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Modelisation des series temporelles

Seance 5

Modelisation avec variable exogene:

modeles a fonction de transfert

Frederic Sur

1/23

Seance 5

1Modeles a fonction de transfert

Exemples

Denition

2Identication du modele

Pre-blanchiment

Correlogramme croise

Residus

Resume

Regression fallacieuse

3Conclusion

4Exemple

2/23

Exemples

modeles proie-predateur : nombre de proies lie au nombre de predateurs, avec eet retard pour les naissancesconstruction de logements neufs en fonction de pr^ets immobiliers accordes, eet retardemission de CO2 d'une chaudiere fonction du debit de gaz en entree!voir exempleetc. 3/23 Exemple de la chronique CO2(series Jde Box&Jenkins) 4/23

Exemple de la chronique CO2(cf poly)

X t: debit de gaz en entree d'une chaudiere Y t: emission de CO2

Modele identie :

Y t= 53:260:535 + 0:376B+ 0:518B210:548BXt3

111:532B+ 0:632B2"t(1)

Rappel:110:548B= 1 + 0:548B+ 0:5482B2+:::

donc

0:535+0:376B+0:518B210:548B=

etBkXt3=Xt3k

Inter^et double:

!modelisation !prevision 5/23

Modeles a variable exogene

Modele a fonction de transfert :

cf regression dynamique cf ARIMAX : ARIMA with exogeneous factors Y t=c1Yt1 lYtl(2) +0Xt+1Xt1++kXtk+ut

avec :(Yt) est lachronique a modeliser(Xt) est lachronique explicative(ut) est lachronique des erreurs

!les chroniques sont supposeesstationnaires !(1 +1B++lBl)(Yt) = (0++kBk)Xt+ut d'ou la representation avec les fractions rationnelles enB !eventuellementi= 0 pouriEcriture avec l'operateur de decalageB

Modele a fonction de transfert :

Y t=+ (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(3) avec :b>0 le retard (B) =!0!1B !sBs(B) = 11B rBr(B) = 11B qBq(B) = 11B pBp et ("t) bruit blanc gaussien d'ecart-typeDenition: (B)(B)est appelefonction de transfert. Rappel:(B)(B)"test la representation ARMA d'un processus stationnaire lineaire gaussien. 7/23

Seance 5

1Modeles a fonction de transfert

Exemples

Denition

2Identication du modele

Pre-blanchiment

Correlogramme croise

Residus

Resume

Regression fallacieuse

3Conclusion

4Exemple

8/23

Stationnarisation

Dans le modele,XtetYtdoivent ^etrestationnaires... !si ce n'est pas le cas, il faut eventuellement deriver au prealable les chroniques etudiees (de la m^eme maniere) pour que le resultat soit stationnaire. (voir la discussion sur les regressions fallacieuses) 9/23

Blanchiment de la chronique explicative

X t: chronique explicative

Pre-blanchiment(deXt)

(Xt) est un processus stationnaire (doncARMA). !il existe des polyn^omes 1et 1t.q. : X t= (+)1(B)

1(B)t(4)

outest un bruit blanc gaussien.

On ecrit

1(B)

1(B)Xt=t(5)

!le ltre1(B)

1(B)blanchitla chroniqueXt.

10/23

Blanchiment de la chronique explicative

Y t= (+) (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(6)

On applique

1(B)

1(B)aYt:

t=1(B)

1(B)Yt=

(B)(B)tb+e"t(7) (les polyn^omes symboliques commutent) avec :e"t=1(B)(B)

1(B)(B)"teststationnaire(pas un bruit blanc comme"t),

supposeindependantdet(sinon probleme d'identication...)ettb.b.g. par denition de 1=1. 11/23

Le correlogramme croise

On est ramene a l'identication du modele :

t= (B)(B)tb+e"t(8)

Comment identier

et ?(ou la fonction de transfert

=)!nous allons utiliser l'outil suivant :Denition : lecorrelogramme croise(h) =Cov(t;t+h)pVar(t)Var(t)

(ne depend pas det, cf slide suivant)Remarque:(h) est deni pourh2Z (a priori,(h)6=(h))12/23

Identication de la fonction de transfert

t= (B)(B)tb+e"tou (t) b.b.g. et (e"t) stationnaire

En inversant , on ecrit :

t=X h>0 hth+e"t (ici sih0; (h) =h et8h<0; (h) = 0Preuve: (basee sur hypotheses suret !)

Cov(t;t+h) = Cov

t;X h 0>0 h0t+hh0 (cartete"tdecorreles) hVar() sih0

0 sinon(cartbruit blanc)Conclusion: le coef.hdu \polyn^ome"

= estproportionnel au coef.(h) du correlogramme croise entreet .13/23

Exemple de correlogramme croise :ccf

(correlogramme croise entretet t, pas entreXtetYt!)Attention: convention R vs. autres logiciels et denition...

help(ccf) \the lagkvalue returned byccf(x,y)estimates the correlation between x[t+k]andy[t]" !donc (par stationnarite) : correlation entrex[t]() ety[t-k]() !ccf(x,y)correspond donc au graphe de(h) : on doit observer des correlations signicatives pour des lagsnegatifs14/23 Allures des correlogrammes selon la fonction de transfert

Rappel :ht.q.

(B)(B)=X h0 hBh&(h) =h=051015202530h

-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81hB3/(1-B+0.8B2)et bien entendu,B3+ 0:2B40:1B5donne un correlogramme avec des

picsenh= 3;4;5, de hauteur proportionnelle a 1, 0.2, -0.115/23

Pratique du correlogramme croise

Y t= (B)(B)Xtb+(B)(B)"t=0(B)Xtb+(B)(B)"t(9)1premier pic (signicativement) non nul sur le correlogramme donne le decalageb,2si decroissance (assez) lente du correlogramme : on envisage un denominateur(cf inversion de (1B)) si sinusode : denominateur de degre>2,

(toujours avec l'objectif d'unmodele simple)3sinon le nombre (et la position) des pics non nuls donne le

degre du numerateur (et les coecients non nuls).Remarque: si le correlogramme croise a des pics signicatifs pour

des decalages futurs, le modele n'est pas bien adapte (non-causalite) 16/23

Identication du modele : ARMA sur les residus

On cherche un modele du type :

Y t= (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(10)

Avec l'etape precedente, on conna^t les degres de

et (et eventuellement la position des coef. nuls), et le decalageb.Ensuite:

Calcul de la fonction de transfert

On revient aux series (stationnaires) initiales :

Y t= (B)(B)Xtb+ut(11) !on estime les coecients de et , residusut !ACF / PACF des residusut: ils permettent d'identier et Modele ARMA sur les residus stationnairesut !Estimation de et et reestimation de et .17/23

Resume : identication et estimation

Y t=+ (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(12)

1.Pre-blanchimentde Xt.

2.Correlogramme croisesur les s eriesp reltrees.

(on utilise le ltre blanchissantXtpourXtetYt) Permet l'identication du retard et de la forme de la fonction de transfert.

3.Estimation de la fonction de transfert

( B)=(B) etidentication/estimation du modele ARMA( B)=(B)"tdes residusut. Remarque: bien s^ur, verications habituelles de rigueur (residus"tdu modele nal = bruit blanc gaussien, parametres signicatifs, etc). 18/23

Remarque : regression fallacieuse

On a suppose les chroniquesXtetYtstationnaires.

!et si ce n'est pas le cas?Exemple: soientXtetYtintegrees d'ordre 1 (XtetYtnon stationnaires, (1B)Xtet (1B)Ytstationnaires) AlorsYtaXtb=Rtest generalement aussi integree d'ordre 1. !si estimation dea;bpar regression (moindres carres desRt) : lest-tests (Student) sont trop \optimistes"... (carRtn'est pas un b.b.g., mais une marche aleatoire ou un

ARIMA(p,1,q), donc Var(

ba)6=2(XTX)1) On parle deregression fallacieuse(spurious regression). http://tylervigen.com/spurious-correlations!Pour contourner le probleme, onregresse(1B)Yt sur (1B)Xt, avec des residus ARMA (et pas i.i.d.)...19/23

Seance 5

1Modeles a fonction de transfert

Exemples

Denition

2Identication du modele

Pre-blanchiment

Correlogramme croise

Residus

Resume

Regression fallacieuse

3Conclusion

4Exemple

20/23

Modeles a variable exogene

Modele a variable exogene et fonction de transfert : Y t=+ (B)(B)Xtb+ut(13)

Rappel: Modele d'intervention:

X t=+It0t+ut=+ (B)(B)It0t+ut(14) !modele similaire :It0t !Xt avecIt0(t) deterministe / (Xt) stochastique stationnaire. Donc fonctions R similaires, mais pas d'interpretation du correlogramme croise pour les modeles d'intervention, ni de pre-blanchiment(qui n'ont pas de sens dans ce dernier cas) 21/23

Dernieres seances...

Tout retour est le bienvenu

(en ayant en t^ete les multiples contraintes...)

Cf pad sur ArcheLundi 23 mars 2020

Discussion d'un exemple, Q&R

TP de syntheseLundi 30 mars 2020.Test

Instructions a venir

22/23

Exemple : serie J de Box et Jenkins

Chronique d'entreeXt: debit de gaz alimentant un appareil de chauage

Chronique de sortieYt: concentration en CO2

!cf carnet Jupyter et code sur page web 23/23
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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