa r rappor t x e t y, peu t

être

d'un e infinit de manières mise sous la form e /(^y)=F(^,y)+F(y,^) A Toute fonctio n f(x, y) symétriqu e gauch e par rappor t x et y, peu t

être

d'un e infinit de manières mise sous l a form e /(^y)=F(^y)-F(y,^) Les démonstration s de ces propriété s sont

élémentaires

I.

Équations

deux termes. 1

Considérons

d'abor d les

équation

s deu x termes de la form e (B) ?(^,V z) a 9(7, z, x). Une telle

équatio

n n'a pas de solutio n réelle, que l qu e soit a. En effet on en dédui t ?(y^î^ a {z,x,y), ?(^^7 a ?(•^.r^) d'où pa r multiplication a 1 don t la seule racine réelle est a i Nou s allons donc résoudre l'équatio n I ?(^yî^)=?(Yî^^) qu'o n peu t encore

écrire

0 (^.r 0 (yquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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