[PDF] THEOREMES DANALYSE 12 avr. 2005 Montrer que

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THEOREMES D"ANALYSE

P. Pansu

12 avril 2005

1 Valeurs interm´ediaires

1.1 Le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Th´eor`eme 1Soit[a,b]un intervalle ferm´e born´e. Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. On

suppose quef(a)<0etf(b)>0. Alors il existe au moins unc?]a,b[tel quef(c) = 0. une borne sup´erieurec. Montrons quec < b. Posons?=f(b). Par continu¨ıt´e `a gauche enb, il existeα >0 tel Montrons quef(c)≥0. Par d´efinition deA, pour toutx?]c,b],f(x)>0. En passant `a la limite, on trouve quef(c)≥0. Cela prouve en particulier quec > a.

On conclut quef(c) = 0.

Remarque 1Sifprend, au sens large, des signes oppos´es aux extr´emit´es,fs"annule quelque part dans[a,b].

En effet, sifs"annule `a l"une des extr´emit´es, il n"y a rien `a prouver.Sinon,fou-fsatisfait les

hypoth`eses du th´eor`eme. Exercice 2Soit[a,b] = [0,3]. On d´efinit une fonctionfsur[a,b]comme suit. ?f(x) =xpourx?[0,1], f(x) = 1 pourx?[1,2], f(x) =x-1 pourx?[2,3].

V´erifier quefest continue. Laquelle, parmi les solutions de l"´equationf(x) = 0, la preuve ci-dessus

produit-elle? Dans la preuve, rempla¸consAparB={x?[a,b]|f(x)<0}. Que faut-il changer d"autre dans la preuve? Laquelle, parmi les solutions de l"´equationf(x) = 0, la nouvelle preuve produit-elle?

Solution de l"exercice 2.Plusieurs racines.

fest continue sur chacun des intervalles [0,1], [1,2], [2,3], et les valeurs en 1 et 2 sont compa- tibles, doncfest continue sur [0,3]. Pour ce choix def,A= [0,2] etB= [0,1], donc la preuve du th´eor`eme donnec= 2. La preuve n"a pas besoin d"autre modification que le changement de d´efinitionA→B. Elle donnec= 1. 1

1.2 Interpr´etation g´eom´etrique

Voici une formulation ´equivalente du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. On rappelle que si

Eest un ensemble etf:E→Rune application, son imagef(E) ={f(t)|t?E}est l"ensemble des valeurs prises parf(t) lorsquetd´ecritE. Th´eor`eme 2SoitIun intervalle non vide,f:I→Rune fonction continue. Alorsf(I)est un intervalle. Preuve.Du th´eor`eme 1, il r´esulte que sic < dappartiennent `af(I), alors [c,d]?f(I). Autrement dit,f(I) est convexe. C"est donc un intervalle. Exercice 3Soitf:]a,b[→Rune fonction continue. On suppose quelimt→a+f(t) =-∞et lim t→b-f(t) = +∞. Montrer quefest surjective. Solution de l"exercice 3.Fonctions d´efinies sur un intervalle ouvert.

Par d´efinition de la limite,f(I) n"est ni major´e ni minor´e. Le seul intervalle qui ait cette

propri´et´e, c"estRentier. Par cons´equent,f(I) =R, doncfest surjective.

Fin du cours n02

Exercice 4Construire une fonction non continuef: [0,1]→Rtelle que, pour tout intervalle

I?[0,1],f(I)est un intervalle.

Solution de l"exercice 4.R´eciproque du th´eor`eme des valeurs interm´ediaires. La fonction d´efinie sur ]0,1] parf(x) = cos(1/x), etf(0) = 0 n"est pas continue en 0. En effet, il existe deux suitesxn=1

2nπ,yn=1(2n+1)πtendant vers 0 et telles que les suitesf(xn) = 1 et

f(yn) =-1 poss`edent des limites distinctes. Pourtant, comme elle est continue sur ]0,1], pour tout intervalleI?]0,1],f(I) est un intervalle. SiI?[0,1] est un intervalle contenant 0, et non r´eduit `a{0}, alorsf(I) = [-1,1]. En effet,I contientxnetynpournassez grand, doncf(I) contientf([yn,xn]) = [-1,1].

2 Bornes atteintes

2.1 Suites extraites

D´efinition 5Soit(un)n≥0une suite de nombres r´eels. Une suite de la forme(uφ(n))n≥0, o`u

φ:N→Nest une fonction strictement croissante, s"appellesous-suiteousuite extraitede(un). Remarque 6N´ecessairement,φ(n)≥n, donclimn→∞φ(n) = +∞. Exemple 7Les suitesu2n,u2n+1,un2sont extraites de(un). Proposition 8Si la suite(un)a une limite finie?(resp.+∞), alors toute sous-suite poss`ede la mˆeme limite. Preuve.Soit? >0. Par d´efinition, il existeNtel que n≥N? |un-?|< ?.

Sin≥N,φ(n)≥n≥N, donc

n≥N? |uφ(n)-?|< ?.

Autrement dit, lim

n→∞uφ(n)=?. C"est pareil pour la limite infinie. Remarque 9En revanche, il y a des cas o`u(uφ(n))converge mais(un)ne converge pas.

Prendreun= (-1)netφ(n) = 2n.

2

2.2 Valeurs d"adh´erenceD´efinition 10Soit(un)une suite de nombres r´eels. On dit qu"un r´eelyest unevaleur d"adh´erence

de(un)si pour tout? >0et tout entierN, il existen≥Ntel que|un-y|< ?.

Exemple 11Si une suite(un)est convergente, alors elle poss`ede une et une seule valeurd"adh´erence,

sa limite.

Si?= limn→∞un, alors pour tout? >0, l"in´egalit´e|un-y|< ?est satisfaite pour toutnassez

grand. En particulier, si on se donne un entierN, elle est vraie pour au moins unn > N. Donc la

limite est une valeur d"adh´erence. Montrons qu"il n"y en a pas d"autres. En effet, siy?=?, posons

?=|y-?|/2. SoitNun entier tel que n≥N? |un-?|< ?.

Pour toutn≥N,

|un-y| ≥ |?-y| - |un-?|>2?-?=?, ceci montre queyn"est pas valeur d"adh´erence.

Exemple 12La suiteun= (-1)n+1

nposs`ede deux valeurs d"adh´erence,1et-1.

En effet, ´etant donn´e? >0, l"intervalle ]1-?,1 +?[ contient tous les termes d"indice pair et>1

donc des termes de la suite d"indices arbitrairement grands. De mˆeme, ]-1-?,-1 +?[ contient tous les termes d"indice impair>1 ?. Donc 1 et-1 sont des valeurs d"adh´erence. Inversement, si y?= 1 et-1, il n"y a aucun terme de la suite au voisinage dey`a partir d"un certain temps.

Exemple 13La suite z´ero-virgule. On d´efinit une suite(un)comme suit. On ´ecritnen base 10,

on ´ecrit devant0,. Autrement dit, pourn= 1,...,9, on poseun=n/10. Pourn= 10,...,99, on poseun=n/100. Et ainsi de suite : sinest compris entre10k-1et10k-1, on poseun=n.10-k. Alors l"ensemble des valeurs d"adh´erence de la suite(un)est l"intervalle[1/10,1]. Exercice 14Montrer qu"une suite qui tend vers+∞ne poss`ede aucune valeur d"adh´erence. Solution de l"exercice 14.Suites sans valeurs d"adh´erence. Soity?R. Posons?=|y|. Par d´efinition de la limite, il existeNtel que n≥N?un>2?.

Sin≥N,

|un-y| ≥ |un| - |y|>2?-?=?, doncyn"est pas valeur d"adh´erence de la suite.

Exercice 15Soit(un)une suite et(uφ(n))une suite extraite. Montrer que toute valeur d"adh´erence

de(uφ(n))est aussi valeur d"adh´erence de(un). Solution de l"exercice 15.Valeurs d"adh´erence et sous-suites. Soityune valeur d"adh´erence de (uφ(n)). Par d´efinition, pour tout? >0 et pour tout entier N, il existem≥Ntel que|uφ(m)-y|< ?. Posantn=φ(m), on constate quen≥Net que |un-y|< ?. Par cons´equent,yest valeur d"adh´erence de (un). Exercice 16Soit(un)une suite de r´eels. Soit??R. Interpr´eter les ´enonc´es suivants.

1.?? >0,?Ntel que?n≥N,|un-?|< ?.

2.?? >0,?N,?n≥Ntel que|un-?|< ?.

3

3.?? >0,?N,?n≥N,|un-?|< ?.

4.?? >0,?N,?n≥Ntels que|un-?|< ?.

5.?? >0tel que?N,?n≥Ntel que|un-?| ≥?.

6.?? >0tel que?N,?n≥N,|un-?| ≥?.

7.?? >0tel que?N,?n≥Ntels que|un-?| ≥?.

8.?? >0,?Ntel que?n≥N,|un-?| ≥?.

Solution de l"exercice 16.Jongler avec les quantificateurs.

1. signifie que lim

n→∞un=?.

2. signifie que?est une valeur d"adh´erence de la suiteun.

3. signifie queun=?pour toutn.

4. signifie que?est ou bien ´egale `a l"un desun, ou bien une valeur d"adh´erence de la suiteun.

5. signifie que?n"est pas valeur d"adh´erence de la suiteun.

6. signifie qu"il existe un voisinage de?qui ne contient aucun point de la suiteun.

7. signifie que la suiteunn"est pas constante ´egale `a?.

8. signifie que?n"est pas valeur d"adh´erence de la suiteun.

Proposition 17Soit(un)une suite de nombres r´eels. Un r´eelyest valeur d"adh´erence de(un) si et seulement si il existe une sous-suite qui converge versy. Preuve.D"apr`es les exercices 11 et 15, les limites de sous-suites sont des valeurs d"adh´erence. R´eciproquement, soityune valeur d"adh´erence de (un). Posons?n=1 n. On construit par r´ecurrence une fonctionφstrictement croissante et telle que pour toutn, |uφ(n)-y|< ?n. Par hypoth`ese, il existem1tel que|um1-y|< ?1. On poseφ(1) =m1. Supposantφ(2),...,φ(n-1) d´efinis, on poseN=φ(n-1)+1. Par hypoth`ese, il existemn≥Ntel que|umn-y|< ?n. On pose

φ(n) =mn. La fonction obtenue est strictement croissante. L"in´egalit´e|uφ(n)-y|< ?nmontre que

lim n→∞uφ(n)=y. Exemple 18Toute suite convergente extraite de la suiteun= (-1)neststationnaire, i.e. est constante au bout d"un certain temps.

Fin du cours n03

2.3 Suites born´ees

Exercice 20Soit(un)une suite non born´ee de r´eels. Alors on peut extraire de la suite des valeurs

absolues(|un|)une sous-suite qui tend vers+∞.

Solution de l"exercice 20.Suites non born´ees.

Par hypoth`ese, pour toutM, il existentel que|un| ≥M. Montrons par l"absurde que pour toutMet tout entierN, il existen≥Ntel que|un| ≥M. Sinon, il existeMetNtels que pour 4 donc la suite (un) est born´ee, contradiction. On construit par r´ecurrence surnune fonction strictement croissanteφ:N→Ntelle que

|uφ(n)| ≥n. Par hypoth`ese, il existem=φ(1) tel que|uφ(1)| ≥1. Supposantφ(n-1) construit,

on applique la remarque pr´ec´edente `aM=netN=φ(n-1) + 1 : il existe unm≥φ(n-1) + 1

tel que|um| ≥n. On pose doncφ(n) =m. Ceci fournit la suite extraite telle que|uφ(n)|tend vers

Th´eor`eme 3(Bolzano-Weierstrass). Une suite born´ee de r´eels poss`ede au moins une valeur d"adh´erence.

Autrement dit, elle poss`ede au moins une sous-suite convergente. par une infinit´e de termes de la suite, i.e. x?A? ?N?N,?n≥Ntel queun≥x. L"ensembleAcontient-M, il est non vide. Il est major´e parM. Montrons quey= supAest une valeur d"adh´erence de la suite. Fixons? >0 etNentier. Commey+? /?A, il existe unN?tel que n≥N??un< y+?. On peut supposer queN?≥N. En revanche, il existe un ´el´ementxdeAtel quex > y-?. Par |un-y|< ?. Ceci montre queyest valeur d"adh´erence. Corollaire 21Soit(un)une suite born´ee de r´eels qui ne poss`ede qu"une valeur d"adh´erence ?(autrement dit, pour toute suite convergente(uφ(n))extraite de(un), la limite est?). Alors lim n→∞un=?. Preuve.Par l"absurde. Supposons que (un) ne converge pas vers?. Il existe? >0 tel que, pour tout entierN, il existem≥Ntel que|um-y| ≥?.

En appliquant de fa¸con r´ep´et´ee cette propri´et´e, on vaconstruire par r´ecurrence une fonction

strictement croissanteφ:N→Ntelle que pour toutn,|uφ(n)-y| ≥?. On pose d"abordN= 1, ce qui donne un entierm1et on poseφ(1) =m1. Supposantφ(2),...,φ(n-1) d´efinis, on pose N=φ(n-1)+1. Par hypoth`ese, il existemn≥Ntel que|umn-y| ≥?. On pose alorsφ(n) =mn.

Comme (uφ(n)) est born´ee, elle admet au moins une valeur d"adh´erence (th´eor`eme 3), qui

est aussi une valeur d"adh´erence de (un) (exercice 15), donc c"est?, par hypoth`ese. Mais c"est impossible, caruφ(n)ne s"approche jamais de?. Contradiction.

On conclut que lim

n→∞un=?. Exercice 22On consid`ere la suite de fonctionsfn(x) =x-e-nxcos(nx). Montrer que pour tout n≥1, il existeun?]0,1[tel quefn(un) = 0. Montrer queuφ(n)une sous-suite convergente. Montrer quelimn→∞uφ(n)= 0. En d´eduire quelimn→∞un= 0. Solution de l"exercice 22.Convergence des racines.

Commefnest continue,fn(0) =-1

n<0,fn(1)≥1-e-1>0, l"´equationfn(x) = 0 poss`ede au moins une solutionun?]0,1[. Comme (un) est born´ee, le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass garantit que (un) poss`ede des sous-suites convergentes. Soituφ(n)une sous-suite convergeant vers?. Montrons par l"absurde que?= 0. On ´ecrit f φ(n)(uφ(n)) =uφ(n)-vno`uvn=e-φ(n)uφ(n)cos(φ(n)uφ(n)).

Si? >0,φ(n)uφ(n)tend vers +∞, donce-φ(n)uφ(n)tend vers 0, et il en est de mˆeme devn. Par

suite, 0 =fφ(n)(uφ(n)) converge vers?, donc?= 0, contradiction. On a donc prouv´e que?= 0.

On a montr´e que la seule valeur d"adh´erence de la suite (un) est 0. D"apr`es la proposition 21,

lim n→∞un= 0. 5

2.4 Th´eor`eme de la borne atteinteD´efinition 23SoitEun ensemble etf:E→Rune fonction major´ee. On notesupEf=

supf(E) = sup{f(x)|x?E}. Th´eor`eme 4SoitI= [a,b]un intervalle ferm´e et born´e deR. Soitf:I→Rune fonction continue. Alors -fatteint ses bornes : il existec1,c2?Itel quef(c1) = min{f(x)|x?I},f(c2) = max{f(x)|x?I}. Preuve.Par l"absurde. Supposons quefn"est pas major´ee. Alors pour tout entiern, il existe x

n?Itel quef(xn)≥n. En particulier limn→∞f(xφ(n)) = +∞. CommeIest born´e, on peut

extraire une sous-suitexφ(n)qui converge vers?. CommeIest ferm´e,??I. Par continu¨ıt´e,

lim

n→∞f(xφ(n)) =f(?), contradiction. On conclut quefest major´ee. Pour la mˆeme raison,fest

minor´ee, donc born´ee. SoitA={f(x)|x?I}etM= supA. On sait qu"il existe une suite (´eventuellement sta- tionnaire)yn?Aqui converge versM. Par construction, il existexn?Itel quef(xn) =yn. De nouveau, on extrait une sous-suitexφ(n)qui converge vers??I. Par continu¨ıt´e,f(?) = lim n→∞f(xn) =M. Pour la mˆeme raison, la borne inf´erieure est atteinte. Corollaire 24SoitI= [a,b]un intervalle ferm´e et born´e deR. Soitf:I→Rune fonction continue. Alorsf(I)est un intervalle ferm´e born´e.

Preuve.D"apr`es le th´eor`eme 2,f(I) est un intervalle. On sait d´esormais que cet intervalle est

born´e et contient ses bornes, il est de la forme [m,M] o`um= minIf,M= maxIf. Exercice 25SoientIetJdes intervalles non vides deR. Dans quels cas existe-t"il une fonction continue surIdont l"image estJ? En donner un exemple, dans chaque cas.

Solution de l"exercice 25.Images d"intervalles.

On remarque que tout intervalle ouvert deR(resp. semi-ouvert ou ferm´e semi-born´e, resp.

ferm´e born´e et non r´eduit `a un point, resp. r´eduit `a un point) est l"image deR(resp. deR+, resp.

de [0,1], resp. de{0,0}) par une bijectionhcontinue dont la r´eciproque est continue. En effet, - siI=]a,b[, poserh(x) =a+bex 1+ex, - siI=]- ∞,b[, poserh(x) =b-ex, - siI=]a,+∞[, poserh(x) =a+ex, - siI= [a,b[, poserh(x) =a+bx 1+x, - siI=]a,b], poserh(x) =b+ax 1+x, - siI=]- ∞,b], poserh(x) =b-x, - siI= [a,+∞[, poserh(x) =a+x, - siI= [a,b], poserh(x) =a(1-x) +bx. Cela permet de limiter le tableau `a double entr´ee (I,J) `a 4 intervalles.

I\JRR+[0,1]{0}

Rxx2sin2x0

R+xsinxxsin2x0

[0,1]x0 {0}x Les cases vides du tableau correpondent aux couples (I,J) pour lesquels il n"existe pas de fonction continue surId"imageJ. Corollaire 26SoitI= [a,b]un intervalle ferm´e et born´e deR. Soitf:I→Rune fonction continue, `a valeurs strictement positives. Alors il existem >0tel quef≥m. 6 Preuve.Posonsm= infIf, de sorte que pour toutx?I,f(x)≥m. D"apr`es le th´eor`eme 4, il existec?Itel quem=f(c). Par cons´equent,m >0.

Exercice 27Soitfune fonction continue surR, `a valeurs strictement positives, telle quelimx→-∞f(x) =

lim x→+∞f(x) = +∞. Montrer qu"il existem >0telle quef≥m.

Fin du cours n04

Solution de l"exercice 27.Fonction tendant vers l"infini aux bornes. Par d´efinition des limites en-∞et en +∞, il existeS < Ttel que x < S?f(x)>1, x > T?f(x)>1. D"apr`es le corollaire 26, il existem0>0 tel que pour toutx?[S,T],f(x)≥m0. Posonsm= min{1,m0}. Alors pour toutx?R,f(x)≥m. Exercice 28Soitfune fonction continue surR, qui tend vers 0 en-∞et en+∞. Montrer que fest born´ee surR. Montrer quefatteint l"une de ses bornes. Solution de l"exercice 28.Fonction tendant vers 0 `a l"infini.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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