= = = = ds = =
Définition: Moment quadratique par rapport à l'ax. • Poutre à section Moments quadratiques. 1. Modèle poutre soumis à sollicitations: ratique par rapport à ...
Untitled
Remarque: Les moments quadratiques interviennent dans le calcul de la contrainte de torsion et de la flexion. Exemple1: Calculer le moment quadratique (Iox et
4-SYNTHESE-MOMENTS QUADRATIQUES.pdf
Définition : le moment quadratique comme l'aire de la surface caractérise la géométrie d'une section droite. On définit des moments quadratiques par rapport
01-Résistance des matériaux.pdf
▫ Mt : moment de torsion en N·m. ▫ IG : moment quadratique polaire de la section en m4. ▫. : distance au centre de la section en m. La contrainte
Caractéristiques des sections droites Exercice 1: Section en T
Dec 5 2015 Exercice 3: Moment quadratique d'une manivelle de VTT. Question 1: Déterminer le moment de la force ⃗⃗⃗ suivant ⃗⃗⃗ sur le segment OA en.
Résistance des matériaux
Mfz : moment de flexion en Nm. E : module de Young en Pa. IGz : moment quadratique par rapport à l'axe z de la section en m4 f : flèche (écart verticale par
PROPRIÉTÉS DES SECTIONS
Axe neutre d'une surface;. • Centre de gravité d'une surface;. • Moment statique d'une surface;. • Moment d'inertie;. • Module de section;. • Rayon de giration.
Table des Matières
Calculer analytiquement
RDM – Flexion Manuel dutilisation
– le moment quadratique par rapport `a l'axe z : Iz (en cm4). – la position (en mm) des fibres extrêmes par rapport `a l'axe Gz ou le module élastique de
Béton Armé
Mar 3 1999 S'il n'y a pas d'armatures comprimées
Cours de Mécanique Statique et RDM
Il s'agit d'une caractéristique géométrique mesurant l'excentration de la section par rapport à un axe. II. MOMENTS QUADRATIQUES. II.1. Moment quadratique d'une
Résistance des Matériaux
III. Moments quadratiques. III.1 Moment quadratique par rapport à un axe ?Le moment quadratique est aussi appelé moment d'inertie de la section.
?= dsz ?= dsy = ?
Notion(s) abordées(s) en CI 6 / RDM : moment quadratique et quadratique polaire. Notion(s) requise(s) en. CI 6 / statique synthèse. 1) FORMULES GENERALES.
TORSION
I0: moment quadratique de (S) par rapport à (Oz). (mm4). VI. ETUDE DE LA RESISTANCE. 3- Contraintes de torsion. Contrainte de torsion en fonction de Mt
RDM : FLEXION des POUTRES
Le moment fléchissant induit une répartition de contrainte sur toute la section de la poutre I : Moment quadratique de la poutre (m.
A- Généralités :
MOMENTS QUADRATIQUES : Moment quadratique d'une surface par rapport à un axe : Les moments quadratiques de l'élément de surface ?S.
Table des Matières
Moment quadratique d'une section par rapport à une droite (ou un axe) Calculer les moments quadratiques par rapport aux axes o'x' et o'y' et le moment ...
CINEMATIQUE DU SOLIDE
Synthèse – Moments quadratiques. Définition : le moment quadratique comme l'aire de la surface caractérise la géométrie d'une section droite.
Cours caractéristiques des sections
Nous nous bornerons à étudier les moments quadratiques par rapport à un axe. c) Unité et conversion : L'unité du moment quadratique est le m4. 4. 4.
Cours RDM : Flambement des poutres comprimées
Pré-requis. Compression. Moments quadratiques par rapport aux axes de section. Eléments de contenu. Elancement. Charge critique. Condition de résistance
RDM- TORSION RDM 1/5
TORSION
6ROLGH LGpMO matériau homogène, isotrope, poutre rectiligne, de section constante et circulaire.
IHV MŃPLRQV H[PpULHXUHV dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés,
portés par la ligne moyenne. La poutre est donc soumise à deux torseurs couples:I. DEFINITION
Une poutre est sollicitée à la torsion simple si le torseur associé aux forces de cohésion de la partie droite (II) sur la partie gauche (I) de la poutre peut se réduire en G, barycentre de la section droite (S) à un moment perpendiculaire à (S), tel que:Dans (G,x
,y ,z [Tcoh] = G 0 Mt avecN = 0, Ty = 0, Tz = 0
Mt0, Mfy = 0, Mfz = 0 donc =
G 0Mt 00 00REMARQUE:
[Tcoh] = -T(Actions ext.I) = +T(Actions ext.
II) donc R = 0 et Mt = -MAII. ETUDE DES DEFORMATIONS
On exerce un moment MG1
dans la section droite (S1) et on mesure l'angle de rotation des sections (S ) et (S1) par rapport à (S0). On constate que: x = 1 l1 = ...... = Cte. (S1) (S0) Ligne moyenne MB MA A B x z y G (S MA A MG z y Lf3II I Lf2II I Lf1II I G1 (S1) MG 1G0 (S) (S0)
M' M1'
M1 M 1 1 x l1Génératrice avant
déformationGénératrice après
déformationSection S0 parfaitement encastrée dans 1
RDM- TORSION RDM 2/5
On peut écrire:
1 l1 avec: = angle unitaire de torsion (rad/mm).1 = angle de rotation (S1)/(S0) (en rad).
l1 = distance séparant (S1) à la section de référence (S0) (mm)La courbe donnant l'angle
en fonction du moment MG1 fait apparaître deux zones : IM ]RQH 2$ GH GpIRUPMPLRQ pOMVPLTXH ou
domaine élastique: où l'angle de rotation est proportionnel au moment appliqué. IM ]RQH $% GH GpIRUPMPLRQ SHUPMQHQPH, ou domaine plastique; n'est pas proportionnel à MG1 III. REPARTITION DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITEEn un point M, la contrainte de torsion
M est proportionnelle à la distance
de ce point à la ligne moyenne. M = .G. . [Dans (O,x1 ,y1M > 0 si
> 0 et 0] M: contrainte tangentielle due à la torsion (MPa). G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). : distance de M au centre de la section (mm). La contrainte de torsion est nulle si M est sur la ligne moyenne ( = 0). La fibre neutre est confondue avec la ligne moyenne. La contrainte de torsion est maximale si M est sur la surface du solide ( = R = distance max.): max. = G. .R.IV. MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE
Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport à l'axe (O, z) perpendiculaire en O au plan de cette dernière est: I0 = s) I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O,z) (mm4). : distance du point M au point O (mm). S: surface élémentaire entourant le point M(mm2). B MG1 A MA 0Déformation
permanenteDéformation
élastique
max maxM1 M x
1 y z y 1 x z y F G xSection droite
(S) MG0 G0 Mt z y O M x y M S S ODistance de M
ààààO O
Point M
considéréSurface
élémentaire
RDM- TORSION RDM 3/5
MOMENTS QUADRATIQUES PARTICULIERS
Oz x y d Oz x y D d I0 = .d4 32I0= 32
.(D4-d4)
V. ETUDE DES DEFORMATIONS
1- Equation de déformation
Dans le domaine élastique, le moment de torsion Mt est proportionnel à l'angle unitaire de torsion
Mt = G.
.I0 si > 0 Mt > 0Mt: moment de torsion (Nmm).
G: module d'élasticité transversal (de Coulomb) (MPa). : angle de torsion unitaire (rad/mm). I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O, x) (mm4). * Voir valeurs de G pour différents matériaux dans cours cisaillement.2- Condition de rigidité
Pour les arbres de grande longueur (arbres de forage de puits de pétrole, arbres de naviresimportants) on évite de trop grandes déformations de torsion qui risqueraient d'engendrer des vibrations
trop importantes pour un fonctionnement correct. A cet effet, on impose un angle unitaire limite de torsion: lim. à ne pas dépasser ( lim: 0,25 °/m, par exemple). lim ou Mt G.Io lim. Mt: moment de torsion (Nmm). G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa). I0: moment quadratique de (S) par rapport à (O,z) (mm4).VI. ETUDE DE LA RESISTANCE
3- Contraintes de torsion
Contrainte de torsion en fonction de Mt:
La contrainte en un point M d'une section
droite est:M = Mt
Io M : contrainte tangentielle due a la torsion (MPa)*.Mt: moment de torsion (Nmm).
I0: moment quadratique polaire de la section droite considérée (mm4). : distance du point M à la fibre neutre (mm). x GM d=2RValeur de
M en un point M
M G MG0 O Mt z y G (S) MO Mt O (S0) M' M x y zSens positif pour l'angle de
rotation l 0 0RDM- TORSION RDM 4/5
4- Contrainte maximale de torsion
Il faut rechercher la section (S) dans laquelle le moment de torsion est maximal. Dans celle-ci la contrainte est maximale au point le plus éloigné de l'axe ( = R). max. = Mtmax Io .R ou max. = Mtmax (I0 R)Tmax.: contrainte maximale tangentielle (MPa)*.
Mt max.: moment de torsion maximale (Nmm).
I0: moment quadratique polaire de la section (S) (mm4). R: distance du point le plus éloigne de la fibre neutre à cette dernière (mm). (I0R): module de torsion (mm3).
* 1 MPa = 1 N/mm2REMARQUE:
Ces relations sont valables uniquement pour les sections circulaires!5- Condition de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte de torsion doit rester inférieure à la résistance pratique
au glissement Rpg est le quotient de résistance élastique au glissement Rpg par le coefficient de
sécurité s. (Voir la relation entre Re et Reg dans le cours sur le cisaillement)Rpg = Reg
sRpg: résistance pratique au glissement (MPa).
Reg: résistance élastique au glissement (MPa). s: coefficient de sécurité (sans unité) (voir valeurs dans le cours sur le cisaillement).La condition de résistance est:
max.Rpg ou
Mt max (I0 R) RpgVII. SOLIDE REEL
les arbres présentent généralement de brusques variations de sections (gorges, épaulements,
rainures de clavettes. . .). Au voisinage de ces variations de section, la répartition des contraintes n'est
pas linéaire. Il y a concentration de contrainte. eff. max. = Kt. théorique eff. max.: contrainte maximale effective (MPa). théorique contrainte théorique sans concentration (MPa). Kt: coefficient de concentration de contrainte relatif a la torsion. Kt est déterminé par des tableaux ou abaques (voir les valeurs expérimentales dans tableau).Kt pour rainures de clavettes
Rayon congé
Profondeur rainure
= r c0.5 0.3 0.2 0.1
Coefficient Kt 2.1 2.7 3.5 5.4
c M' MRayon du
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