Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n PDF

5) Étudier les variations de la suite (un). Page 2. Première S3. IE5 comportement des suites. S2 2016-2017. 2.

Suites 1 Convergence

Suites. 1 Convergence. Exercice 1. Montrer que toute suite convergente est bornée. Montrer que les suites (u2n)n et (u2n+1)n sont monotones.

Propriétés - Suites monotones

Montrer que toute suite convergente est bornée. Exercice 5 ?. Montrer que si (un)n est une suite arithmétique de premier terme a et de raison r

Suites

Montrer que la suite est monotone. En déduire que la suite est convergente. 4. Déterminer la limite de la suite ( ) ?0. Allez à : Correction exercice 1

Chapitre 4: Croissance divergence et convergence des suites - 4.1

Une suite est monotone si elle est croissante ou si elle est Exercice 4.1 : Les suites (un) suivantes sont-elles croissantes ? décroissantes ?

Fiche 1 : Les suites Méthodes et exercices

Fiche téléchargée sur www.studyrama.com. MATHEMATIQUES. Série S. Nº : 32001. Fiche Exercices. Etudier la monotonie d'une suite numérique. Méthode 1 :.

Corrigé du TD no 11

Passons à la résolution de l'exercice proprement dit. Soit ? un réel et soit (un) une suite de nombres rationnels qui converge vers ?.

8. Exercice 13 : Calcul de limites dune suite

Suites. Monotonie et nature. Monotonie et nature. Enoncés. EXERCICE 1. Dans cet exercice (Un)n?N est une suite réelle telle que : ?n?N*

1 Propriétés - Suites monotones

Exercice 4 ?. Montrer que toute suite convergente est bornée. Exercice 5 ?. Montrer que si (un)n est une suite arithmétique de premier terme a et de raison r

Chapitre 11 - Monotonie dune suite et limite

strictement décroissante). 2. Vocabulaire : une suite croissante ou décroissante est dite monotone. Traiter les exercices 5559 page 67. Indication : pour

Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S1 1

Exercice 1 : (4 points)

Etudier la monotonie de la suite u.

1) un = n

2) un = 1

n + 1 - 1 n

3) un+1 = un

1 + un² et u0 = 4

4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raiso = 1

5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.

Exercice 2 : (6 points)

On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8. 1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .

2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1

3) vn).

4) n : un = 4 20n

4 + 5n.

5) Étudier les variations de la suite (un).

Première S3 IE5 comportement des suites S2 2016-2017 2

Exercice 1 : (4 points)

Etudier la monotonie de la suite u.

1) un =22n+2

2) un = n n²

3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1

4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raiso = 2.

5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.

Exercice 2 : (6 points)

On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par : u0 = 1 et un+1 = 9

6 un.

1) (un) ainsi que sa limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un 3 .

2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1

3) vn).

4) n : un = 6n + 3

2n + 3.

5) Étudier les variations de la suite (un).

Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017

CORRECTION

Exercice 1 : (5 points)

Etudier la monotonie de la suite u.

1) un = n

2) un = 1

n + 1 - 1 n

3) un+1 = un

1 + un² et u0 = 4

4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raison q = 1

5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.

1) Comme 2n > 0, un est défini pour tout entier naturel.

un+1 un = n + 1

2n+1 - n

2n = n + 1

2n+1 - 2n

2n+1 = 1

2n+1 (n + 1 2n)

un+1 un = 1

2n+1(n + 1 2n)n + 1 + 2n

n + 1 + 2n un+1 un = 1

2n+1(n + 1² - (2n)²

n + 1 + 2n1

2n+1n + 1 - 4n

n + 1 + 2n= -3n + 1

2n+1(n + 1 + 2n)

2n+1(n + 1 + 2n) > 0

Pour n > 1, -3n + 1 < 0 ; et -3n + 1

2n+1(n + 1 + 2n) < 0.

Donc à partir du rang 1, la suite (un) est décroissante.

Vérification graphique :

2) un est défini pour n > 0.

Pour n > 0, un+1 un = 1

n + 2 - 1 n + 1 - 1 n + 1 - 1 n = 1 n + 2 - 2 n + 1 + 1 n Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017

CORRECTION

4 un+1 un = n(n + 1) 2n(n + 2) + (n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) = n² + n 2n² - 4n + n² + 2n + n + 2 n(n + 1)(n + 2) un+1 un = 2 n(n + 1)(n + 2) > 0

Donc la suite u est croissante.

Autre méthode :

un = f(n) avec f(x) = 1 x + 1 1 x Alors un a les mêmes variations que f sur [0;+ [.

Or pour x > 0, f'(x) = - 1

(x + 1)² + 1 x² = -x² + (x + 1)² (x + 1)²x² = [(x + 1) + x][(x + 1) x] (x + 1)²x² f'(x) = 2x + 1 (x + 1)²x²

Pour x > 0, 2x + 1 > 0 et (x + 1)²x² > 0

Donc f'(x) > 0

Donc f est strictement croissante sur [0; + [.

Donc la suite (un) est strictement croissante.

Vérification graphique :

3) Comme 1 + un² > 0, alors un est défini pour tout entier naturel.

De plus comme u0 > 0 alors un > 0 pour tout entier naturel n. un+1 un = un

1 + un²- un = un 1 (1 + un²)

1 + un² = un -un²

1 + un²

-un²

1 + un² < 0 et comme un > 0, alors un+1 un < 0.

Donc la suite (un) est décroissante.

Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017

CORRECTION

Vérification graphique :

4) Comme la raison de la suite géométrique q = 1

4 est comprise entre 0 et 1, alors la suite

(qn) est décroissante et comme u0 < 0, alors la suite (un) est croissante. Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 1 4un un+1 un = 1

4un un = - 3

4un et comme u0 < 0 et q > 0 alors un < 0 pour tout entier naturel n.

Donc -3

4un > 0 et donc la suite u est croissante.

Vérification graphique :

5) Comme u est une suite arithmétique de raison r = 10 > 0, alors la suite u est croissante.

Autre manière : un+1 un = 10 > 0, donc la suite u est croissante. Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017

CORRECTION

Vérification graphique :

Exercice 2 : (6 points)

On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par u0 = 1 et un+1 = - 16 un + 8.

1) (un) ainsi que sa

limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un + 4 .

2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1

3) vn).

4) n : un = 4 20n

4 + 5n.

5) Étudier les variations de la suite (un).

1) La suite (un) semble être décroissante et converger vers -4.

2) vn+1 = 1

un+1 + 4 = 1 -16 un + 8 + 4 = 1 -16 + 4(un + 8) un + 8 = un + 8 -16 + 4un + 32 = un + 8

4un + 16

Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017

CORRECTION

7 vn+1 vn = un + 8

4un + 16 - 1

un + 4 = un + 8 - 4

4un + 16 = un + 4

4(un + 4) = 1

4 v0 = 1 u0 + 4 = 1

1 + 4 = 1

5 Donc (vn) est la suite arithmétique de raison 1

4 et de premier terme v0 = 1

3) vn = v0 + nr = 1

5 + 1 4n

4) vn = 1

un + 4 un + 4 = 1 vn un = 1 vn - 4 un = 1 1 5 + 1 4n - 4 = 20

4 + 5n - 4 = 20 4(4 + 5n)

4 + 5n = 20 16 20n

4 + 5n = 4 20n

4 + 5n

5) un+1 un = 4 -20(n + 1)

4 + 5(n + 1) - 4 20n

4 + 5n = (4 20n 20)(4 + 5n) (4 20n)(4 + 5n + 5)

(4 + 5n + 5)(4 + 5n) un+1 un = (-16 20n)(4 + 5n) (4- 20n)(9 + 5n) (5n + 9)(5n + 4) un+1 un = -64 -80n -80n 100n² - 36 20n + 180n + 100n² (5n + 9)(5n + 4) = -100 (5n + 9)(5n + 4) < 0

Donc la suite (un) est décroissante.

Autre méthode : La suite (un) a le même sens de variation que la fonction f définie par f(x) =

4 - 20x

4 + 5x ; + [.

f(x) = u(x) v(x) avec u(x) = 4 20x et v(x) = 4 + 5x (x)v(x) u(x)(x) (v(x))² -20 5 -20(4 + 5x) (4 20x)5 (4 + 5x)² = -80 100x 20 + 100x (4 + 5x)² = -100 (4x + 5)² < 0 Donc la fonction f est décroissante sur [0 ; + [.

Donc la suite (un) est décroissante.

Première S3 IE5 comportement des suites S1 2016-2017

CORRECTION

8 Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2

CORRECTION

Exercice 1 : (4 points)

Etudier la monotonie de la suite u.

1) un =22n+2

2) un = n n²

3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1

4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raison q = 2.

5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.

1) un+1 un = 22(n+1)+2

3n+1 22n+2

3n = 22n+2+2 - 322n+2

3n+1 = 22n+2(22 3)

3n+1 = 22n+2

3n+1 > 0

Donc la suite u est croissante.

Vérification graphique :

2) un+1 un = n + 1 (n + 1)² - (n n²) = n + 1 n² - 2n 1 n + n²

un+1 un = -2n < 0 pour n > 0 Donc la suite u est décroissante à partir du rang 1.

Autre méthode :

un = f(n) avec f(x) = x - x² Alors un a les mêmes variations que f sur [0;+ [.

Or f'(x) = 1 2x

Pour x 1, 1 2x < 0

Donc f est décroissante sur [1; + [.

Donc la suite (un) est décroissante à partir du rang 1. Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2

CORRECTION

Vérification graphique :

3) un+1 un = (un + 1)² - un = un² + 2un + 1 un = un² + un + 1

Comme u0 > 0, un+1 étant un carré est positif, donc un est toujours positif.

Donc un+1 un > 0

Donc la suite u est croissante.

4) Comme la raison de la suite géométrique q = 2est supérieure à 1, alors la suite (qn) est

croissante et comme u0 > 0, alors la suite (un) est croissante. Autre méthode sans utiliser la propriété sur le sens de variation des suites géométriques : un+1 = 2un un+1 un = 2un un = un et comme u0 > 0 et q > 0 alors un > 0 pour tout entier naturel n.

Donc la suite u est croissante.

Vérification graphique :

Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2

CORRECTION

5) Comme u est une suite arithmétique de raison r = -5 < 0, alors la suite u est décroissante.

Autre manière : un+1 un = -5 < 0, donc la suite u est décroissante.

Vérification graphique :

Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2

CORRECTION

Exercice 2 : (6 points)

On considère la suite (un) définie par tout entier naturel n par u0 = 1 et un+1 = 9

6 un.

1) (un) ainsi que sa

limite éventuelle. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 1 un 3 .

2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1

3) vn).

4) n = 6n + 3

2n + 3.

5) Étudier les variations de la suite (un).

1) La suite (un) semble être croissante et converger vers 3.

2) vn+1 = 1

un+1 - 3 = 1 9

6 un - 3

= 1

9 3(6 un)

6 un = 6 un

9 18 + 3un = 6 un

3un - 9

vn+1 vn = 6 un

3un - 9 - 1

un 3 = 6 un 3

3un - 9 = 3 un

3(un 3) = - 1

3 v0 = 1 u0 3 = 1

1 - 3 = - 1

2 Donc (vn) est la suite arithmétique de raison 1

3 et de premier terme v0 = - 1

3) vn = v0 + nr = -1

2 - 1 3n Première S3 IE5 comportement des suites 2016-2017 S2

CORRECTION

4) vn = 1

un - 3 un 3 = 1 vn un = 3 + 1 vn un = 3 + 1 - 1 2 - 1 3n = 3 6

3 + 2n = 3(3 + 2n) 6

3 + 2n = 9 + 6n 6

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Exercice 1 : (4 points) Etudier la monotonie de la suite u. 1) un = n

Exercice 1 : (4 points)

Etudier la monotonie de la suite u.

1) un = n

2) un = 1

3) un+1 = un

1 + un² et u0 = 4

4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raiso = 1

5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.

Exercice 2 : (6 points)

2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1

3) vn).

4) n : un = 4 20n

4 + 5n.

5) Étudier les variations de la suite (un).

Exercice 1 : (4 points)

Etudier la monotonie de la suite u.

1) un =22n+2

2) un = n n²

3) un+1 = (un + 1)² et u0 = 1

4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = 1 et de raiso = 2.

5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = 10 et de raison r = -5.

Exercice 2 : (6 points)

6 un.

2) Démontrer que (vn) est une suite arithmétique de raison 1

3) vn).

4) n : un = 6n + 3

2n + 3.

5) Étudier les variations de la suite (un).

CORRECTION

Exercice 1 : (5 points)

Etudier la monotonie de la suite u.

1) un = n

2) un = 1

3) un+1 = un

1 + un² et u0 = 4

4) u est la suite géométrique de premier terme u0 = -1 et de raison q = 1

5) u est la suite arithmétique de premier terme u0 = -5 et de raison r = 10.

1) Comme 2n > 0, un est défini pour tout entier naturel.

2n+1 - n

2n = n + 1

2n+1 - 2n

2n+1 = 1

2n+1 (n + 1 2n)

2n+1(n + 1 2n)n + 1 + 2n

2n+1(n + 1² - (2n)²

2n+1n + 1 - 4n

2n+1(n + 1 + 2n)

2n+1(n + 1 + 2n) > 0

Pour n > 1, -3n + 1 < 0 ; et -3n + 1

2n+1(n + 1 + 2n) < 0.

Vérification graphique :

2) un est défini pour n > 0.

Pour n > 0, un+1 un = 1

CORRECTION

Donc la suite u est croissante.

Autre méthode :

Or pour x > 0, f'(x) = - 1

Pour x > 0, 2x + 1 > 0 et (x + 1)²x² > 0

Donc f'(x) > 0

Donc f est strictement croissante sur [0; + [.

Donc la suite (un) est strictement croissante.

Vérification graphique :

3) Comme 1 + un² > 0, alors un est défini pour tout entier naturel.

1 + un²- un = un 1 (1 + un²)

1 + un² = un -un²

1 + un²

1 + un² < 0 et comme un > 0, alors un+1 un < 0.

Donc la suite (un) est décroissante.

CORRECTION

Vérification graphique :

4) Comme la raison de la suite géométrique q = 1

4 est comprise entre 0 et 1, alors la suite

4un un = - 3

4un et comme u0 < 0 et q > 0 alors un < 0 pour tout entier naturel n.

Donc -3

4un > 0 et donc la suite u est croissante.

Vérification graphique :

5) Comme u est une suite arithmétique de raison r = 10 > 0, alors la suite u est croissante.

CORRECTION