Cours numéro 1 : modélisation par suites et fonctions
On peut aussi tirer R en fonction de h : R = ?. V ?h ce qui donne S = 2. V h. +2. ?. ?V h. Avec cette forme le calcul est un peu plus compliqué : on voit.
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Modelisation des series temporelles
Seance 5
Modelisation avec variable exogene:
modeles a fonction de transfertFrederic Sur
1/23Seance 5
1Modeles a fonction de transfert
Exemples
Denition
2Identication du modele
Pre-blanchiment
Correlogramme croise
Residus
Resume
Regression fallacieuse
3Conclusion
4Exemple
2/23Exemples
modeles proie-predateur : nombre de proies lie au nombre de predateurs, avec eet retard pour les naissancesconstruction de logements neufs en fonction de pr^ets immobiliers accordes, eet retardemission de CO2 d'une chaudiere fonction du debit de gaz en entree!voir exempleetc. 3/23 Exemple de la chronique CO2(series Jde Box&Jenkins) 4/23Exemple de la chronique CO2(cf poly)
X t: debit de gaz en entree d'une chaudiere Y t: emission de CO2Modele identie :
Y t= 53:260:535 + 0:376B+ 0:518B210:548BXt3111:532B+ 0:632B2"t(1)
Rappel:110:548B= 1 + 0:548B+ 0:5482B2+:::
donc0:535+0:376B+0:518B210:548B=
etBkXt3=Xt3kInter^et double:
!modelisation !prevision 5/23Modeles a variable exogene
Modele a fonction de transfert :
cf regression dynamique cf ARIMAX : ARIMA with exogeneous factors Y t=c1Yt1 lYtl(2) +0Xt+1Xt1++kXtk+utavec :(Yt) est lachronique a modeliser(Xt) est lachronique explicative(ut) est lachronique des erreurs
!les chroniques sont supposeesstationnaires !(1 +1B++lBl)(Yt) = (0++kBk)Xt+ut d'ou la representation avec les fractions rationnelles enB !eventuellementi= 0 pouriEcriture avec l'operateur de decalageBModele a fonction de transfert :
Y t=+ (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(3) avec :b>0 le retard (B) =!0!1B !sBs(B) = 11B rBr(B) = 11B qBq(B) = 11B pBp et ("t) bruit blanc gaussien d'ecart-typeDenition: (B)(B)est appelefonction de transfert. Rappel:(B)(B)"test la representation ARMA d'un processus stationnaire lineaire gaussien. 7/23Seance 5
1Modeles a fonction de transfert
Exemples
Denition
2Identication du modele
Pre-blanchiment
Correlogramme croise
Residus
Resume
Regression fallacieuse
3Conclusion
4Exemple
8/23Stationnarisation
Dans le modele,XtetYtdoivent ^etrestationnaires... !si ce n'est pas le cas, il faut eventuellement deriver au prealable les chroniques etudiees (de la m^eme maniere) pour que le resultat soit stationnaire. (voir la discussion sur les regressions fallacieuses) 9/23Blanchiment de la chronique explicative
X t: chronique explicativePre-blanchiment(deXt)
(Xt) est un processus stationnaire (doncARMA). !il existe des polyn^omes 1et 1t.q. : X t= (+)1(B)1(B)t(4)
outest un bruit blanc gaussien.On ecrit
1(B)1(B)Xt=t(5)
!le ltre1(B)1(B)blanchitla chroniqueXt.
10/23Blanchiment de la chronique explicative
Y t= (+) (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(6)On applique
1(B)1(B)aYt:
t=1(B)1(B)Yt=
(B)(B)tb+e"t(7) (les polyn^omes symboliques commutent) avec :e"t=1(B)(B)1(B)(B)"teststationnaire(pas un bruit blanc comme"t),
supposeindependantdet(sinon probleme d'identication...)ettb.b.g. par denition de 1=1. 11/23Le correlogramme croise
On est ramene a l'identication du modele :
t= (B)(B)tb+e"t(8)Comment identier
et ?(ou la fonction de transfert=)!nous allons utiliser l'outil suivant :Denition : lecorrelogramme croise(h) =Cov(t;t+h)pVar(t)Var(t)
(ne depend pas det, cf slide suivant)Remarque:(h) est deni pourh2Z (a priori,(h)6=(h))12/23Identication de la fonction de transfert
t= (B)(B)tb+e"tou (t) b.b.g. et (e"t) stationnaireEn inversant , on ecrit :
t=X h>0 hth+e"t (ici sih0; (h) =h et8h<0; (h) = 0Preuve: (basee sur hypotheses suret !)Cov(t;t+h) = Cov
t;X h 0>0 h0t+hh0 (cartete"tdecorreles) hVar() sih00 sinon(cartbruit blanc)Conclusion: le coef.hdu \polyn^ome"
= estproportionnel au coef.(h) du correlogramme croise entreet .13/23Exemple de correlogramme croise :ccf
(correlogramme croise entretet t, pas entreXtetYt!)Attention: convention R vs. autres logiciels et denition...
help(ccf) \the lagkvalue returned byccf(x,y)estimates the correlation between x[t+k]andy[t]" !donc (par stationnarite) : correlation entrex[t]() ety[t-k]() !ccf(x,y)correspond donc au graphe de(h) : on doit observer des correlations signicatives pour des lagsnegatifs14/23 Allures des correlogrammes selon la fonction de transfertRappel :ht.q.
(B)(B)=X h0 hBh&(h) =h=051015202530h-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81hB3/(1-B+0.8B2)et bien entendu,B3+ 0:2B40:1B5donne un correlogramme avec des
picsenh= 3;4;5, de hauteur proportionnelle a 1, 0.2, -0.115/23Pratique du correlogramme croise
Y t= (B)(B)Xtb+(B)(B)"t=0(B)Xtb+(B)(B)"t(9)1premier pic (signicativement) non nul sur le correlogramme donne le decalageb,2si decroissance (assez) lente du correlogramme : on envisage un denominateur(cf inversion de (1B)) si sinusode : denominateur de degre>2,(toujours avec l'objectif d'unmodele simple)3sinon le nombre (et la position) des pics non nuls donne le
degre du numerateur (et les coecients non nuls).Remarque: si le correlogramme croise a des pics signicatifs pour
des decalages futurs, le modele n'est pas bien adapte (non-causalite) 16/23Identication du modele : ARMA sur les residus
On cherche un modele du type :
Y t= (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(10)Avec l'etape precedente, on conna^t les degres de
et (et eventuellement la position des coef. nuls), et le decalageb.Ensuite:Calcul de la fonction de transfert
On revient aux series (stationnaires) initiales :
Y t= (B)(B)Xtb+ut(11) !on estime les coecients de et , residusut !ACF / PACF des residusut: ils permettent d'identier et Modele ARMA sur les residus stationnairesut !Estimation de et et reestimation de et .17/23Resume : identication et estimation
Y t=+ (B)(B)Xtb+(B)(B)"t(12)1.Pre-blanchimentde Xt.
2.Correlogramme croisesur les s eriesp reltrees.
(on utilise le ltre blanchissantXtpourXtetYt) Permet l'identication du retard et de la forme de la fonction de transfert.3.Estimation de la fonction de transfert
( B)=(B) etidentication/estimation du modele ARMA( B)=(B)"tdes residusut. Remarque: bien s^ur, verications habituelles de rigueur (residus"tdu modele nal = bruit blanc gaussien, parametres signicatifs, etc). 18/23Remarque : regression fallacieuse
On a suppose les chroniquesXtetYtstationnaires.
!et si ce n'est pas le cas?Exemple: soientXtetYtintegrees d'ordre 1 (XtetYtnon stationnaires, (1B)Xtet (1B)Ytstationnaires) AlorsYtaXtb=Rtest generalement aussi integree d'ordre 1. !si estimation dea;bpar regression (moindres carres desRt) : lest-tests (Student) sont trop \optimistes"... (carRtn'est pas un b.b.g., mais une marche aleatoire ou unARIMA(p,1,q), donc Var(
ba)6=2(XTX)1) On parle deregression fallacieuse(spurious regression). http://tylervigen.com/spurious-correlations!Pour contourner le probleme, onregresse(1B)Yt sur (1B)Xt, avec des residus ARMA (et pas i.i.d.)...19/23Seance 5
1Modeles a fonction de transfert
Exemples
Denition
2Identication du modele
Pre-blanchiment
Correlogramme croise
Residus
Resume
Regression fallacieuse
3Conclusion
4Exemple
20/23Modeles a variable exogene
Modele a variable exogene et fonction de transfert : Y t=+ (B)(B)Xtb+ut(13)Rappel: Modele d'intervention:
X t=+It0t+ut=+ (B)(B)It0t+ut(14) !modele similaire :It0t !Xt avecIt0(t) deterministe / (Xt) stochastique stationnaire. Donc fonctions R similaires, mais pas d'interpretation du correlogramme croise pour les modeles d'intervention, ni de pre-blanchiment(qui n'ont pas de sens dans ce dernier cas) 21/23Dernieres seances...
Tout retour est le bienvenu
(en ayant en t^ete les multiples contraintes...)Cf pad sur ArcheLundi 23 mars 2020
Discussion d'un exemple, Q&R
TP de syntheseLundi 30 mars 2020.Test
Instructions a venir
22/23Exemple : serie J de Box et Jenkins
Chronique d'entreeXt: debit de gaz alimentant un appareil de chauageChronique de sortieYt: concentration en CO2
!cf carnet Jupyter et code sur page web 23/23quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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