[PDF] Agrégation interne de Mathématiques Session 2009 Deuxième

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Agrégation interne de

Mathématiques

(et CAERPA)

Session 2009

Deuxième épreuve écrite

{ 2 { { NOTATIONS ET PR

ELIMINAIRES {

On designe parRle corps des nombres reels et parCle corps des nombres complexes. Sifest une fonction derivable sur un intervalle deR, on note indieremmentf0ou D(f) ou simplement Dfsa fonction derivee. De m^eme, pournentier naturel superieur ou egal a 1, on note D nfsa fonction deriveeneme. On convient de poser D0f=f. On designe parL1l'espace vectoriel des fonctions continues surR, a valeurs complexes et bornees surR. Pourf2 L1, on posekfk1= supx2Rjf(x)j. On designe parL1l'espace vectoriel des fonctionsfcontinues surR, a valeurs complexes et integrables surR. Pour toute fonctionfdeL1, on ecrira indieremmentR

Rf(x)dxouR

Rfpour

designerR+1

1f(x)dx. On denit une norme sur cet espace en posantkfk1=R+1

1jf(x)jdx :

On dit qu'une fonctionfest de classeC1si elle derivable en tout point deRet si sa deriveef0 est une fonction continue. Les espaces vectorielsSetS0sont denis au debut des parties III et IV de cet enonce. Les candidats sont invites a enoncer precisement les theoremes d'integration qu'ils comptent appli- quer. Ils pourront eventuellement utiliser le resultat suivant qui sera admis :

Soit une fonctionucontinue surR2et telle que :

1.Pour toutx2R, la fonctiony7!u(x;y)est integrable surR, et

2.la fonctionx7!R

Rju(x;y)jdyest continue et integrable surR, et

3.la fonctionx7!R

Ru(x;y)dyest continue surR, et

4.pour touty2R, la fonctionx7!u(x;y)est integrable surR, et

5.la fonctiony7!R

Rju(x;y)jdxest continue surR, et

6.la fonctiony7!R

Ru(x;y)dxest continue surR.

Alorsuest integrable surR2; de plus, la fonctiony7!R

Ru(x;y)dxest integrable surRet on a

ZZ R 2u=Z R Z R u(x;y)dy dx=Z R Z R u(x;y)dx dy : Les quatre parties s'enchainent logiquement. Chaque question peut ^etre traitee en admettant les resultats etablis dans les questions anterieures. { Partie I : Transformation de Fourier {

1.Soitfune fonction appartenant aL1.

(a)Demontrer que, pour toutappartenant aR, la fonctionx7!f(x)e2ixest integrable surR. (b)On denit alors une nouvelle fonction, noteebf, en posant pour tout2R: b f() =Z +1 1 f(x)e2ixdx

Demontrer que la fonction

bfest continue, bornee et que l'on akbfk16kfk1: { 3 {

La fonction

bfest appeleetransformee de Fourierde la fonctionfet est notee indieremmentbfouFf. On pourra ainsi considererFcomme une application deL1dansL1.

2.Soientaun nombre reel strictement positif et'la fonction denie surRpar'(x) = eajxj.

Verier que la fonction'appartient aL1et calculer sa transformee de Fourier.

3.Soientfetgdeux fonctions appartenant aL1. Demontrer que l'on aR

Rfbg=R

Rbfg.

4.Soitfune fonction appartenant aL1et telle la fonctiont7!tf(t), noteexf, appartienne a

L

1. Demontrer quebfest de classeC1surRet que D(Ff) =F(2ixf).

5.Soitfune fonction derivable surRet telle quefet Dfappartiennent aL1.

(a)Demontrer quefadmet des limites nulles au voisinage de +1et de1. (b)En deduire que pour toutappartenant aRon aF(Df)() = (2i)Ff().

6. Calcul de la transformee de Fourier d'une gaussienne.

On considere la fonction

denie surRpar (x) = ex2. (a)Justier le fait que est integrable surR.On admettra queR R = 1: (b)Pour toutappartenant aR, on note () =R

Re(x+i)2dx. Demontrer que la fonction

est constante.Indication :On pourra deriver la fonction , ou bien integrer suivant un chemin convenable dans le plan complexe. (c)En deduire queF (d)Soitaun nombre reel strictement positif. Soit la fonction adenie par a(x) = (ax); exprimer la transformee de Fourier de aen fonction de 1a { Partie II : Convolution {

1.On considere deux fonctionsfetgcontinues surRet a valeurs complexes. Demontrer que si

fetgverient l'hypothese (H1)fappartient aL1etgappartient aL1 alors la fonctiony7!f(xy)g(y) est integrable surR. Demontrer que ce resultat est encore vrai sifetgverient l'hypothese (H2)fappartient aL1etgappartient aL1. Lorsque l'une au moins des deux hypotheses precedentes est veriee, on denit la fonctionfg parfg(x) =R

Rf(xy)g(y)dypour tout nombrexreel.

Cette fonction s'appelle leproduit de convolution defet deg.

2.Demontrer, sous l'hypothese (H1), quefg=gf. Dans toute la suite, l'expressionfgsera

utilisee en supposant que l'une des deux fonctions appartient aL1et l'autre aL1(hypotheses (H1) ou (H2)). Demontrer, sous l'hypothese (H1), quefgappartient aL1et quekfgk16kfk1kgk1:

3.On suppose dans cette question quefetgverient l'hypothese (H1) et que, de plus,fest

derivable surRet que Dfappartient aL1. Demontrer quefgest de classeC1surRet que D(fg) = Dfg. { 4 {

4.On suppose quefetgappartiennent aL1et que l'une au moins des deux fonctions appartient

aL1. (a)Demontrer quefgest dansL1et queR Rfg=R RfR Rg. (b)Montrer queF(fg) =Ff Fg.

5.Soitune fonction appartenant aL1et telle queR

R(x)dx= 1.

Pour tout nombre"2]0;1[ on denit la fonction"par la formule"(x) =1" (x" ),xetant un nombre reel quelconque.

SoitJun segment deR.

Soitfune fonction appartenant aL1, on veut demontrer quef"converge versfuni- formement surJquand"tend vers zero, c'est-a-dire que lim "!0 sup x2Jjf"(x)f(x)j = 0: (a)Soit un nombre >0. Demontrer qu'il existe un nombre reelA >0 tel que Z A 1 j(x)jdx+Z 1 A j(x)jdx < : (b)Demontrer, pour toutxreel xe, quejf"(x)f(x)j6R

Rjf(x"y)f(x)jj(y)jdy :

(c)En deduire que sup x2Jjf"(x)f(x)j62kfk1+Z A

Aj(y)jsup

x2Jjf(x"y)f(x)jdy : (d)Conclure en utilisant la continuite defsur un compact convenablement choisi.

6. Theoreme d'inversion de Fourier.

(a)Soitx2R(xxe). Soit" >0, et soit "la fonction denie par "() = e2ix"22 pour toutappartenant aR. Verier que cette fonction appartient aL1et exprimer sa transformee de Fourier a l'aide de la fonction "denie par "(y) =1" (y" ) (la fonction a ete denie en I.6). (b)Soit une fonctionfde l'espaceL1; on noteG(f) la fonction denie parG(f)() =Ff() pour toutappartenant aR; on peut ainsi considererGcomme une application deL1 dansL1. On suppose quefest aussi dansL1et queFfest integrable surR.

Demontrer alors quef=G(bf).

Indication :on pourra ecrireR

R"()bf()d=R

Rc"(y)f(y)dy, puis faire tendre"vers

zero, et utiliser la question II.5. Dans la suite la transformationGsera parfois noteeF1. { 5 { { Partie III : EspaceS{ On dit qu'une fonctionfde variable reelle et a valeurs complexes esta decroissance rapidesifest de classeC1et que pour chaque couple d'entiers naturels (; ) la fonctionx7!xDf(x) est bornee surR(on rappelle que Ddesigne l'operateur de derivation d'ordre b^eta). Pour simplier les choses, on noteraxDfla fonctionx7!xDf(x). Enn, on noteSl'espace vectoriel des fonctions a decroissance rapide.

1. (a)Demontrer que pour toute fonctionf2 Set pour tous entiers naturelsm;;, la fonction

x7!(1 +jxjm)x(Df)(x) est bornee surR. (b)En deduire que la fonctionxDfappartient aL1(en particulier, on aS L1). (c)Verier que le produit de deux fonctions deSest aussi dansS.

2. Topologie deS.

Pour tout entiern2Net toute fonctionf2 Son pose

p n(f) = max066n 066n
sup x2RjxjjDf(x)j: (a)Soientfetgdeux fonctions deS. Demontrer l'inegalitepn(f+g)6pn(f) +pn(g). (b)On denit une fonction, notee, qui ax>0 associe(x) =x1+x:Demontrer queest croissante, bornee et verie(x+y)6(x) +(y) pour tousx; ypositifs. (c) Etant donnees deux fonctionsf; gdeSon posed(f;g) =1P n=012 npn(fg):Demontrer quedest une distance surSet que cette distance est invariante par translation. L'espaceSsera desormais muni de la topologie denie par cette distance. (d)Demontrer qu'une suite (fi)i2Nde fonctions deSconverge vers 0 (la fonction nulle) pour la topologie denie par la distanced(ce qu'on pourra noterfi!S0) si, et seulement si, pour chaque couple (;)2N2on a lim i!1 sup x2Rjxjj(Dfi)(x)j = 0:

En deduire que l'applicationI:(

f7!f S ! L

1est continue.

3.Soientfetgdeux fonctions deS. Demontrer quefgest de classeC1, puis quefgappartient

aS.

4. Transformation de Fourier dansS.

(a)Soit un elementfdeSet un entier. Demontrer que D(Ff) =Fg, ou la fonctiong est denie parg(x) = (2ix)f(x) pour toutxappartenant aR(ce qu'on peut aussi ecrire a l'aide de la notation introduite en I.4 :g= (2i)xf). (b)Demontrer, pour tout nombre reel, la formule :

F(Df)() = (2i)Ff():

(c)En deduire que sifappartient aS, alorsbfappartient aussi aS. { 6 { (d)Demontrer que l'applicationf7!bfest continue deSdansS(toujours au sens de la topologie denie pard). Par abus de langage, on notera encoreFcette application.

5. Inversion de Fourier dansS.

Demontrer que la transformation de FourierFetablit une bijection deSsur lui-m^eme, admet- tant pour bijection reciproque la restriction deGaS. Par abus de langage, on notera encore, dans ce nouveau contexte,G=F1. { Partie IV : EspaceS0{ On noteS0le dual topologique deS, c'est-a-dire l'ensemble des applications lineaires continues deS dansC(Setant muni de la distanceddenie au III.2.c).

1. Quelques exemples.

(a)Soitla forme lineaire denie par(f) =f(0) pourf2 S. Demontrer queappartient a S 0. (b)Soituune fonction continue par morceaux, integrable surRou bornee. Demontrer, dans chacun de ces deux cas, que l'integraleR

Rufa un sens; en deduire qu'on denit bien un

element deS0, noteTu, en posantTu(f) =R

Rufpourfappartenant aS.

On utilisera cette notationTudans toute la suite du probleme.

2. Construction d'operateurs surS0.

Pour construire d'autres elements deS0on procede de la maniere suivante. On se donne tout d'abord une application lineaire continue deSdansS, noteeL. On suppose qu'il existe une application lineaire continueL0deSdansStelle que pour toutes fonctionsfetgdeSon aitR

RL(f)g=R

Rf L0(g):On admettra que, dans ces conditions, l'applicationL0est unique.

Enn, pour tout elementTdeS0on poseL(T) =TL0.

Justier le fait queLest une application lineaire deS0dans lui-m^eme.

3. Derivation dansS0.

(a)On choisit d'abordL= D (operateur de derivation). Verier que la question IV.2 s'ap- plique bien a cet operateur et expliciterL0. (b)Donner alors l'expression de D(T)(f) pourT2 S0etf2 S. (c)On choisit a presentL= D, pour2N,>2. ExpliciterL0etL(T)(f) pourT2 S0et f2 S. (d)SoitYla fonction denie surRparY(x) = 1 pourx>0 etY(x) = 0 pourx <0. Demontrer que D(TY) =(avec les notationsetTYintroduites en IV.1).

4. Multiplication par des fonctions dansS0.

On dit qu'une fonctionPde classeC1esta croissance lentesi pour tout entier>0 il existe un entier>0 et deux nombres reelsMetNtels quejDP(x)j6(M+Njxj) pour toutx reel. SoitLl'operateur deni surSpar :L(f)(x) =P(x)f(x) (avecf2 S; x2R). Demontrer queLsatisfait aux hypotheses de la question IV.2, et preciser l'expression deL0et deL(T)(f) pourT2 S0etf2 S.

L'elementL(T) deS0sera notePTdans la suite.

{ 7 {

5. Transformation de Fourier dansS0.

(a)Demontrer que l'applicationLdenie, pourf2 S, parL(f) =bf(soitL=F) verie les hypotheses de la question IV.2; donner l'expression deL(T)(f) pourT2 S0etf2 S. L'elementL(T) deS0sera note dans la suitebTou indieremmentF(T). (b)Donner une denition analogue pour l'applicationG(voir question II.6), et demontrer que Grealise une bijection deS0sur lui-m^eme, dont la reciproque estF(voir la question III.5). (c)On se donne une fonctionu2 L1. Demontrer que l'on aF(Tu) =TF(u). (d)Demontrer queF() =T1, ou1designe la fonction constante egale a 1 surR, puis que

G() =T1:

6.Soit un entier>0. On denit deux fonctionsPetQparP(x) = (2ix)etQ(x) = (2ix)

pour toutxreel. SoitTappartenant aS0; demontrer les relations D (F(T)) =F(PT) etF(D (T)) =Q F(T): 7.

Equation dierentielleD2

U+U=. Chercher, au moyen de la transformation de Fourier et des resultats de la question I.2, quelles sont les solutionsU2 S0de l'equation dierentielleD2

U+U= :FIN DU SUJET

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