[PDF] Moindres carrés Moindres carrés et matrices.





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Chapitre 5 - Méthode des moindres carrés

En déduire l'équation de la droite des moindres carrés. Contrôler vos calculs en superposant son graphe au nuage de points. 3. Calculer le coefficient de 



Moindres carrés asymptotiques

sachant xi) les estimateurs des moindres carre's (T peut s'interpre'ter comme un estimateur des moindres ... moindres carre' suites S* convergeant.



PHY 1501 – Matlab : optimisation de paramètres

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Least Square Based Iteration Approach for Agricultural Soil Moisture

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9. Projections et moindres carrés - Sections 4.2 et 4.3

Moindres carrés. Projection sur une droite (1/2). Soit L le sous-espace vectoriel de Rm correspondant `a la droite engendrée par le vecteur non nul a ? Rm.



Exploitation quantitative dune expérience de physique

La méthode des moindres carrés consiste à choisir pour du carré des résidus (méthode du moindre carré) ... en utilisant le test du moindre carré.



Moindres carrés

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Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Moindres carres

Vincent Nozick

Vincent NozickMoindres carres1 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Les moindres carres

Introduction :

On dispose d'un ensemble de point supposes alignes. On cherche l'equation de la droite qui represente le mieux cet ensemble de points.

Probleme :

Les points ne sont en general pas tout a fait alignes.

Vincent NozickMoindres carres2 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Approximation d'une droite

Vincent NozickMoindres carres3 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Approximation d'une droite

Vincent NozickMoindres carres3 / 24

Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Approximation d'une droite

Vincent NozickMoindres carres3 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Approximation d'une droite

y th=a:x+bR 2=NX i=1 y th(xi)yi 2=NX

i=1(axi+byi)2Vincent NozickMoindres carres4 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Approximation d'une droite

y th=a:x+bR 2=NX i=1 y th(xi)yi 2=NX

i=1(axi+byi)2Vincent NozickMoindres carres4 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Le residu

R

2=P(axi+byi)2R

2=Pa2x2i+b2+y2i+ 2abxi2axiyi2byiR

2=a2Px2i+b2P1 +Py2i+ 2abPxi2aPxiyi2bPyiVincent NozickMoindres carres5 / 24

Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Le residu

R

2=P(axi+byi)2R

2=Pa2x2i+b2+y2i+ 2abxi2axiyi2byiR

2=a2Px2i+b2P1 +Py2i+ 2abPxi2aPxiyi2bPyiVincent NozickMoindres carres5 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Le residu

R

2=P(axi+byi)2R

2=Pa2x2i+b2+y2i+ 2abxi2axiyi2byiR

2=a2Px2i+b2P1 +Py2i+ 2abPxi2aPxiyi2bPyiVincent NozickMoindres carres5 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Derivee partielle du residu

R

2=a2Xx2i+b2X1+Xy2i+2abXx

i2aXx iyi2bXy i

On veut minimiserR2!on annule ses derivees

@R 2@a = 0)2aXx2i+ 2bXx i2Xx iyi= 0a

Xx2i+bXx

i=Xx

iyiVincent NozickMoindres carres6 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Derivee partielle du residu

R

2=a2Xx2i+b2X1+Xy2i+2abXx

i2aXx iyi2bXy i

On veut minimiserR2!on annule ses derivees

@R 2@b = 0)2bN+ 2aXx i2Xy i= 0a Xx i+bN=Xy iVincent NozickMoindres carres7 / 24 Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Systeme lineaire

a

Xx2i+bXx

i=Xx iyia Xx i+bN=Xy iOn obtient un systeme lineaire : aPx2i+bPxi=Pxiyi

aPxi+bN=PyiVincent NozickMoindres carres8 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Systeme lineaire

Solution :

a=P N i=1xiPN i=1yiNPN i=1xiyi PN i=1xi 2NPN i=1x2i b=P N i=1xiyiPN i=1xiPN i=1x2iP N i=1yi PN i=1xi 2NPN

i=1x2iVincent NozickMoindres carres9 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Moindres carres et matrices

Le systeme lineaire de l'approximation d'une droite : aPx2i+bPxi=Pxiyi aPxi+bN=Pyi peut s'ecrire matriciellement

Px2iPxiPxiN

a b

PxiyiPyi

Vincent NozickMoindres carres10 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Moindres carres et matrices

Une autre approche plus intuitive serait de resoudre : 2 6

66664x

11 x 21
x 31
x n13 7 77775
a b =0 B

BBBB@y

1 y 2 y 3... y n1 C CCCCA On chercheaetbtels queyi=axi+b8i21:::nVincent NozickMoindres carres11 / 24 Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Systeme lineaire

Pour un systeme lineaireAx=b(A:mlignes,ncolonnes)

2 6 664a

11a12a1n

a

21a22a2n............

a m1am2amn3 7 7750
B BB@x 1 x 2... x n1 C CCA=0 B BB@b 1 b 2... b m1 C CCA sim=n(etAde rang plein): solution unique. sim < n:innite de solutions.

sim > n(et rang(A) =n): generalement pas de solution.Vincent NozickMoindres carres12 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Systeme lineaire

Pour un systeme lineaireAx=b(A:mlignes,ncolonnes)

2 6 664a

11a12a1n

a

21a22a2n............

a m1am2amn3 7 7750
B BB@x 1 x 2... x n1 C CCA=0 B BB@b 1 b 2... b m1 C CCA sim=n(etAde rang plein): solution unique. sim < n:innite de solutions.

sim > n(et rang(A) =n): generalement pas de solution.Vincent NozickMoindres carres12 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Systeme surdetermine

sim > n(etrang(A) =n) !on peut trouver une solution au sens des moindres carres.Autrement dit : On a plus d'equations que d'inconnues, qui ne sont pas d'accord entre elles. On peut chercher une solution satisfaisant au mieux toutes les equations du systeme.

Vincent NozickMoindres carres13 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

equation normale et pseudo-inverse

Dans le systeme surdetermineAmnx=b,m > n

!aucune solutionxne peut satisfaire le systeme. !on cherche une solutionxtelle que : e(x) =kAxbk22soit minimal.Vincent NozickMoindres carres14 / 24 Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications equation normale et pseudo-inverse

On veut minimiser :e(x) =kAxbk2

!on cherchextel que@e(x)@x= 0 @kAxbk2@x= 2A>(Axb) = 0!A>AxA>b= 0

Equation normaleA

>Ax=A>bsolution (au sens des moindres carres)

)x= (A>A)1A>bVincent NozickMoindres carres15 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Matrice pseudo-inverse

x= (A>A)1A> |{z} A +bMatrice pseudo inverse :A+def= (A>A)1A>Proprietes : sirang(A) =n, alorsA>Aest une matrice carree reguliere (etA+est donc tout le temps deni).

A+=A1siAest reguliere(ca rreede rang plein) .Vincent NozickMoindres carres16 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Matrice pseudo-inverse

Exemple :Approximation d'une droiteTrouver la droitey=ax+b

passant au mieux par les points(xi;yi).Vincent NozickMoindres carres17 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Matrice pseudo-inverse

On chercheaetbtels queyi=axi+b8i21:::n

2 6

66664x

11 x 21
x 31
x n13 7 77775
|{z} U a b =0 B

BBBB@y

1 y 2 y 3... y n1 C CCCCA |{z} v Il s'agit bien d'un systeme surdetermine, dont la solution est : a b =U+vVincent NozickMoindres carres18 / 24 Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Matrice pseudo-inverse

Exemple :Approximation d'une paraboleTrouver le polyn^omey=ax2+bx+c

passant au mieux par les points(xi;yi).Vincent NozickMoindres carres19 / 24Approximation d'une droiteMoindres ca rreset matrices Exemple Applications

Matrice pseudo-inverse

On cherchea,betctels queyi=ax2i+bxi+c8i21:::n

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