Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009 PDF

4 juin 2009 Or pour tout x de [a ; b]

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Corrigé du brevet des collèges Amérique du Nord 4 juin 2019

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?Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 4 juin 2009?

EXERCICE15 points

Partie A : Étude de la progressionde l"épidémie pendant30 jours

1.Commeyest dérivable sur [0 ; 30],zaussi ety?=-z?

z2; on va remplacer : ?y(0)=0,01 y ?=0,05y(10-y)?????z(0)=100 z? z2=0,051z(10-1z)???z(0)=100 z ?= -0,5z+0,05

2. a.zest donc solution d"une équation différentielle de la formez?=az+b. Les solutions

sont les fonctions définies sur [0 ; 30] parz(x)=ke-0,5x+0,1 avec k réel. z(0)=100??ke-0,5×0+0,1=100??k=99,9

Ainsi,zest définie parz(x)=99,9e-0,5x+0,1

Enfin,yest définie pary(x)=1

99,9e-0,5x+0,1.

b.On veuty(30). y(30)=1

99,9e-0,5×30+0,1≈9,99. Après 30 jours, 10 % de la population est infectée.

Partie B : Étude sur l"efficacité d"un vaccin

1.NotonsMl"évènement "l"individu tombe malade»etV"l"individu est vacciné».

On ap(V)=0,25;pV?

M? =0,92 etp(M)=0,1 V 0,25? M 0,08 M0,92 V 0,75? M ?M ET?? M 0,1? V ?V M ?V ?M

On veutp(M∩V).

p(M∩V)=p(V)pV(M)=0,25×0,08=0,02. p

M(V)=p(M∩V)

p(M)=0,020,1=0,2 p M? V? =1-pM(V)=0,8

Enfin,p?

M∩

V? =p(M)×pM?V? =0,1×0,8=0,08

2.On cherche icip

V(M) :pV(M)=p?

M∩

V? p?V? =0,080,75=875.

EXERCICE25 points

PartieA : Restitution organiséede connaissances Voir le cours pour les détails, voici la démarche : Par linéarité de l"intégrale (second rappel) : b a f(x)dx?? b a g(x)dx??? b a (f-g)(x)dx?0. Or, pour toutxde [a;b],f(x)?g(x), doncf-g?0 et le premier rappel assure le résultat.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

1. a.fest la composée de la fonctionx?-→ -x2, décroissante sur [0 ; 1], suivie de la fonc-

tion exponentielle croissante surR.fest donc décroissante sur [0 ; 1]. On peut bien sur argumenter sur la dérivabilité de f puis le signe de sa dérivée. On en déduit que, pour tout x de [0 ; 1],f(1)?f(x)?f(0)??1 e?f(x)?1. b.Par croissance de l"intégrale, on déduit de la question précédente :?1 01 edx?? 1 0 f(x)dx?? 1 0

1dx??1e?u0?1

2.u1=?

1 0 xf(x)dx=? 1 0 xe-x2dx On poseu(x)=-x2, ainsiu?(x)=-2xet (u?eu)(x)=-2xf(x)??xf(x)=-1

2u?(x)eu(x).

On a donc :u1=?

-1

2e-x2?10=-12e+12=12?

1-1e?

3. a.Comme la fonction exponentielle est positive surR, pour toutxde [0 ; 1],xnf(x)?0.

Enfin,comme les bornessontdansle bonordre,parpositivitédel"intégrale, onabien le résultat. b.Pour toutndansN,un+1-un=? 1 0 xn+1f(x)-xnf(x)dx=? 1 0 (x-1)xnf(x)dx?0 car la fonction intégrée est clairement négative sur [0 ; 1].

La suite

(un)est décroissante. c.La suite(un)est décroissante et minorée par 0 donc elle converge.

4. a.D"après la question 1. a., pour toutxde [0 ; 1],f(x)?1, par croissance de l"intégrale :?1

0 xnf(x)dx?? 1 0 xndx??? 1 0 xnf(x)dx??xn+1 n+1? 1 0??? 1 0 xnf(x)dx?1n+1 b.D"après les questions 3. a. et 4. a., on a 0?un?1 n+1et limn→+∞1n+1=0 Avec le théorème des gendarmes la suite converge vers 0.

EXERCICE35 points

1. AI=1 2?

AD+-→AE?

, doncI?

0 ;12;12?

AJ=1 2?

AB+--→AD?

, donc J?12;12; 0?

Enfin, K est le milieu de [IJ], donc K

4;12;14?

2.On a G(1; 1; 1), donc--→AG (1 ; 1 ; 1) et--→AK?1

4;12;14?

Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc ils ne sont pas colinéaires, donc les points A, K et G ne sont pas alignés.

3. a.Montrons que les trois points A, K et G sont équidistants de I et J.

AI = AJ =

2?2 (cube de côté 1).

KI = KJ car K est le milieu de [IJ].

en C, permet de montrer que GI = GJ. Les trois points A, K et G sont équidistants de I et J, donc (AKG) est bien le plan mé- diateur de [IJ].

Amérique du Nord24 juin 2009

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.Le vecteur-→IJ?12; 0 ;-12? est donc normal à (AKG), une équation cartésienne de ce plan est donc de la forme : 1

2x-12z+d=0??x-z+2d=0.

Comme A?(AKG), les coordonnées de A vérifient cette équation, doncd=0.

Une équation de (AKG) est doncx-z=0.

c.Les coordonnées de D(0; 1; 0) vérifient l"équation précédente, donc D?(AKG).

4. a.L?1

2; 1 ;12?

, on en déduit les coordonnées du milieu de [AL]; on trouve lescoordon- nées de K! b.Démontrer que K est le barycentre des points A, D et G affectésde coefficients que l"on précisera. On vient de montrer que K est le milieu de [AL], donc K=bar{(A, 2),(L, 2)}

Mais, L est aussi le milieu de [DG], donc L = bar

{(D, 1),(G, 1)} Par associativité du barycentre, on a donc K=bar{(A, 2),(D, 1),(G, 1)}.

EXERCICE45 points

Enseignementobligatoire

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal direct?quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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EXERCICE15 points

1.Commeyest dérivable sur [0 ; 30],zaussi ety?=-z?

2. a.zest donc solution d"une équation différentielle de la formez?=az+b. Les solutions

Ainsi,zest définie parz(x)=99,9e-0,5x+0,1

Enfin,yest définie pary(x)=1

99,9e-0,5x+0,1.

99,9e-0,5×30+0,1≈9,99. Après 30 jours, 10 % de la population est infectée.

1.NotonsMl"évènement "l"individu tombe malade»etV"l"individu est vacciné».

On ap(V)=0,25;pV?

On veutp(M∩V).

M(V)=p(M∩V)

Enfin,p?

M∩

2.On cherche icip

V(M) :pV(M)=p?

M∩

EXERCICE25 points

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

PartieB

1. a.fest la composée de la fonctionx?-→ -x2, décroissante sur [0 ; 1], suivie de la fonc-

1dx??1e?u0?1

2.u1=?

2u?(x)eu(x).

On a donc :u1=?

2e-x2?10=-12e+12=12?

3. a.Comme la fonction exponentielle est positive surR, pour toutxde [0 ; 1],xnf(x)?0.

La suite

4. a.D"après la question 1. a., pour toutxde [0 ; 1],f(x)?1, par croissance de l"intégrale :?1

EXERCICE35 points

AD+-→AE?

0 ;12;12?

AB+--→AD?

Enfin, K est le milieu de [IJ], donc K

4;12;14?

2.On a G(1; 1; 1), donc--→AG (1 ; 1 ; 1) et--→AK?1

4;12;14?

3. a.Montrons que les trois points A, K et G sont équidistants de I et J.

AI = AJ =

2?2 (cube de côté 1).

KI = KJ car K est le milieu de [IJ].

Amérique du Nord24 juin 2009

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2x-12z+d=0??x-z+2d=0.

Une équation de (AKG) est doncx-z=0.

4. a.L?1

2; 1 ;12?

Mais, L est aussi le milieu de [DG], donc L = bar

EXERCICE45 points

Enseignementobligatoire