[PDF] Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R

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Chapitre 1

Fonctions de plusieurs variables.

Limites dansRn.

Le but principal de ce cours est d"étudier les fonctions de plusieurs variables. En première

année vous avez vu les fonctions d"une seule variable, où un paramètre réel (qui physique-

ment peut représenter une température, une pression, une densité massique, volumique, etc.) dépend d"un autre paramètre, également réel (le temps, une abscisse, etc).

Ici on va donc s"intéresser à des fonctions de plusieurs paramètres réels. Par exemple on

peut vouloir étudier la température, la pression ou la densité volumique en fonction de la position dans l"espace (3 dimensions), de la position et de la vitesse (par exemple quelle est la densité de particules qui se trouve à cet endroit et qui va dans cette direction, ce qui fait 6 dimensions), on peut s"intéresser en plus à la dépendance par rapport au temps (une

dimension supplémentaire). La quantité étudiée peut dépendre de la position deNobjets,

auquel cas on doit travailler avec3Ndimensions. Bref, les exemples ne manquent pas... Notre exemple favori dans ce cours sera celui d"une altitude dépendant de deux para- mètres (latitude et longitude ou, de façon plus abstraite,xety). Il s"agit donc d"une fonction sur un domaine deR2et à valeurs dansR. L"intérêt est que le graphe de cette fonction correspond exactement à la montagne que l"on est en train d"escalader. Mathématiquement, on devra donc étudier des fonctions qui ne sont plus définies sur un intervalle (ou une partie quelconque) deR, mais sur un domaine deRnpour un certain n2N. L"espace d"arrivée pourra êtreRou bienRppour un certainp2N, si la quantité qui nous intéresse est elle-même multi-dimensionnelle. On verra que le fait d"avoir plusieurs

dimensions à l"arrivée n"est pas très génant, alors que le fait d"avoir plusieurs dimensions au

départ va poser un certain nombre de difficultés par rapport à ce que vous connaissez.

Les principales propriétés des fonctions de plusieurs variables auxquelles on va s"intéresser

sont les questions de régularité (continuité, dérivabilité, ...) et leurs conséquences (compor-

tement local d"une fonction, étude des extrema, ...), d"intégration, et enfin le lien entre les

deux.

1.1 Fonctions de plusieurs variables

On considère une partieDdeRn, ainsi qu"une fonctionfdeDdansRp. A tout point x= (x1;:::;xn)2 D 1 Fonctions de plusieurs variables. Limites dansRn.-20 -20 -20 -20 -15 -15 -15 -15 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -10 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 0 0 00 0 0 000 0 00 0 0 00 5 555
5 5 5 5 10 10 10 10 15 15 20 20 -5-4-3-2-1012345 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Figure1.2 - Lignes de niveau pour l"application(x;y)7!x2cos(y)et carte IGN avec lignes de niveau pour l"altitude.

1.2 Normes

Notre objectif est maintenant d"étudier la régularité des fonctions de plusieurs variables.

La notion de limite, sur laquelle reposent en particulier les notions de continuité et de dériva-

bilité, s"appuie elle-même sur la notion de proximité entre deux points. Pour une fonctionf deRdansR, on dit quef(x)tend versl2Rquandxtend versa2Rsif(x)est " proche » deldès lors quexest " assez proche » dea. Intuitivement, deux réelsxetysont proches si la valeur absolue (quantité positive)jxyjest petite, en un sens à préciser. Avant de parler de limite pour des fonctions définies surRn, il faut donc donner un sens précis à l"assertion "xest proche dey» lorsquexetysont des points deRn. En fait, on sait déjà mesurer la distance entre deux points deRn. Par exemple pour deux pointsx= (x1;x2)ety= (y1;y2)dansR2, la longueur du segment[x;y]est donnée par d(x;y) =p(x1y1)2+ (x2y2)2: Cette quantité sera appelée distance euclidienne entrexety. Mais ce n"est pas toujours la bonne façon de mesurer la distance entre deux points, comme le montrent les exemples suivants. Considérons un piéton dans une ville organisée par blocs (voir figure 1.3 ), chaque

bloc faisant 500m de côté. Il devra parcourirm pour aller du pointAau pointBetm pour aller du pointAau pointC, alors que les distances euclidiennes (à vol d"oi-

seau) entreAetBet entreAetCsont respectivement dem etm. Marseille Figure1.3 - Les villes américaines et les déplacements en normel1.

est plus proche de Paris que de Toulouse si on regarde le temps de parcours par le train,Année 2013-2014 3

L2 Parcours Spécial -Calcul différentiel et intégralalors que c"est quasiment deux fois plus loin en termes de kilomètres par la route. Ainsi il y

a différentes façons de mesurer la distance entre deux points, et il n"y en a pas de bonnes ou de mauvaises : chacune est plus ou moins bien adaptée à chaque contexte. Définition 1.3.SoitEunR-espace vectoriel. On appelle norme surEune application N:E!R+qui vérifie les propriétés suivantes : (i)8x2E; N(x) = 0()x= 0(séparation), (ii)8x2E;82R; N(x) =jjN(x)(homogénéité), (iii)8(x;y)2E2; N(x+y)6N(x) +N(y)(inégalité triangulaire). Étant donnée une normeNsurE, on appelle distance associée àNl"application d

N:E2!R+

(x;y)7!N(xy) On note que toutes les distances ne sont pas obtenues de cettes façons, mais on ne s"attardera pas sur ces questions dans ce cours (voir tout de même les exercices 14 et 15 , plus de détails seront donnés dans le cours d"approfondissements mathématiques). Exercice1.Montrer que la valeur absolue est une norme surR.

Proposition 1.4.Pourx= (x1;:::;xn)2Rnon note

kxk2=v uutn X j=1jxjj2:

Alors l"applicationx7! kxk2est une norme surRn.

Démonstration.Les propriétés de séparation et d"homogénéité sont faciles et laissées en exer-

cice. Pour montrer l"inégalité triangulaire, on considère deux pointsx= (x1;:::;xn)et y= (y1;:::;yn)deRn. Six+y= 0alors le résultat est clair. Sinon on a d"après l"inégalité de Cauchy-Schwarz kx+yk2 2=nX j=1(xj+yj)2=nX j=1x j(xj+yj) +nX j=1y j(xj+yj) 6 v uutn X j=1x 2jv uutn X j=1(xj+yj)2+v uutn X j=1y 2jv uutn X j=1(xj+yj)2

6(kxk2+kyk2)kx+yk2:

On obtient l"inégalité triangulaire en divisant parkx+yk26= 0.Exercice2.Pourx= (x1;:::;xn)2Rnon note

kxk1=nX j=1jxjjetkxk1= max16j6njxjj: Montrer que les applicationsx7! kxk1etx7! kxk1sont des normes surRn.

1.3 Limites

Maintenant qu"on a introduit les normes, qui jouent dansRnle rôle que joue la valeur absolue dansR, on peut définir la convergence d"une suite exactement de la même façon dans R

nque dansR, en remplaçant simplement la valeur absolue par une norme.4 J. Royer - Université Toulouse 3

Fonctions de plusieurs variables. Limites dansRn.Définition 1.5.SoientEunR-espace vectoriel muni d"une normekk. Soient(xm)m2Nune

suite d"éléments deEetl2E. On dit que la suite(xm)m2Ntend verslet on note x m!m!+1l si

8" >0;9N2N;8m>N;kxmlk6":

Autrement ditxmtend verslsi la quantité réellekxmlktend vers 0 au sens usuel. Sans surprise, on retrouve les même propriétés de base que pour la limite d"une suite réelle : Proposition 1.6.SoientEunR-espace vectoriel muni d"une normekk. (i)Unicité de la limite.Soient(xm)m2N2EN,l12Eetl22E. Sixm!l1etxm!l2 quandmtend vers+1, alorsl1=l2. (ii)Linéarité de la limite.Soient(xm)m2Net(ym)m2Ndeux suites d"éléments deE. Soient l

1;l22E,;2R. Si

x m!m!1l1etym!m!1l2; alors x m+ym!m!1l1+l2: Exercice3.Démontrer la proposition1.6 (la démonstration est la même que p ourles limites dansR). Définition 1.7.SoitEunR-espace vectoriel. SoientN1,N2deux normes surE. On dit que N

1etN2sont équivalentes s"il existe une constanteC>0telle que pour toutx2Eon a

N

1(x)6CN2(x)etN2(x)6CN1(x):

L"intérêt de cette nouvelle définition est illustré par l"exercice 4 . La difficulté avec la définition 1.5 est qu"elle dép enda priori de la norme don tl"espace Eest muni. Ainsi, une suite peut converger vers une certaine limite pour une norme, ne pas être convergente pour une autre norme, ou encore converger vers une limite différente pour une troisième norme.

Ce n"est pas très agréable.

Lorsque deux normes sont équivalentes, il est facile de voir qu"une suite converge vers une certaine limite pour l"une des deux normes si et seulement c"est aussi le cas pour l"autre.

C"est bien mieux.

Exercice4.1.Montrer que les trois normesx7! kxk1,x7! kxk2etx7! kxk1surRnsont deux à deux équivalentes.

2.Soit(xm)m2Nune suite de points deRnetl2Rn. Montrer que

kxmlk1!m!10() kxmlk2!m!10() kxmlk1!m!10: La vraie bonne nouvelle est qu"en dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Comme on travaillera en dimension finie dans tout ce cours, cela signifie qu"on pourra parler de limite sans préciser la norme avec laquelle on travaille. Dans la suite, lorsqu"on parlera d"une norme surRn, on ne précisera donc la norme utilisée que quand ce sera nécessaire. Sinon cela signifiera que le résultat énoncé ne dépend pas du choix de la norme.

Attention tout de même à bien garder en tête cette subtilité, car tous les espaces ne sont

pas de dimension finie, loin de là... Proposition 1.8.SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie. Alors toutes les normes surEsont équivalentes.Année 2013-2014 5

L2 Parcours Spécial -Calcul différentiel et intégralDémonstration.La démonstration de ce résultat sera admise pour ce cours. Elle sera donnée

dans le cours d"approfondissements mathématiques.On munit maintenantRnd"une norme quelconque, notéekk.

Définition 1.9.On dit que la suite(xm)m2Nd"éléments deRnest de Cauchy si

8" >0;9N2N;8j;k>N;kxjxkk6":

Proposition 1.10.Rnest complet. Cela signifie que toute suite de Cauchy dansRnest convergente. Démonstration.Voir le cours d"approfondissements mathématiques.1.4 Ouverts et fermés.

SoientEunR-espace vectoriel etkkune norme surE.

Définition 1.11.Pourx2Eetr >0on note

B(x;r) =fy2Ej kxyk< rg

la boule ouverte de centrexet de rayonr,B(x;r) =fy2Ej kxyk6rg la boule fermée de centrexet de rayonr, et enfin

S(x;r) =fy2Ej kxyk=rg

la sphère de centrexet de rayonr.

Définition 1.12.Soit

une partie deE. On dit que est ouvert si pour toutx2 il exister >0tel queB(x;r) . On dit que est fermé si son complémentaireEn est ouvert.

Exemple1.13.DansE=R, muni de la valeur absolue :

Un intervalle de la forme]a;b[aveca < best ouvert, un intervalle de la forme[a;b]aveca6best fermé, un intervalle de la forme[a;b[ou]a;b]aveca < bn"est ni ouvert ni fermé, Ret l"ensemble vide;sont à la fois ouverts et fermés. Exemple1.14.Une boule ouverte est un ensemble ouvert deE, une boule fermée ou une sphère sont des ensembles fermés deE. Démonstration.On montre la première assertion de l"exemple1.14 .Soit x2Eetr >0. On considèrey2B(x;r)et on note=r kyxk>0. Alors on aB(y;)B(x;r). En effet pour toutz2B(y;)on a par l"inégalité triangulaire kzxk6k(zy) + (yx)k6kzyk+kyxk< + (r) =r:

Cela prouve queB(x;r)est une partie ouverte deE.Exercice5.Démontrer les autres assertions des exemples1.13 et 1.14 .

Définition 1.15.Soienta2RnetVune partie deRn. On dit queVest un voisinage dea s"il exister >0tel queB(a;r) V. Remarque1.16.Tout ouvert deRncontenantaest un voisinage dea, mais tous les voisinages deane sont pas des ouverts deRn. Par la suite on dira qu"une propriété est vraie au voisinage deas"il existe une voisinage deasur lequel elle est vraie. Par exemple l"assertion "f>0au voisinage dea» signifie qu"il exister >0tel que pour toutx2B(a;r)on af(x)>0.6 J. Royer - Université Toulouse 3 Fonctions de plusieurs variables. Limites dansRn.1.5 Exercices Exercice6.Déterminer et représenter le domaine de définition maximal des fonctions de deux variables suivantes : f

1: (x;y)7!py+x2py

;f2: (x;y)7!ln(x+y) ;f3: (x;y)7!ln(y)pxy: Exercice7.Déterminer et représenter les lignes de niveau des fonctions de deux variables suivantes : f

1: (x;y)7!x;f2: (x;y)7!y;f3: (x;y)7!1

f

4: (x;y)7!x+y+ 1 ;f5: (x;y)7!eyx2;f6: (x;y)7!ycos(x):

Exercice8.Pour(x;y)2R2on note

f

1(x;y) = sin(x)sin(y); f2(x;y) = sin(xy); f3(x;y) =

1x29 1y29 f

4(x;y) =xy1 +x2+y2; f5(x;y) = cos(x)ey5

; f6(x;y) = sin(xy): Associer à chacune des fonctionsf1,f2,f3,f4,f5etf6son graphe (voir Figure1.4 ) et ses lignes de niveau (voir Figure 1.5 Figure1.4 - Graphes pour l"exercice8 .Année 2013-2014 7

Fonctions de plusieurs variables. Limites dansRn.Exercice13.On appelle distance sur leR-espace vectorielEune applicationd:EE!R+

telle que pour tousx;y;z2Eon a d(x;y) = 0()x=y, d(x;y) =d(y;x), d(x;z)6d(x;y) +d(y;z). Montrer que sikkest une norme surEalors l"applicationd: (x;y)7! kxykest une distance surE.

Exercice14.Pourx;y2Rnon note

d(x;y) =(

1six6=y;

0six=y:

1.Montrer queddéfinit une distance surRn.

2.Existe-t-il une normekksurRntelle qued(x;y) =kxykpour tousx;y2R2.

Exercice15.On notekk2la norme euclidienne usuelle surR2. On noteO= (0;0)l"origine deR2. Pourx;y2R2on note d(x;y) =( kxyk2si les pointsx,yetOsont alignés; kxk2+kyk2sinon:

1.Montrer queddéfinit une distance surR2.

2.Dessiner la boule fermée de centrex0= (0;2)et de rayon 3, c"est-à-dire l"ensemble des

pointsx2R2tels qued(x;x0)63.

3.On considère la suitexm=1;1m+1de points deR2. Montrer que la suite(xm)m2Nconverge versx= (1;0)pour la normekk2, mais qued(xm;x)ne tend pas vers 0 quandm

tend vers+1.

4.Existe-t-il une normekksurR2telle qued(x;y) =kxykpour tousx;y2R2.

Exercice16.On a déjà défini les normeskk1,kk2etkk1surRn. Plus généralement pour p2[1;+1[etx= (x1;:::;xn)2Rnon pose kxkp=0 nX j=1jxjjp1 A1p

1.Montrer quekkpdéfinit une norme surRn(L"inégalité triangulaire pour cette norme est

2.Montrer que pour toutx2Rnon a

kxkp!p!1kxk1:Année 2013-2014 9 L2 Parcours Spécial -Calcul différentiel et intégral10 J. Royer - Université Toulouse 3

Chapitre 2

Continuité d"une fonction de

plusieurs variables Maintenant qu"on a défini la notion de limite pour des suites dansRn, la notion de

continuité s"étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables. En outre, bon nombre

des propriétés des fonctions continues connues pour les fonctions d"une variable seront encore valables ici.

2.1 Fonctions continues

SoitDune partie deRnetfune fonction deDdansRp.

Définition 2.1.Soita2 Detl2Rp. On dit queftend verslenaet on note f(x)!x!al si

8" >0;9 >0;8x2 D;kxak6=) kf(x)lk6":

Remarque2.2.De même que pour la limite d"une suite, la limite d"une fonction en un point ne dépend pas du choix des normes surRnet surRp, qui sont des espaces de dimensions finies.

Les définitions suivantes sont sans surprise :

Définition 2.3.Soita2 D.

(i) On dit q uefest continue enasif(x)tend versf(a)quandxtend versa. (ii) On dit que fest continue surDsi elle est continue en tout point deD. Exercice1.1.Montrer qu"une fonction constante est continue.

2.Montrer que l"application(x1;x2)7!x1est continue surR2.

3.Montrer que toute norme surRndéfinit une fonction continue deRndansR.

Proposition 2.4.Soient;2Retf;gdeux fonctions continues deD RndansRp. Soit hune fonction continue deD0RpdansRm. La fonctionf+gest continue surD(l"ensemble des fonctions continues deDdansRp est unR-espace vectoriel). SiRp=R, alorsfgest continue surD. Si de plusgne s"annule pas surD, alorsf=gest continue. SiD0contient l"image deg, alors la fonctionhgest continue deDdansRm.

Exercice2.Montrer la proposition2.4 .

11

L2 Parcours Spécial -Calcul différentiel et intégralOn appelle fonction polynômiale surRnune application qui s"écrit comme une somme

de termes qui sont eux-mêmes des produits de fonctions coordonnées. En langage mathéma- tiques, c"est une fonction de la forme f: (x1;:::;xn)7!X j1j++jnj6Nc

1;:::;nx11:::xnn

avecN2N. Par exemples les fonctions suivantes sont polynômiales :(x;y)7!xy4+x3y2, (x;y;z)7!x+xyz+y2z2. Une fraction rationnelle est une fonction qui s"écrit comme le quotient de deux fonctions polynômiales. Corollaire 2.5.Toute fonction polynômiale surRnest continue. Plus généralement toute fraction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas sur un domaineD Rnest bien définie et continue sur ce domaine. On énonce maintenant le critère séquentiel pour la continuité en un point : Proposition 2.6.Soitfune fonction deDdeRndansRp. Soita2 D. Alorsfest continue enasi et seulement si pour toute suite(xm)m2N2 DNqui tend versala suite(f(xm))m2N tend versf(a). Comme pour une fonction d"une variable réelle, cette propriété sert souvent à montrer qu"une fonction n"est pas continue. Exemple2.7.On considère surR2l"applicationfdéfinie par f(x;y) =( xyx

2+y2si(x;y)6= (0;0)

0si(x;y) = (0;0)

(voir figure 2.1 ). La fonctionfest continue surR2nf(0;0)gcomme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas. D"autre part on a f(x;0) = 0!x!00 =f(0;0)etf(0;y) = 0!y!00 =f(0;0); et pourtantfn"est pas continue en (0,0). En effet si on noteun=1n ;1n pour toutn2N, alorsuntend vers(0;0)maisf(un)ne tend pas versf(0;0)quandntend vers+1. Plutôt que d"utiliser des suites et la proposition 2 .6 , on peut préférer utiliser la composition de fonctions continues pour aboutir à la même conclusion : l"application':t2R7!(t;t)2 R

2est continue en 0, donc sifest continue en(0;0) ='(0)l"applicationf'est continue en

0. Orf('(0)) = 0etf('(t)) =12

pour toutt6= 0, ce qui donne une contradiction et prouve par l"absurde quefn"est pas continue en (0,0).

BC"est une erreur trop fréquente que de se contenter de vérifier la continuité des fonctions

x7!f(x;y)ety7!f(x;y)pour prouver la continuité def. On voit bien sur cet exemple que ce n"est malheureusement pas suffisant... La proposition qui suit permet elle de montrer efficacement la continuité d"une fonction en un point deR2: Proposition 2.8.Soitfune fonction deD R2dansR. Soita= (a1;a2)2 D. Alorsf est continue enasi et seulement si il existe une fonction":R+!R+qui tend vers 0 en 0 et telle que pour tousr>0et2Ron a jf(a1+rcos();a2+rsin)f(a1;a2)j6"(r): Démonstration.On munitR2de la norme euclidiennekk2. Pourr>0et2Ron a k(a1+rcos();a2+rsin)(a1;a2)k2=r:12 J. Royer - Université Toulouse 3 Continuité d"une fonction de plusieurs variables -1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1Figure2.1 - Graphe et lignes de niveau pour le contre-exemple2.7 : autour de (0,0) on

trouve toutes les valeurs entre12 et12 ; en particulierfn"est pas continue.

On suppose quefest continue ena. Pourr>0on note

"(r) = sup

2Rjf(a1+rcos();a2+rsin)f(a1;a2)j>0

Soit"0>0. Il existe >0tel quejf(x)f(a)j6"sikxak26, donc"(r)6"0si r6. Cela prouve que"(r)!0quandr!0. Inversement, supposons qu"une telle fonction "existe. Soit"0>0. Il existe >0tel que"(r)6"0sir6. Soit alorsx2R2tel que kxak26. Alors il exister2[0;]et2Rtels quex= (a1+rcos();a2+rsin()). On a alors jf(a1+rcos();a2+rsin)f(a1;a2)j6"(r)6"0: Cela prouve quefest continue ena.Exemple2.9.On considère surR2l"applicationfdéfinie par f(x;y) =( x2y2x

2+y2si(x;y)6= (0;0);

0si(x;y) = (0;0):

La fonctionfest continue surR2nf(0;0)gcomme fraction rationnelle dont le dénominateur ne s"annule pas. On étudie maintenant la continuité en (0,0). Pourr >0et2Ron a jf(rcos();rsin())j=r4cos()2sin()2r

26r2!r!00:

Cela prouve quefest continue en (0,0).

2.2 Encore un peu de topologie

Définition 2.10.On dit d"une partie deRnqu"elle est compacte si elle est fermée et bornée. Attention, cette définition est propre à la dimension finie. Il y a d"autres définitions équivalentes de la compacité qui elles sont encore valables en dimension infinie. Mais on ne

s"attardera pas sur la notion de compacité dans ce cours (là encore, ce sera fait dans le cours

d"approfondissements mathématiques). La proposition suivante généralise le théorème qui dit qu"une fonction continue sur un segment est continue et atteint ses bornes : Proposition 2.11.L"image d"un compact par une fonction continue est compacte. Corollaire 2.12.SoitKun compact deRnetfune fonction continue deKdansR. Alors fest bornée et atteint ses bornes.Année 2013-2014 13

L2 Parcours Spécial -Calcul différentiel et intégral2.3 Fonctions contractantes - théorème du point fixe

Soitfune fonction d"un domaineDdeRnà valeurs dansRp. Définition 2.13.SoitK>0. On dit quefestK-lipschitzienne si

8x;y2 D;kf(x)f(y)k6Kkxyk:

On dit quefest lipschitzienne si elle estK-lipschitzienne pour un certainK>0. Remarque2.14.Attention, la constante de LipschitzKdépend du choix des normes surRn etRp. Par contre, par équivalence des normes, le fait qu"une fonction soit lipschitzienne ou non ne dépend pas des normes choisies. Proposition 2.15.Une fonction lipschitzienne est continue.

Exercice3.Démontrer la proposition2.15 .

Définition 2.16.On dit quefest contractante si elle estK-lipschitzienne pour un certain

K2[0;1[.

On montre maintenant un résultat qui nous sera utile au chapitre 6 p ourmon trerle s

théorèmes de l"inversion locale et des fonctions implicites. C"est un théorème qui est également

très utile par ailleurs. Par exemple, c"est aussi sur le théorème du point fixe que repose le

théorème de Cauchy-Lipschitz, point de départ de la théorie des équations différentielles.

Théorème 2.17(Théorème du point fixe).Soit une partie fermée deRnetfune fonction contractante de dans . Alorsfadmet un unique point fixea(solution de l"équationf(a) = a) dansquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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