[PDF] APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE

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APPROXIMATION DE FONCTIONS D

´ERIVABLES PAR UNE

FONCTION POLYNOMIALE

D´efinition 1.SoitI?Run intervalle ouvert et soitf:I→Rune fonction. (1) Sifest continue, on dit quefest declasseC0. (2) Sifest d´erivable et sif?est continue surI, on dit quefest declasseC1. (3) Sifest d´erivable et sif?est d´erivable, on notef??ouf(2)sa d´eriv´ee. Sif(2) est continue, on dit quefest de classeC2. (4) Plus g´en´eralement, pour toutN?, si on peut d´erivernfois la fonctionf, et si la d´eriv´ee n-i`eme, not´eef(n), est continue, alors on dit quefest de classe C n. (5) Sifest de classeCnpour toutn?N, alorsfest infiniment d´erivable, on dit quefest de classeC∞.

Exemple 2.

(1) La fonctionfd´efinie surRparf(x) =x2estC∞surR. (2) Soitfla fonction d´efinie surRparf(x) =x4, on a pour toutx?R: f ?(x) = 4x3, f??(x) = 12x2, f(3)(x) = 24x, f(4)(x)≡24, f(5)(x)≡0, d"o`u :f(n)(x) = 0 pour toutx?R. (3) Plus g´en´eralement, pour toutn?N, la fonctionf:R→Rd´efinie par f(x) =xnest de classeC∞et nous avonsf(k)(x) = 0 pour tout entier k≥n+ 1. (4) les fonctions sinx,cosx, ex,coshx,sinhxsont de classeC∞surR. (5) La fonction logxest de classeC∞sur ]0,+∞[. (6) la fonctionf(x) =x.|x|est de classeC2surR?etC1surR. Nous aurons besoin du r´esultat technique suivant. Lemme 3.SoitI?Run intervalle ouvert, soitb?Iet soitf:I→Rune fonction de classeCn+1,n?N. On consid`ere la fonctiong:I→Rd´efinie en posant : g(x) =f(b)-f(x)-nX k=1(b-x)k k!f(k)(x) =f(b)-f(x)-b-x 1! f?(x)-(b-x)2 2! f(2)(x)- ··· -(b-x)n n!f(n)(x). Dans ces conditions, la fonctiongest d´erivable surIet nous avons : g ?(x) =-(b-x)n n!f(n+1)(x), 1

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pour toutx?I.

Preuve

Puisquefest (n+1) fois d´erivable, les fonctionsf?,···, f(n)sont d´erivables. De ce faitgest compos´ee de sommes et de produits de fonctions d´erivables surI. Par cons´equent,gest d´erivable surI. Pour toutx?Inous avons : g ?(x) =-f?(x)-nX k=1µ ((b-x)k)? k!f(k)(x) +(b-x)k =-f?(x)-nX k=1k(-1)(b-x)k-1 k!f(k)(x)-nX k=1(b-x)k k!f(k+1)(x) =-f?(x) +nX k=1(b-x)k-1 (k-1)!f(k)(x)-nX k=1(b-x)k k!f(k+1)(x). Dans la premi`ere somme, posonsp=k-1, nous avons : g ?(x) =-f?(x) +n-1X p=0(b-x)p p!f(p+1)(x)-nX k=1(b-x)k k!f(k+1)(x). Enfin, dans la deuxi`eme somme appelonspla variable, c"est `a dire posonsk=p.

Nous avons donc :

g ?(x) =-f?(x) +n-1X p=0(b-x)p p!f(p+1)(x)-nX p=1(b-x)p p!f(p+1)(x) =-f?(x) +f?(x)-(b-x)n n!f(n+1)(x) =-(b-x)n n!f(n+1)(x),

Nous d´eduisons le r´esultat important :

Th´eor`eme 4.(Formule de Taylor-Lagrange)

SoitI?Run intervalle ouvert, soitn?N, soitf:I→Rune fonction de classe C n+1. Soienta,b?Itels quea?=b. Dans ces conditions, il existe au moins un r´eelc, strictement compris entreaetb, tel que : f(b) =f(a) +f?(a) 1! (b-a) +f(2)(a) 2! (b-a)2+···+f(n)(a) n!(b-a)n+f(n+1)(c) (n+ 1)!(b-a)n+1 nX k=0f (k)(a) k!(b-a)k+f(n+1)(c) (n+ 1)!(b-a)n+1. (1)

Cette formule est appel´ee la

formule de Taylor-Lagrange`a l"ordrenau pointa.

APPROXIMATION DE FONCTIONS D

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Preuve

Reprenons la fonctiongdu lemme 3 :

g(x) =f(b)-f(x)-nX k=1(b-x)k k!f(k)(x), x?I.

Nous avons :

g(b) = 0 etg(a) =f(b)-f(a)-f?(a)(b-a)-f(2)(a) 2! (b-a)2-···-f(n)(a) n!(b-a)n.

Posons :

h(x) :=g(x)-g(a)(b-x)n+1 (b-a)n+1, x?I

La fonctionhest d´erivable surI. De plus :

h(a) =g(a)-g(a)(b-a)n+1 (b-a)n+1= 0 eth(b) =g(b) = 0. Nous pouvons de ce fait appliquer le th´eor`eme de Rolle `a la fonctionhentreaetb: il existe un r´eelcstrictement compris entreaetbtel que : h ?(c) = 0.

Par ailleurs, nous avons :

h ?(c) =g?(c)-g(a)(n+ 1)(-1)(b-c)n (b-a)n+1 =g?(c) + (n+ 1)g(a)(b-c)n (b-a)n+1 =-(b-c)n n!f(n+1)(c) + (n+ 1)g(a)(b-c)n (b-a)n+1.

Commeh?(c) = 0 nous avons donc

(n+ 1) (b-a)n+1g(a)-fn+1(c) n!= 0, c"est `a dire : g(a)-(b-a)n+1 (n+ 1)!fn+1(c) = 0. En rempla¸cantg(a) par son expression nous obtenons : f(b)-f(a)-f?(a) 1! (b-a)+f(2)(a) 2! (b-a)2-···-f(n)(a) n!(b-a)n-f(n+1)(c) (n+ 1)!(b-a)n+1= 0,

4 APPROXIMATION DE FONCTIONS D

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Corollaire5.Reprenons les hypoth`eses et les notations de la formule de Taylor-

Lagrange. Supposons que0?I. Nous avons :

(1)Pour toutx?I, il existe un r´eelcxstrictement entre0etxtel que : f(x) =f(0) +f?(0)x+f(2)(0) 2! x2+···+f(n)(0) n!xn+f(n+1)(cx) (n+ 1)!xn+1.(2) pour toutx?I:

¯f(x)-(f(0) +f?(0)x+f(2)(0)

2! x2+···+f(n)(0) (n+ 1)!·(3)

Preuve

Pour (2), on applique la formule de Taylor-Lagrange en posanta= 0 etb=x. Pour (3), on applique (2), de ce fait, pour toutx?I, il existe un r´eelcxstrictement entre 0 etxtel que :

¯f(x)-(f(0) +f?(0)x+f(2)(0)

2! x2+···+f(n)(0) n!xn)¯¯=|f(n+1)(cx)||x|n+1 (n+ 1)!.

Exemple 6.

(1)Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonctionf(x) =ex, x?R, au point0et `a l"ordre4. La fonctionfest de classeC5(en fait infiniment d´erivable) surR, de plus : (ex)(k)=ex,pour toutx?Ret toutk?N.

En particulier :

(ex)(k)(0) = 1,?k?N, ainsi, pour toutx?R?, il existe un r´eelcxstrictement entre 0 etxtel que : e x= 1 +x+x2 2! +x3 3! +x4 4! +ecxx5 5! (2)Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonctionf(x) = sinx, x?R, au point 0, `a l"ordre 3. La fonction sinxest de classeC4surR(en fait infiniment d´erivable) et nous avons pour toutx?R: sin ?(x) = cosx,sin(2)x=-sinx,sin(3)x=-cosx,sin(4)x= sinx.

APPROXIMATION DE FONCTIONS D

´ERIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 5

Ainsi, pour toutx?R, il existe un r´eelcxstrictement compris entre 0 etx tel que : sinx= sin0 + (cos0)x+ (-sin0)x2 2! + (-cos0)x3 3! + sincxx4 4! =x-x3 3! + sincxx4 4! (3)Appliquer la formule de Taylor-Lagrange `a la fonctionf(x) = tanx, x?]-π/2,π/2[au point 0, `a l"ordre 3. La fonction tanxest de classeC4sur ]-π/2,π/2[ et nous avons pour tout x?]-π/2,π/2[,tan?x= 1 + tan2x,. Ce qui nous donne : tan (2)x= 2tanx+ 2tan3x tan (3)x= 2(1 + tan2x) + 6tan2x(1 + tan2x) = 2 + 8tan2x+ 6tan4x tan (4)x= 16tanx+ 40tan3x+ 24tan5x. Ainsi, pour toutx?]-π/2,π/2[, x?= 0, il existe un r´eelcxentre 0 etxtel que : tanx=x+x3 3 + (16tancx+ 40tan3cx+ 24tan5cx)x4 4! Nous allons voir qu"il existe une autre mani`ere d"approximer une fonction d´erivable par une fonction polynomiale. Th´eor`eme 7.SoitI?Run intervalle ouvert, soita?Iet soitf:I→Rune fonction de classeCn,n?N?. Dans ces conditions, il existe une fonctionρ:I→Rcontinue telle que : lim x→aρ(x) = 0,(4) and f(x) =f(a)+f?(a)(x-a)+f(2)(a) 2! (x-a)2+···+f(n)(a) n!(x-a)n+(x-a)nρ(x).(5) La formule (5) s"appelle led´eveloppement limit´e def`a l"ordrenau pointa.

Preuve

Nous ferons une d´emonstration par r´ecurrence surn?N?.

Premi`ere ´etape : Lorsquen= 1, on pose :

ρ(x) =f(x)-f(a)

x-a-f?(a). Commefest de classeC1, on a bien limx→aρ(x) =f?(a)-f?(a) = 0. De plus : f(x) =f(a) +f?(a)(x-a) + (x-a)ρ(x). De ce fait, les conditions (4) et (5) sont satisfaites pourn= 1.

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Deuxi`eme ´etape : Soitn?N?. Montrons que si la propri´et´e est vraie `a l"ordren alors elle est vraie `a l"ordren+ 1. Soitf:I→Rune fonction de classeCn+1. Posonsg=f?, la fonctiongest de classeCnet de ce fait, l"hypoth`ese de r´ecurrence nous dit qu"il existe une fonction continueρ:I→Rtelle que : (H)8 >>>:lim t→aρ(t) = 0 g(t) =g(a) +g?(a)(t-a) +g(2)(a) 2! (t-a)2+···+g(n)(a) n!(t-a)n+ (t-a)nρ(t), ?t?I.

Commeg(t) =f?(t), on a donc :

f ?(t) =f?(a)+f(2)(a)(t-a)+f(3)(a) 2! (t-a)2+···+f(n+1)(a) n!(t-a)n+(t-a)nρ(t), pour toutt?I. Soitx?I, en int´egrant chaque terme de cette derni`ere ´egalit´e entre aetxon obtient : Z x a f?(t)dt=Z x a f?(a)dt+Z x a f(2)(a)(t-a)dt+Z x af (3)(a) 2! (t-a)2dt +···+Z x af (n+1)(a) n!(t-a)ndt+Z x a (t-a)nρ(t)dt, c"est `a dire : f(x)-f(a) =f?(a)(x-a) +f(2)(a)(x-a)2 2! +f(3)(a)(x-a)3 3! +···+f(n+1)(a)(x-a)n+1 (n+ 1)! + (x-a)n+1µ1 (x-a)n+1Z x a

Posons :

S(x) =1

(x-a)n+1Z x a (t-a)nρ(t)dt.

Nous avons donc :

f(x) =f(a) +f?(a)(x-a) +···+f(n+1)(a)(x-a)n+1 (n+ 1)!+ (x-a)n+1S(x).

Par cons´equent, il suffit de montrer que lim

x→aS(x) = 0, c"est `a dire : ?ε >0,?η >0,?x?I,¡|x-a|< ηetx?=a¢? |S(x)|< ε. Soitε >0, comme limt→aρ(t) = 0, il existeη >0 tel que pour toutt?I:

¡|x-a|< ηetx?=a¢? |ρ(t)|< ε.

APPROXIMATION DE FONCTIONS D

´ERIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE 7

Ainsi, pour toutx?Itel quex?=aet|x-a|< ηon a :

|S(x)|=1 |x-a|n+1¯

¯¯¯Z

x a (t-a)nρ(t)dt¯¯¯¯ 1 |x-a|n+1¯

¯¯¯Z

x a |t-a|n|ρ(t)|dt¯¯¯¯ 1 |x-a|n+1¯

¯¯¯Z

x a |t-a|nεdt¯¯¯¯ |x-a|n+1¯

¯¯¯Z

x a |t-a|ndt¯¯¯¯ car un calcul montre que six > anous avons :Zx a |t-a|ndt=Z x a (t-a)ndt (t-a)n+1 n+ 1¯

¯¯¯x

a (x-a)n+1 n+ 1 et six < anous avons : Z x a |t-a|ndt= (-1)nZx a (t-a)ndt= (-1)n(x-a)n+1 n+ 1 dans les deux cas nous avons donc :

¯¯¯¯Z

x a |t-a|ndt¯¯¯¯=|x-a|n+1 n+ 1·

Exemple 8.

(1)Donner le d´eveloppement limit´e desinx`a l"ordr 5 en 0. La fonction sinxest de classeC5(et mˆeme plus !) et nous avons : sin ?(x) = cosx,sin(2)x=-sinx,sin(3)x=-cosx,sin(4)x= sinx,sin(5)x= cosx. Le th´eor`eme pr´ec´edent nous dit qu"il existe une fonction continueε(x) surR telle que lim x→0ε(x) = 0 et : sinx= sin(0) + cos(0) + (-sin(0))x2 2 + (-cos(0))x3 3! + sin(0)x4 4! + cos(0)x5 5! +x5ε(x) =x-x3 3! +x5 5! +x5ε(x).

8 APPROXIMATION DE FONCTIONS D

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(2)Calculerlimx→0cosx-1x2. Un calcul rapide donne le d´eveloppement limit´e suivant pour la fonction cosxen 0 : cosx= 1-x2 2 +x2ε(x).

Ainsi :

lim x→0cosx-1 x

2= limx→0(-x2

2 +x2ε(x) x

2= limx→0(-1

2 +ε(x)) =-1 2 car lim x→0ε(x) = 0. (3)Donner le d´eveloppement limit´e decoshxen 0 `a l"ordre 4. La fonction coshxest de classeC4surR(et mˆemeC∞!) et nous avons : cosh ?x= sinhx,cosh(2)x= coshx,cosh(3)x= sinhx,cosh(4)x= coshx. Ainsi coshx= 1 +x2 2 +x4 4! +x4ε(x), o`uε(x) est une fonction continue surRtelle que limx→0ε(x) = 0. (4)Donner le d´eveloppement limit´e de la fonctionf(x) = log(1+x)en 0 `a l"ordre 4. La fonctionfest de classeC4sur ]-1,+∞[ et nous avons : f ?(x) =1

1 +x, f(2)(x) =-1

(1 +x)2, f(3)(x) =2 (1 +x)3, f(4)(x) =-6 (1 +x)4 ce qui donne : log(1 +x) =x-x2 2 +x3 3 -x4 4 +x4ε(x), o`uε(x) est une fonction continue sur ]-1,+∞[ telle que limx→0ε(x) = 0. Op´erations sur les d´eveloppements limit´es Soientf,g:I→Rdeux fonctions de classeCn. On suppose que 0?I. On consid`ere le d´eveloppement limit´e defetgen 0 `a l"ordren: f(x) =P(x) +xnε1(x) g(x) =Q(x) +xnε2(x)

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Le d´eveloppement limit´e def+gen 0 `a l"ordrenest : (f+g)(x) =P(x) +Q(x) +xnε(x).

Par exemple nous savons que :

sinx=x-x3 3! +x4ε1(x) et cosx= 1-x2 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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