[PDF] Quest-ce que la modélisation mathématique ?

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Introduction

Le modele malthusien

Le modele logistique

Un modele avec predateur

Un modele proie-predateurQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

Francois Ducrot

http://math.univ-angers.fr/ducrot/CSG/Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

Introduction

Le modele malthusien

Le modele logistique

Un modele avec predateur

Un modele proie-predateurIntroduction

La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurIntroduction

La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Physique :On observe que le son emis par la corde d'un instrument de musique varie en fonction de la longueur. On va traduire la physique de la corde en equations gr^ace aux equations de la mecanique, et en deduire les lois gouvernant la vibration d'une corde. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurIntroduction

La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Chimie :On peut decrire le comportement des electrons dans un atome, et comment cela gouverne la facon dont les atomes se regroupent en molecules. Les equations mises en jeu proviennent des lois de la physique quantique. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurIntroduction

La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques :

Chimie :De facon plus macroscopique, on peut

s'interesser aux lois qui determinent la vitesse de reaction dans une reaction chimique. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Le modele malthusien

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Un modele proie-predateurIntroduction

La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Economie :En fonction des prix des dierentes marchan- dises et du revenu du consommateur, celui-ci eectue un arbitrage entre ses depenses. Peut-on prevoir son compor- tement? Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurIntroduction

La modelisation, c'est l'ensemble du processus qui permet l'intervention des mathematiques dans une science basee sur l'experience ou l'observation. Voici quelques exemples dans dierentes disciplines scientiques : Ecologie animale :Comment evoluent les eectifs de po- pulations animales sous dierentes hypotheses :sans contraintes liees au milieu avec des contraintes d'approvisionnement en nourritureen presence de predateurs avec interaction entre proies et predateurs Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

Introduction

Le modele malthusien

Le modele logistique

Un modele avec predateur

Un modele proie-predateurLa demarche de modelisation

On peut distinguer plusieurs etapes :

Le scientique fait des

hyp otheses sur les ph enomenes etudies Les hypotheses sont traduites mathematiquement en un modeleOn etudie le modele mathematique; on en tire des consequences qualitatives ou quantitatives et on fait des previsions .Oncompa reles p revisionsaux r ealitese xperimentales

On revient eventuellement sur les hypotheses pour

mo dierle modele , et le cycle continue... Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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On peut distinguer plusieurs etapes :

Le scientique fait des

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On revient eventuellement sur les hypotheses pour

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Un modele proie-predateurLa demarche de modelisation

On peut distinguer plusieurs etapes :

Le scientique fait des

hyp otheses sur les ph enomenes etudies Les hypotheses sont traduites mathematiquement en un modeleOn etudie le modele mathematique; on en tire des consequences qualitatives ou quantitatives et on fait des previsions .Oncompa reles p revisionsaux r ealitese xperimentales

On revient eventuellement sur les hypotheses pour

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On peut distinguer plusieurs etapes :

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Le modele malthusien

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Un modele avec predateur

Un modele proie-predateurLes exemples choisis

J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentales

plut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples

Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurLes exemples choisis

J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentales

plut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples

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J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentales

plut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples

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J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentales

plut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples

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Un modele proie-predateurLes exemples choisis

J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentales

plut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples

Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Le modele malthusien

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Un modele proie-predateurLes exemples choisis

J'ai choisi d'illustrer la demarche de modelisation par des exemples issus de problemes de dynamique des populations (ecologie animale). Caracteristiques generales :les hypotheses sont simples a exprimer les hypotheses sont b^aties sur des observations experimentales

plut^ot que sur des considerations ideologiquesles techniques mathematiques sont relativement simples

Tous les modeles etudies decrivent un systeme dynamique dependant du tempsOutil mathematique pricipal : les equations dierentielles Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Le modele malthusien

Le modele logistique

Un modele avec predateur

Un modele proie-predateurProliferation des lapins en Australie En 1859, 24 lapins furent introduits en Australie, par un agriculteur emigre d'Angleterre et nostalgique de son pays d'origine. Quelques annees plus tard ces petites b^etes pullulaient, et devenaient un eau national. Pour tenter de le juguler, on a introduit des predateurs (des renards), une maladie (la myxomatose), et on a construit des milliers de kilometres de clotures. Tout ceci sans succes.On a ici un exemple de croissance exponentielle qui peut se decrire par le modele malthusien. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurProliferation des lapins en Australie En 1859, 24 lapins furent introduits en Australie, par un agriculteur emigre d'Angleterre et nostalgique de son pays d'origine. Quelques annees plus tard ces petites b^etes pullulaient, et devenaient un eau national. Pour tenter de le juguler, on a introduit des predateurs (des renards), une maladie (la myxomatose), et on a construit des milliers de kilometres de clotures. Tout ceci sans succes.On a ici un exemple de croissance exponentielle qui peut se decrire par le modele malthusien. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurL'hypothese malthusienne

Hypothese

Les nombres de naissances et de morts dans une population, pendant une periode de courte duree, sont proportionnelsa la l'eectif de cette population a la duree de cette periode

Thomas Malthus, 1766-1834

Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Le modele malthusien

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Un modele proie-predateurTraduction mathematique de l'hypothese malthusienne Soitu(t) l'eectif de la population a l'instantt. On etudie la variation deuentre les instantstett+ t. u(t+ t)u(t) = nb de naissancesnb de morts et nb de naissances pendant t=au(t)t nb de morts pendant t=bu(t)tFrancois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Le modele malthusien

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Un modele avec predateur

Un modele proie-predateurLoi d'evolution malthusienne

On ecrit donc

u(t+ t)u(t) =u(t)t

avec=abQuand test assez petit,u(t+t)u(t)t'u0(t), et on peut ecrire laLoi d'evolution (Malthus en temps continu)

u

0(t) =u(t)

ouest la dierence entre le taux instantane de natalite et le taux instantane de mortalite. Francois DucrotQu'est-ce que la modelisation mathematique ?

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Un modele proie-predateurLoi d'evolution malthusienne

On ecrit donc

u(t+ t)u(t) =u(t)t

avec=abQuand test assez petit,u(t+t)u(t)t'u0(t), et on peut ecrire laLoi d'evolution (Malthus en temps continu)

u

0(t) =u(t)

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