[PDF] Exercice 1. On définit la suite (u n) par u0 = 2 et un+1 = u2 n + 2. 1

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Exercice 1.On denit la suite (un) paru0= 2 etun+1=u2n+ 2.

1. Montrer que cette suite est bien denie et strictement croissante.

2.

Etudier sa convergence.Solution:

1. (un) est bien denie sans probleme et est reelle. On a pour toutn2N,un+1un=u2nun+ 2. Si on

considere le polyn^omeX2X+ 2, son discriminant vaut = 18 =7<0, il ne s'annule donc pas sur des valeurs reelles. Et commeu20u0+ 2>0, alors8n2N;un+1un>0. Donc (un) est bien strictement croissante.

2. Si (un) convergeait vers un reel`, alors il verirait`=`2+ 2, equation polyn^omiale en`qui n'admet

pas de solution reelle. Donc (un) diverge, et comme elle est strictement croissante, elle diverge vers +1.Exercice 2.Soita2R. On denit la suite (un) paru0=aetun+1=pu

n+ 1.

1. Pour quels reelsacette suite est bien denie?

2. Si (un) converge, quelles sont les limites possibles?

3. Etudier la convergence en fonction du parametrea.Solution:

1. (un) est bien denie si8n;un+10, c'est a dire siun 1. Pour tout choix deu02[1;+1[, on aura

alors8n1;un0 (recurrence immediate), et donc la suite sera bien denie. On peut donc choisir les reelsa 1. (Remarque : si on choisit de ne pas prolonger la fonctionpen 0, alors ca sera lesa >1.)

2. Si (un) convergeait vers un reel`, alors il verirait`=p`+ 1 c'est a dire`2`1 = 0, soit`=1p5

2 Mais a partir du rang 1,un0 quelque soita, donc la seule limite possible est`=1 +p5 2

3.un+1un=unun1p1 +un+p1 +un1doncun+1unest du signe deunun1.

| Sia=`, alors suite constante. | Sia < `, alorsu1u00, donc (un) est croissante et majoree par`donc converge vers`.

| Sia > `, alorsu1u00, donc (un) est decroissante et minoree par`donc converge vers`.Exercice 3.On considere la fonctionfdenie surRn f1gparf(x) =21 +x. On considere la suite denie

paru0= 2,un+1=f(un).

1. Montrer que l'intervalle12

;2 est stable parf.

2. En deduire que la suite (un) est bien denie et determiner les limites potentielles.

3. Que dire des sens de variations des sous-suitesu2netu2n+1?

4. Montrer que pour tout entier natureln, on ajun+11j 23

jun1j.

5. La suite (un) converge-t-elle?Solution:

1.fest continue et derivable sur12

;2 etf0(x) =2(1 +x)20 doncfest decroissante sur cet intervalle et f(12 ) =43

2 etf(2) =23

12 donc l'intervalle12 ;2 est stable parf. 1

2.u0212

;2 donc (un) est bien denie, et si elle convergeait vers une limite`, on auraitf(`) =`=21 +` soit`=132 . La seule limite possible est celle dans l'intervalle12 ;2 , donc la seul limite possible est `= 1.

3. On posevn=u2netwn=u2n+1, et on noteg=ff.

Alorsvn+1=u2n+2=g(u2n). Commeflaisse stable12

;2 ,gaussi, et commefest decroissante, alors gest croissante sur cet intervalle.

On av1v0=u2u0=65

20 donc (vn) est decroissante. Et commewn=f(vn), alors (wn) est

croissante.

4. On ajun+11j=j21unjj+ 1 +unj=jun1jjun+ 1j. Comme8n;un12

, alorsjun+1j 32 d'ou l'inegalite desiree. Remarque : on peut aussi utiliser l'inegalite des accroissements nis et le max dejf0jsur12 ;2 pour obtenir l'inegalitejun+11j 89 jun1j.

5. Commejun+11j 23

n

ju01jqui tend vers 0, alors (un) converge bien vers 1.Exercice 4.Etudier la suite (un)n2N, telle queu02Cet pour toutn2N,

u n+1=15 (3un2u n)Solution: La suite (un)n2Nest une suite a valeurs complexes. Pour toutn2Nposonsun=xn+iyn, ouxn=<(un) et y n==(un).

La relation de recurrence implique que

x n+1=3xn2xn5 =xn5 etyn+1=3yn+ 2yn5 =yn On en deduit que la suite (xn)n2Nconverge vers 0 et que la suite (yn)n2Nest constante egale ay0.

Par suite, la suite (un)n2Nconverge versiy0=i=(u0).Exercice 5.Soienta;b2Raveca6= 1 et (un)n2Nla suite denie par la relation de recurrenceun+1=aun+b.

1. Quelle est la seule limite possiblelde la suite (un)n2N?

2. Soitvn=unl. Montrer que la suite (vn)n2Nest une suite geometrique, et en deduire la nature de la

suite (un)n2Nselon les valeurs dea.

3. Application : on considere un carre de c^ote 1. On le partage en 9 carres egaux, et on colorie le carre

central. Puis, pour chaque carre non-colorie, on reitere le procede. On noteunl'aire coloriee apres l'etape

n. Quelle est la limite de la suite (un)n2N?Solution:

1. Si la suite (un)n2Nadmet une limitel, celle-ci doit verierl=al+b, soit encore

l=b1a 2

2. On ecrit la relation de recurrence veriee parvn=unl:

v n+1=un+1l=aun+bl=a(vn+l) +bl=avn+l(a1) +b=avn La suite (vn)n2Nest une suite geometrique de raisona.

Sijaj>1, on a 2 cas :

- siv0= 0, la suite (vn)n2Nest constante egale a 0 et alors la suite (un)n2Nest constante egale al - sinon, la suite (jvnj)n2Ntend vers +1et la suite (junj)n2Ntend aussi vers +1donc la suite (un)n2N est divergente. Sijaj<1, la suite (vn)n2Nconverge vers 0 et donc la suite (un)n2Nconverge versl. Sia=1, la suite (vn)n2Noscille entre deux valeurs suivant quenest pair ou impair et la suite (un)n2N aussi.

3. On noteunla surface coloriee a l'etapen.

La partie coloriee a la (n+ 1)-ieme etape correspond a la partie coloriee a lan-ieme etape plus19 -ieme de la partie non coloriee a lan-ieme etape. Autrement dit : u n+1=un+(1un)9 =8un9 +19 En appliquant le resultat de la question 2), la suite (un)n2Nconverge vers la valeur1=918=9= 1.

L'aire de la surface coloriee converge vers l'aire du carre initial.Exercice 6.SoitN2 un entier. On cherche une approximation depN.

1. Appliquer la methode de Newton a la fonctionf(x) =x2N. Comment est denie la suite recurrente

obtenue?

2. Quels sont les points de depart pour lesquels la methode de Newton donne une suite qui converge

eectivement verspN.

3. Soit (un) une telle suite. On suppose quepN < u

0

0< un+1pN(unpN)2. On dit que la convergence est quadratique.

4. Et pour approximerN1k

, aveckun entier?Solution:

1. On cherche a approximer un zero def. On notegla fonction denie parx7!xf(x)f

0(x), soitg(x) =x2+N2x

denie surR. La suite recurrente denie paru02Ret pour toutn,un+1=g(un) =un2 +N2unne pourra converger que verspN, les points xes deg.

2. On regarde les points ougest contractante. Pour toutx2R,gest derivable etg0(x) =12

N2x2, donc

1< g0(x)<1 ssijxj>jrN

3 j. Doncgest contractante surI=# rN 3 ;+1" (comme pour toutn,un est du signe deu0, on ne s'interesse qu'auxu0>0). EtIest stable parg. Donc pour toutu02I, la suite (un) converge.

Or siu02#

0;rN 3 alors on aurau12I, avec le m^eme raisonnement a partir du rang 1, on a bien que pour toutu02]0;+1[, la suite (un) converge. 3

3.un+1pN=u2n+N2unpN=

u npN 22un.

Comme pour toutn,un2I, alorsun>12

, donc on a bien l'inegalite demandee.

4. On cherche les zeros def(x) =xkN, c'est a dire les points xes deg(x) =(k1)xk+Nkx

k1.Exercice 7(Pour aller plus loin : Suites recurrentes lineaires d'ordre 2).Pour chacune des recurrences ci-

dessous, trouver une base de l'ensemble des solutions et donner l'expression du terme general de la suite qui

verie cette recurrence etu0= 1,u1= 0. On pourra s'aider des methodes exposees dans le devoir.

1: un+23un+1+ 2un= 0:2: un+22un+1+un= 0:3: un+24un+1+ 8un= 0:Solution:

1. Le polyn^ome caracteristiqueX23X+ 2 a pour discriminant = 98 = 1, donc ses racines sont312

= 2 ou 1. Une base des solutions seraf(1)n;(2n)ng. Une solution particuliere sera de la forme u n=2n+avec;2R. Si elle verieu0= 1 =+etu1= 0 = 2+, alors on aura =1;et= 2, soitun=2n+ 2.

2. Le polyn^ome caracteristiqueX22X+ 1 a pour discriminant = 44 = 0 et une seule racine double

1. Une base des solutions seraf(1n)n;(n1n)ng, donc les solution seront de la formeun=+navec

;2R. Avec les egalites sur les premiers termes, on obtient= 1 =, soit pout toutn,un= 1n.

3. Le polyn^ome caracteristiqueX24X+ 8 a pour discriminant = 1632 =16 et a pour racines

complexes 22i=rei, avec r=p2

2+ 22= 2p2 et= arccos2r

= arccos p2 2 4

Une base de solutions reelles sera

n 2p2 ncos n4 2p2 nsin n4 o , soit les solutions seront de la formeun= 2p2 ncos n4 2p2 nsin n4 avec;2R. Avec les egalites sur les premiers termes, on obtient= 1 =.4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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