Exo7 - Exercices de mathématiques
1. Démontrer que A?B = (AB)?(BA). 2. Démontrer que pour toutes les parties A B
Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1
Exercice 3 – On consid`ere les matrices `a coefficients réels : AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est inversible et préciser ...
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Supposons qu'il existe une fonction ? telle que limh?0 ?(h) = 0 satisfaisant f(x0 + h) = f(x0) + hl + h?(h) pour un certain réel l. On peut écrire :.
Polynômes
Soit n ? N. Montrer qu'il existe un unique P ? C[X] tel que. ?z ? C?. P. ( z+. 1 z. ) = zn +. 1 zn. Montrer alors que toutes les racines de P sont
Corrigé du TD no 11
En particulier il existe un unique réel c ?]0
VECTEURS ET DROITES
Définition : Deux vecteurs non nuls u ! et v ! sont colinéaires signifie qu'ils ont même direction c'est-à-dire qu'il existe un nombre réel k tel que u.
Inégalités
Exercice 7 Montrer que si ab + bc + ca = 1 pour des réels positifs a b
Calcul vectoriel – Produit scalaire
On appelle A? B?
ficall.pdf
1. Démontrer que A?B = (AB)?(BA). 2. Démontrer que pour toutes les parties A B
langages.pdf
L'analyse syntaxique permet de reconnaître que cette combinaison de lexèmes forme une ins- truction C syntaxiquement correcte et qu'il s'agit d'une affectation
Inégalités
Théo Lenoir
1Un carré est positif
On commence par une remarque assez anodine : un carré est toujours positif.Proposition 1.
Soitx2R. On ax2>0, avec égalité si et seulement six=0.On peut en déduire une première inégalité, en développant(a-b)2qui, d"après la proposition1, est positif.
Proposition 2.
Soita,b2R. Alorsa2+b2>2ab, avec égalité si et seulement sia=b. Démonstration.On utilise le fait que(a-b)2=a2-2ab+b2>0. On en déduit quea2+b2>2abavec égalité si et seulement si(a-b)2=0, c"est-à-dire sia=b. On peut noter que l"inégalité est équivalente àab6a2+b22 . Elle permet donc de majorer (c"est-à-diretrouver une quantité plus grande) un produit par une somme de carrés avec un certain coefficient.
En prenantb=1, on peut déduire le résultat suivant :Corollaire 3.
Soita2R. Alorsa2+1>2a, avec égalité si et seulement sia=1.On a également l"inégalité suivante :
Proposition 4.
Soitc,ddes réels positifs. Alorsc+d>2pcd,avec égalité si et seulement sic=d. En particulier pourd=1,
on a1+c>2pc, avec égalité si et seulement sic=1. Démonstration.Posonsa=pc,b=pdet appliquons la proposition2 : on obtient a2+b2=c+d>2ab=2pcd. On a égalité si et seulement sia=b, c"est à dire si et seulement sia2=c=d=b2, par positivité dea
etb.Exercice
1 Soitx >0. Montrer quex+1x
>2. Trouver les cas d"égalité.Exercice
2 Soitx,ydes réels strictement positifs. Montrer quex+y2x
>2yet trouver les cas d"égalité.Exercice
3 Montrer que5x2+y2+1>4xy+2x. Trouver les cas d"égalité.
Exercice
4 Soita,b,cdes nombres réels. Montrer que2a2+20b2+5c2+8ab-4bc-4ac>0et trouver les
cas d"égalité.Exercice
5 Lemme du tourniquet : Montrer quea2+b2+c2>ab+bc+ca. Trouver les cas d"égalité.
Exercice
6 Montrer quex2+y4+z6>xy2+y2z3+xz3, et trouver les cas d"égalité.
Exercice
7 Montrer que siab+bc+ca=1pour des réels positifsa,b,c, alorsa+b+c>p3. Trouver les cas
d"égalité. 2Inégalité arithmético-géométrique
L"inégalité suivante est une généralisation très utile de la proposition 4 Théorème 5(Inégalité arithmético-géométrique).Soitnun entier strictement positif etx1,...,xndes réels positifs. On a l"inégalité suivante :x1++xnn
npx1 xn. Il y a égalité si et seulement si tous lesxisont égaux.
1Remarque 6.
L"inégalité est appelée inégalité arithmético-géométrique car elle compare la moyenne arithmétique
x1++xnn et la moyenne géométrique npx1 xndesxi.
Ici, six>0, alorsnpxest l"unique réely>0tel queyn=x, oùynest le produit denréels valant tousy.
L"inégalité arithmético-géométrique est un outil indispensable reliant le produit de termes à leur somme :
ainsi quand on sait minorer (c"est-à-dire trouver une quantité plus petite) le produit de termes, on sait égale-
ment minorer la somme. De même, quand on sait majorer une somme de termes, on peut majorer leur produit.
Passons à la preuve de l"inégalité arithmético-géométrique.géométrique. Pas de panique si elle semble trop dure à lire dans un premier temps, ne pas hésiter à la relire
avec un peu plus d"expérience.On procède par récurrence surn. Pourn=1,x11
=1px1. On a donc bien l"égalité et l"inégalité.
Supposons l"inégalité et le cas d"égalité prouvé au rangn. Soitx1,...,xn+1des réels positifs. NotonsS=
x1++xn+1n+1. CommeSest compris entre le minimum desxiet le maximum desxi, quitte à renuméroter lesxi,
onpeutsupposerx1étantleminimumdesxi,x2lemaximum.Posonsy1=S,y2=x2-(S-x1) =x2-S+x1>0, etyi=xipour36i6n+1, lesyisont bien tous positifs. On ay2++yn+1=x1++xn+1-S= (n+1)S-S=nS, ce qui signifie quey2++yn+1n =S. D"après l"inégalité arithmético-géométrique, on a y2 yn+16y2++yn+1n
n=Sn. En particuliery1y2 yn+16Sn+1. Ory1y2-x1x2=S(x1+x2-S)-x1x2=Sx1+Sx2-S2-x1x2= (S-x1)(x2-S)>0doncx1x26y1y2. En particulierx1 xn+16y1 yn+1=Sn+1, doncn+1px1 xn+16S=x1++xn+1n+1: l"inégalité
est prouvée.Pour le cas d"égalité, supposons qu"on a égalité. Notons d"abord que si un desxiest nul, on a égalité si et
seulement si x1++xn+1n+1=0. Comme lesxisont positifs, pour avoir égalité il faut que tous lesxisoient nuls, doncx1==xn+1. Si lesxisont tous non nuls, en particulierSest non nul car supérieur au minimum des xi, et lesyisont non nuls (c"est évident pouri>3, pouri=1ça vient du fait queS >0, ety2=x2-S+x1>
x1>0). En particulier, si on a égalité, on a égalité dans les deux inégalités précédentes : c"est à dire dans
y2++yn+16y2++yn+1n
nety1y2-x1x2=S(x1+x2-S)-x1x2=Sx1+Sx2-S2-x1x2= (S-x1)(x2-S)>0. Par hypothèse de récurrence, cela donne quey2=y3==yn+1etx1=Soux2=S. En particulier x3==xn+1. Six1=S, alorsy2=x2=x3==xn+1, ainsiS=S+x2++xn+1n+1=S+nx2n+1. On obtient
que(n+1)S=S+nx2, doncnx2=nSdoncx2=S. En particulierS=x1=x2==xn+1. On obtient le même résultat six2=S. Réciproquement six1==xn+1,x1++xn+1n+1=x1=n+1px1 xn+1, on a bien
égalité.
On peut écrire cette inégalité de diverses façons.Corollaire 7.
Soitnun entier strictement positif,y1,...,yndes réels positifs. On a les inégalités suivantes :yn1++ynnn
y1 ynety1++ynn
n>y1 ynavec égalité si et seulement si tous lesyisont égauxDémonstration.La deuxième inégalité est immédiate en prenant la puissancen-ième de l"inéga-
lité arithmético-géométrique appliquée auxyi. La première inégalité est une conséquence de l"inégalité
arithmético-géométrique appliquée auxyniqui sont égaux si et seulement si lesyile sont par positivité.
Voici quelques exercices pour mettre en pratique les inégalités précédentes. Les solutions sont présentées à
la partie6.Exercice
8 Soitx>0un réel. Montrer que1+x2+x6+x8>4x4. Trouver les cas d"égalité
Exercice
Trouver les cas d"égalité.
Exercice
10 Soita,b,cdes réels positifs tels que(a+1)(b+1)(c+1) =8. Montrer quea+b+c>3. Trouver
les cas d"égalité.Exercice
11 Soita1,...,andes réels positifs de produit1. Montrer que(1+a1)(1+an)>2n. Trouver
les cas d"égalité.Exercice
12 Soita1,...,andes réels positifs de sommen. Montrer que(1+1a
1)(1+1a
n)>2n. Trouver les cas d"égalité. 2Exercice13 Soita,b,c,ddes réels positifs de somme1. Montrer quebcd(1-a)2+acd(1-b)2+abd(1-c)2+abc(1-d)2619
Trouver les cas d"égalité.
Exercice
14 Soita,b,cdes réels positifs de produit18
. Montrer quea2+b2+c2+a2b2+a2c2+c2b2>1516Trouver les cas d"égalité.
3Cauchy-Schwarz et mauvais élèves
L"inégalité de Cauchy-Schwarz est une inégalité très importante : en effet, elle permet de relier la somme
des carrés, avec le carré de sommes. Théorème 8(Inégalité de Cauchy-Schwarz). Soitn2N,a1,...anetb1,...bndes réels. On a l"inégalité suivante : (a21++a2n)(b21++b2n)>(a1b1++anbn)2On a égalité si et seulement si tous lesbisont nuls ou il existeréel tels queai=bipour tout entieri
entre1etn.Démonstration.Soitietjdes entiers entre1etn. On sait quea2ib2j+a2jb2i>2aibiajbjpar la proposition2 .
Fixonsjet sommons les inégalités pour toutes les valeurs deipossibles : on obtient que(a21++a2n)b2j+
a2j(b21++b2n)>2ajbj(a1b1++anbn). Sommons ensuite sur toutes les valeurs dejentre1etn: on
obtient que(a21++a2n)(b1++b2n)+(a21++a2n)(b21++b2n)>2(a1b1++anbn)(a1b1++anbn).En particulier, en simplifiant par2,
(a21++a2n)(b21++b2n)>(a1b1++anbn)2.Intéressons nous au cas d"égalité : supposons qu"on a égalité. Dans ce cas, on a égalité dans l"inégalité
arithmético-géométrique utilisée c"est-à-dire dansa2ib2j+a2jb2i>2aibiajbj. Ainsi on a nécessairementaibj=
a jbipour tout(i,j)entiers entre1etn. Supposons qu"il existeitel quebisoit non nul. Dans ce cas, pour toutjentre1etn,aj=aib ibj. En particulier pour=aib ion a bienaj=bjpour tout entierjentre1etn. Réciproquement,soit touslesbisontnuls, etdanscecas(a21++a2n)(b21++b2n) =0= (a1b1++anbn)2, soit il existeréel tel queaj=bjpour tout entierjentre1etn, et dans ce cas(a21++a2n)(b21++b2n) =2(b21++b2n)2= (a1b1++anbn)2.
Notons qu"on a plusieurs conséquences de cette inégalité :Corollaire 9.
Soitn2N,c1,...cnetd1,...dndes réels positifs. On a l"inégalité suivante : (c1++cn)(d1++dn)>pc1d1++pc
ndn 2Il y a égalité si et seulement si lesdisont tous nuls ou s"il existeréel positif tel queci=dipour touti
entre1etn. Démonstration.On applique l"inégalité de Cauchy-Schwarz pourai=pc ietbi=pd i.On a un corollaire très utile de cette inégalité, appeléinégalité des mauvais élèves: on additionne les numéra-
teurs de fractions et on échange une somme avec un carré, et alors on obtient un résultat plus petit.
Théorème 10(Inégalité des mauvais élèves).Soitnun entier strictement positif,e1,...,endes réels, etf1,...,fndes réels strictement positifs. On a l"inéga-
lité suivante :e21f1++e2nf
n>(e1++en)2f1++fn.
Il y a égalité si et seulement s"il existe un réeltel queeif i=pour toutientre1etn. 3 Démonstration.On applique le corollaire9avecci=e2 if ietdi=fi. On en déduit que e21f1++e2nf
n (f1++fn)> Êe 21f1f1++Êe
2nf nfn! 2 = (je1j++jenj)2.Ici, sixest réel,jxjest la valeur absolue dex: elle vautxsixest positif,-xsinon. Comme(je1j++jenj)>
e1++en>-(je1j++jenj), on sait que(e1++en)26(je1j++jenj)2, et donc que
1++e2nf
n (f21++f2n)>(je1j++jenj)2>(e1++en)2.On en déduit que
e21f1++e2nf
n>(e1++en)2f1++fn.
Intéressons nous au cas d"égalité : si on a égalité, alors comme lesfisont non nuls, il existe un réelttel que,
pour touti,e2 if i=tfi, c"est-à-direeif i=pt. Pour avoir égalité dans(e1++en)26(je1j++jenj)2, et comme(je1j++jenj)>e1++en>-(je1j++jenj), il faut avoir soit(je1j++jenj) =e1++en c"est-à-dire tous leseipositifs, (et, en particulier,eif i=ptpour touti), soite1++en= -(je1j++jenj), c"est à dire tous leseinégatifs (et, en particulier,eif i= -ptpour touti). Réciproquement, s"il existeréel tel que pour toutieif i=, on obtient bien l"égalité : e 21f1++e2nf
n=2(f1++fn) =(e1++en)2f1++fn.
Exercice
15 Soita1,...,andes réels strictement positifs. Montrer que1a
1++1a n>n2a1++an. Trouver les
cas d"égalité.Exercice
16 Soita1,...,andes réels. Montrer quea21++a2n>(a1++an)2n
Exercice
17 Montrer que sia,b,csont des réels positifs tels quea2+b2+c2=3,11+ab+11+bc+11+ac>32
Trouver les cas d"égalité.
Exercice
18 Soitnun entier strictement positif,a1,...,annnombres réels strictement positifs,b1,...,bnn
nombres réels strictement positifs. On supposes quea1++an=b1++bnet on noteS=a1++an.Montr erque
nP i=1a 2 ib i+ai=nP i=1b 2 ib i+aiMontr erque
nP i=1a 2 ib i+ai>S2Remarque 11.En utilisant l"exercice16 pour la pr emièreinégalité et l"inégalité arithmé tico-géométriqueap-
pliquée aux 1xipour la dernière inégalité, on obtient les inégalités suivantes : pour toutnstrictement positif et
x1,...,xndes réels strictement positifs :
Êx21++x2nn
>x1++xnn >npx1 xn>n1
x 1++1x nL"égalité de chaque inégalité est lorsque tous lesxisont égaux. Le terme le plus à gauche est la moyenne
quadratique, le second terme la moyenne arithmétique, le troisième la moyenne géométrique, le dernier est la
moyenne harmonique. 4Inégalité du réordonnement
Si les mathématiques sont coefficient4, et la technologie coefficient1, vaut-il mieux avoir10en mathé-
matiques et20en technologie ou l"inverse? Evidemment il vaut mieux avoir20en mathématiques et10en technologie pour avoir une meilleur moyenne. L"inégalité du réordonnement traduit cela. Tout d"abord définissons ce qu"est une permutation.Définition 12.
Soitn>1un entierx1,...,xnety1,...,yndes réels. On dit que les(yi)sont une permutation des(xi)si ce
sont les mêmes nombres mais placés dans un ordre différent. 4 Par exemple pourn=3, si on posex1=0,x2=0etx3=1, la suitey1=0,y2=1ety3=0est une permutation des(xi)car(x1,x2,x3) = (y1,y3,y2). Par contre la suitez1=1,z2=1etz3=0n"est pas unepermutation des(xi). En effet, elle contient deux fois le chiffre1, alors que la suite des(xi)ne le contient qu"une
fois. en première lecture. Théorème 13(Inégalité du réordonnement). Soitn>1un entier eta1>a2>>anetb1>b2>>bndes réels, etc1,c2,...,cnune permutation des(bi). On a l"inégalité suivante : a1b1++anbn>a1c1++ancn.
Démonstration.Montrons le résultat par récurrence surn. Pourn=1, l"inégalité est évidente. Supposons
maintenant l"inégalité vraie pour un certainn>1, et donnons nous des réelsa1>a2>...an+1etb1>
b2>>bn+1, ainsi qu"une permutationc1,c2,...,cn+1des nombres(bi). Sib1=c1, par hypothèse de
récurrence, on ab2a2++bn+1an+1>a2c2++an+1cn+1, doncb1a1+b2a2++bn+1an+1> a1c1+a2c2++an+1cn+1.
Sic16=b1, soititel quec1=bietjtel quecj=b1. Dans ce cas,a1b1+biaj-(a1c1+ajbi) = (a1-aj)(b1- b i)>0. En particuliera1c1+a2c2++an+1cn+16a1b1+a2c2++aic1+...an+1cn+1. Comme lafamillec1,...,ci-1,ci+1...cn+1est une permutation deb2...bn+1, on en déduit par hypothèse de récurrence
quea1c1+a2c2++an+1cn+16a1b1+a2c2++aic1+...an+1cn+16a1b1++an+1bn+1ce qui conclut.Remarque 14.
Le cas d"égalité de l"inégalité du réordonnement n"est pas présenté. En effet il est assez pénible à décrire et
souvent peu utile. Une autre version utile de cette inégalité est le cas où les deux suites sont croissantes :Corollaire 15.
Soitn>1un entier eta16a266anetb16b266bndes réels, etc1,c2,...,cnune permutation des(bi). On a l"inégalité suivante : a1b1++anbn>a1c1++ancn.
Démonstration.Comme les suites(-bi)16i6net(-ai)16i6nsont décroissantes, par l"inégalité du réordon-
nement :, a1b1++anbn= (-a1)(-b1) ++ (-an)(-bn)>(-a1)(-c1) ++ (-an)(-cn) =a1c1++ancn.
Une autre version utile de l"inégalité du réordonnement est le cas où une suite est croissante et l"autre est
décroissante :Corollaire 16.
Soitn>1un entier eta1>a2>>anetb16b266bndes réels, etc1,c2,...,cnune permutation des(bi). On a l"inégalité suivante : a1b1++anbn6a1c1++ancn.
Le résultat est toujours valable si la suite(bi)16i6nest décroissante(ai)16i6nest croissante.Démonstration.Comme les suites(bi)16i6net(-ai)16i6nsont croissantes, par l"inégalité du réordonne-
ment : a1b1++anbn= -[(-a1)(b1) ++ (-an)(bn)]6-[(-a1)(c1) ++ (-an)(cn)] =a1c1++ancn.
car les deux suites(bi)16i6net(-ai)16i6nsont décroissantes 5Remarque 17.
A priori, lorsqu"on doit résoudre une inégalité, il est rarement précisé que les variables sont ordonnées de
façon croissante. Mais si l"inégalité est symétrique (c"est-à-dire si en échangeant deux variables on ne change
pas l"inégalité), on peut ordonner les variables de façon croissante.Exercice
19 Soita,b,cdes réels. Montrer à l"aide de l"inégalité du réordonnement quea2+b2+c2>ab+
bc+ca.Exercice
20 Inégalité de Tchebychev. Montrer que sia1>>anetb1>>bn, alorsa1b1++anbn>
(a1++an)n (b1++bn).Remarque 18.
L"inégalité de Tchebychev est très utile, elle est vraiment importante à connaître.Exercice
21 Montrer que si(ak)est une suite d"entiers strictement positifs deux à deux distincts, alors
a 1+a22 ++ann >nExercice
22 Inégalité de Nesbitt. Montrer que sia,b,csont des réels strictement positifs,ab+c+ba+c+ca+b>32
5 Résoudre et rédiger un problème d"inégalité Tout d"abord, quelques conseils pour la résolution : 1.Il est souvent utile de cher cherdès le début les cas d"égalité. En ef fet,si on tr ouvele cas d"égalité, on
sait quelles inégalités on peut utiliser ou non pour conserver l"égalité. Imaginons, par exemple, que l"on
souhaite lontrer que, siabc=1etb>1, alorsa+2b+c>4. On peut voir quea=b=c=1est un casd"égalité. Si on décide de faire une inégalité arithmético-géométrique avec pour termesa,2b,ccomme
dans le casa=b=c=1,a=1et2b=2, on ne va pas avoir égalité dans l"inégalité. Or, on sait que pour
a=b=c=1on a égalité : il est donc vain de poursuivre dans cette direction. De plus, signaler les cas
d"égalités rapporte toujours des points. 2.Souvent, les cas d"égali tésont quand toutes les variables sont égales, et on peut tr ouverleur valeur via
la contrainte donnée dans l"énoncé (ceci est souvent vrai, mais pas toujours, donc à prendre avec des
pincettes). 3.Attention aux nombr esnégatifs et signe moins, qui sont régulièr ementembêtants pour pr ouverdes in-
égalités. Il est souvent plus facile de montrer qu"un terme positif est plus grand qu"un autre terme positif.
4.Parfois, il n"est pas évident de savoir comment utiliser la contrainte, et partir de l acontrainte peut êtr e
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