[PDF] SU : Suites et récurrence remarque : pour montrer qu'une

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SU : Suites et récurrenceTSSuites numériques :Une suite(un)peut-être définie :

2par une formule explicite:unest donné directement en fonction den

2par une relation de récurrence:par exempleun+1est donné en fonction deunet on donneu0

-à partir d"une suite auxilliaire : par exemple on donneunen fonction devn

-comme somme partielle des termes d"une autre suite : par exempleun=w0+w1+...+wnque l"on écritun=n?

k=0wk

Suite arithmétique :La suite(un)est arithmétique si il existe un réelrtel que, pour toutnde?,un+1=un+r

remarque : pour montrer qu"une suite n"est pas arithmétique, il suffit de prouver une inégalité du genreu2-u1,u1-u0.

formule explicite: Une suite arithmétique(un)de raisonrvérifieun=u0+n×r et plus généralementun=up+(n-p)×r somme des termes: Pour une suite arithmétique(un)de premier termeu0 la sommen? k=0u kest égale àu0+u1+...+un= (n+1)×u0+un2 " Nombre de termes »×" Moyenne du premier et dernier terme »

Suite géométrique :

La suite(vn)est géométrique si il existe un réelqtel que, pour toutnde?,vn+1=vn×q

remarque : pour montrer qu"une suite n"est pas géométrique, il suffit de prouver une inégalité du genre

v2v 1,v1v 0. formule explicite: Une suite géométrique(vn)de raisonqvérifievn=v0×qn et plus généralementvn=vp×qn-p somme des termes: Pour une suite géométrique(vn)de premier termev0et de raisonq siq,1, la sommen? k=0v kest égale àv0+v1+...+vn=v0×1-qn+11-q" Premier terme »×1-qnb de termes1-q

Principe de récurrence :

Le raisonnement par récurrence est un principe de raisonnement qui sert à établir une propriété valable pour une infinité d"entiers naturels. -Ce raisonnement comporte trois étapes :L"initialisation,l"héréditéetla conclusion. On veut prouver qu"une propriétéP(n)qui dépend de l"entiernest vraie pour toutn≥a

2Initialisation.On vérifie queP(a)est vraie .

2Hérédité.On suppose que pour un certainn??,P(n)est vraie et on montre qu"alorsP(n+1)est aussi vraie.

2Conclusion.Alors par récurrence, la propriétéP(n)est vraie pour toutn>a.

Toutes les phases du raisonnement sont nécessaires, mais l"essentiel de la difficulté provient en général dans la phase de l"hérédité, il

faut trouver un lien entreP(n)etP(n+1).

Limite infinie d"une suite :

On dit que la suite(un)tend vers+∞si, pour tout nombreA, l"intervalle]A; +∞[

contient tous les termes de la suite à partir d"un certain rang. On dit que la suitedivergevers+∞.

On écrit :limn→+∞un= +∞oulimnun= +∞xy OA Nu n> Apourn>Nlim n→+∞un= +∞signifie : pour tout réelA, il existe un entierNde?tel quen>N?un> A lim n→+∞un=-∞signifie : pour tout réelB,

il existe un entierNde?tel quen>N?un< Bne pas confondre suite non majorée et suite tendant vers+∞:

une suite n"estpas majoréessi pour tout réelAil existe un réelntel queun>A http://lycee.lagrave.free.fr1/3

SU : Suites et récurrenceTSLimite par comparaison :Soient deux suitesuetvet un entier naturelNtels que pour tout entiern>?,

u n6vn

2Théorème de minoration :Silimn→+∞un= +∞, alorslimn→+∞vn= +∞

2Théorème de majoration :Silimn→+∞vn=-∞, alorslimn→+∞un=-∞

Limite deqnavecq >1:Siq >1, alorslimn→+∞qn= +∞

Limite finie d"une suite :La suite(un)convergesi, il existe un réel?tel que tout intervalle ouvert de centre?

contient tous les termes de(un)à partir d"un certain rang.

On écrit :limn→+∞un=?oulimnun=?

-Une suite estdivergentesi elle ne converge pas (limite infinie ou pas de limites)

2Théorème d"encadrement, dit " des gendarmes » :

(admis) Soit(un),(vn)et(wn)trois suites vérifiant, à partir d"un certain rang ,un6vn6wnSi(un)et(wn)sont deux suites convergentes de même limite?, alors la suite(vn)est convergente etlimn→+∞vn=?. Limite deqnavec-1< q <1:Si-1< q <1, alorslimn→+∞qn= 0 Limite deqnavecq6-1:Siq6-1, alors la suite(qn)diverge et n"admet pas de limite.

Théorèmes :

2Toute suite convergente est bornée

2Toute suite croissante et majorée convergeSi(un)croissante et non majorée :limn→+∞un= +∞

2Toute suite décroissante et minorée converge

Les démonstrations

DémonstrationMontrons que " Silimn→+∞un= +∞, alorslimn→+∞vn= +∞»

On suppose quelimn→+∞un= +∞,il s"agit de démontrer que tout intervalle de la forme]A; +∞[contient toutes

les valeursvnà partir d"un certain rang.

SoitAun réel, commelimn→+∞un= +∞, l"intervalle]A; +∞[contient tous lesunà partir d"un rangp:

pour toutn>p,un> A Alors pour tout entiern>max(p;N), on a :vn>un> Ac"est-à-direlimn→+∞vn= +∞. DémonstrationMontrons que " Siq >1, alorslimn→+∞qn= +∞»

Siq >1on pose alorsq= 1+aaveca >0.

Par récurrence on a montré (ex 3F) pour toutn??,(1+a)n>1+na

Orlimn→+∞(1+na) = +∞cara >0

D"après le théorème de minoration :limn→+∞qn= +∞ DémonstrationMontrons que " Si-1< q <1, alorslimn→+∞qn= 0»

Siq= 0on alimn→+∞qn= 0

Si0< q <1on a1q

>1donclimn→+∞? 1q n= +∞, c"est-à-direlimn→+∞1q n= +∞. Par passage à l"inverse limn→+∞qn= 0

Si-1< q <0, on a-|q|n< qn<|q|naveclimn→+∞|q|n= 0on conclut d"après le théorème des gendarmes.

Démonstration

Siq6-1, les valeursqnappartiennent alternativement à]-∞;-1]et[1 ; +∞[selon la parité den. La suite(qn)diverge. http://lycee.lagrave.free.fr2/3 SU : Suites et récurrenceTSLimites des suites usuelles :

•limn→+∞n= +∞•limn→+∞n2= +∞•limn→+∞⎷n= +∞•limn→+∞1n

= 0•limn→+∞1n

2= 0•limn→+∞1⎷n

= 0Pour tout entierp>1•limn→+∞np= +∞•limn→+∞1n p= 0

Opérations et limites :Lorsque deux suites(un)et(vn)ont des limites connues, on peut en général en déduire

la limite de la suitesomme(un+vn), de la suiteproduit(un×vn)et de la suitequotient?unv n?

Ces règles op ératoires,in tuitivementévi dentes,son trassem bléesdans les tableaux qui suiv ent.

On détermine le signe de la limite éventuelle d"un produit ou d"un quotient , en utilisant " la règle des signes ».

Les p ointsd"in terrogation( ?)signalen t" les formes indéterminées ».

Ce sont des cas pour lesquels une étude spécifique doit être menée pour déterminer une éventuelle limite.

2Limite d"une somme(un)a pour limite??ou+∞?ou-∞+∞(vn)a pour limite?

(un+vn)a pour limite?+??+∞-∞?

2Limite d"un produit(un)a pour limite??,0∞0

(vn)a pour limite? (un×vn)a pour limite??

2Limite d"un quotient lorsquelimn→+∞vn,0(un)a pour limite??∞±∞

(vn)a pour limite? ?,0∞? ?,0±∞? unv n? a pour limite?? ?0∞?

2Limite d"un quotient lorsquelimn→+∞vn= 0(un)a pour limite?,0ou∞0

(vn)a pour limite00? unv n? a pour limite∞? http://lycee.lagrave.free.fr3/3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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