[PDF] Des nombres entiers naturels aux nombres réels - Chapitre 1

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DES NOMBRES ENTIERS NATURELS AUX NOMBRES RÉELS

CHAPITRE1

M. Delfour

Département de mathématiques et de statistique

Université de Montréal

7 janvier 2012

M. Delfour (Université de Montréal)

Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

7 janvier 2012 1 / 94

PLAN1

LES NOMBRES ENTIERS NATURELSN(+,·,<)

L'additionLa multiplicationLes relations d'ordre

2

LES NOMBRES ENTIERSZ(+,·,<)

3

LES NOMBRES RATIONNELSQ(+,·,<)

4

LES NOMBRES RÉELSR(+,·,<)

Construction : les coupures de DedekindPropriété P7 de complétudeL'induction mathématique ou le raisonnement par récurrencePropriété archimédienne et partie entière d'un réelDensité des rationnels et des irrationnels dansRLa valeur absolueLa représentation décimale des nombres réels

5

CARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ

Definitions et exemplesRn'est pas dénombrableGeorg CantorCardinalité du continucet cardinaux transfinis?0,?1,?2,?3,···, hypothèse du continu, et axiome du choix

6

RÉFÉRENCES

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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES ENTIERS NATURELS

L'ADDITION

Ndéf={1,2,3,...}.

L'addition

+ :N×N→N ?x,y?N,x+y?N

Les propriétés de l'addition :

P1 (commutativité)x+y=y+x P2 (associativité)(x+y) +z=x+ (y+z).

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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES ENTIERS NATURELS

LA MULTIPLICATIONLa

multiplication

·:N×N→N.

?x,y?N,x·y?N.

Les propriétés de la multiplication :

P1 (commutativité)x·y=y·x

P2 (associativité)(x·y)·z=x·(y·z).

P4 (

élément neutre multiplicatif

)?1?Ntel que?x?N,x·1=x La propriété de la multiplication par rapport à l'addition : P3 (distributivité)x·(y+z) =x·y+x·z

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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES ENTIERS NATURELS

LES RELATIONS D'ORDREDéfinition de la

relation d'ordre (strict) surN( xElle est transitive , c'est-à-dire sipDéfinition de laseconde relation d'ordre surN(

Elle est aussi

transitive Il n'est cependant pas toujours possible pour deux entiersaetbdansNde trouver x?Ntel que (ou résoudre l'équation a+x=b.

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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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PLAN1

LES NOMBRES ENTIERS NATURELSN(+,·,<)

L'additionLa multiplicationLes relations d'ordre

2

LES NOMBRES ENTIERSZ(+,·,<)

3

LES NOMBRES RATIONNELSQ(+,·,<)

4

LES NOMBRES RÉELSR(+,·,<)

Construction : les coupures de DedekindPropriété P7 de complétudeL'induction mathématique ou le raisonnement par récurrencePropriété archimédienne et partie entière d'un réelDensité des rationnels et des irrationnels dansRLa valeur absolueLa représentation décimale des nombres réels

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CARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ

Definitions et exemplesRn'est pas dénombrableGeorg CantorCardinalité du continucet cardinaux transfinis?0,?1,?2,?3,···, hypothèse du continu, et axiome du choix

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RÉFÉRENCES

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NOMBRES ENTIERS

L'INVERSE ADDITIFNous allons donc enrichir les entiers naturels en introduisant les notions d'élément

neutre et d'inverse.

L'existence de l'

élément neutre 0

pour l'addition : P4 (élément neutre additif)?0 tel que?x?N,x+0=x

L'existence d'uninverse pour l'addition

P5 (existence d'un inverse additif)?x?N,? -x tel quex+ (-x) =0. On peut alors définir l'opération-:Z×Z→Z ?x,y?Z,x-ydéf=x+ (-y).

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NOMBRES ENTIERS

LES RELATIONS D'ORDREOn a donc construit les

nombres entiersZdéf={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Les définitions d'ordre demeurent les mêmes.

Définition de la

relation d'ordre (strict) surZ( xDéfinition de la seconde relation d'ordre surZ(

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NOMBRES ENTIERS

LES PROPRIÉTÉSOn a donc les propriétés suivantes. P1 (commutativité)x+y=y+xet x·y=y·x P2 (associativité)(x+y) +z=x+ (y+z)et (x·y)·z=x·(y·z) P3 (distributivité)x·(y+z) =x·y+x·z P4 (élément neutre) - additif?0 tel que?x?Z,0+x=x multiplicatif?1 tel que?x?Z,1·x=x P5 (?un inverse additif)?x?Z,? -xtel quex+ (-x) =0 P6 (relation d'ordre)8>>>>>><>>>>>>:a)?x,y?Ztel quex>0 ety>0 x+y>0 b)?x?Z une seule propriété est vraie : x>0,x=0,ou 0>x.

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PLAN1

LES NOMBRES ENTIERS NATURELSN(+,·,<)

L'additionLa multiplicationLes relations d'ordre

2

LES NOMBRES ENTIERSZ(+,·,<)

3

LES NOMBRES RATIONNELSQ(+,·,<)

4

LES NOMBRES RÉELSR(+,·,<)

Construction : les coupures de DedekindPropriété P7 de complétudeL'induction mathématique ou le raisonnement par récurrencePropriété archimédienne et partie entière d'un réelDensité des rationnels et des irrationnels dansRLa valeur absolueLa représentation décimale des nombres réels

5

CARDINAL ET DÉNOMBRABILITÉ

Definitions et exemplesRn'est pas dénombrableGeorg CantorCardinalité du continucet cardinaux transfinis?0,?1,?2,?3,···, hypothèse du continu, et axiome du choix

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RÉFÉRENCES

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NOMBRES RATIONNELS

CONSTRUCTIONIl n'est cependant pas toujours possible pour deux entiersaetbdansZde trouver x?Ztel que (ou résoudre l'équation) a·x=b.EXEMPLESia=0, on a deux cas : ou bienb=0 et tous lesx?Zsont solution ou bienb?=0 et il n'y a pas de solution. Sia=2 etb=1, il n'y a pas non plus de solutionx?Z. On ajoute àZles nombres de la formep/qavecp,q?Z,q?=0. On forme ensuite les classes d'équivalence [p/q]déf=p?/q?:pq?=p?q¯.

On obtient ainsi l'

ensemble des nombres rationnelsQdéf={[p/q] :?p?Zet?q?Ztel queq?=0}.

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NOMBRES RATIONNELS

FORME RÉDUITEIl y a donc plusieurs représentants dans chaque classe d'équivalence ou plusieurs

façons d'écrire un nombre rationnel donné.

On écrira

(p,q) pour le plus grand commun diviseur de deux entiers positifspetqnon nuls.

Afin d'obtenir l'

unicité du représentant p/q, on peut procéder de la façon suivante : a) sip=0, on écrit 0/1 b) sip?=0, i) on choisit d'abord le signe+ou- ii) on se ramène àp/q, pourp,q?N iii) on simplifie la fraction autant que possible en divisantpetqpar leur plus grand commun diviseur(p,q).

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NOMBRES RATIONNELS

LA STRUCTURE+,·,L'addition [p1/q1] + [p2/q2]déf= [(p1·q2+p2·q1)/q1q2] la multiplication [p1/q1]·[p2/q2]déf= [p1·p2/q1·q2] la relation d'ordre [p1/q1]<[p2/q2]si(p

1·q2-p2·q1<0 lorsqueq1·q2>0

p

1·q2-p2·q1>0 lorsqueq1·q2<0.

Elle est aussi

transitive , c'est-à-dire p

1q1 q2etp2 q2M. Delfour (Université de Montréal)

Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES RATIONNELS

LES PROPRIÉTÉSP1

(commutativité)x+y=y+x etx·y=y·x P2 (associativité)((x+y) +z=x+ (y+z) et(x·y)·z=x·(y·z) P3 (distributivité)x·(y+z) =x·y+x·z P4 (éléments neutres)((additif)?0?Qtel que?x?Q,0+x=x (multiplicatif)?1?Qtel que?x?Q,x·1=x P5 (existence d'inverses)8>><>>:(additif)?x?Q,? -x?Qtel quex+ (-x) =0 (multiplicatif)?x?Q,x?=0,?x-1?Q tel quex·x-1=1 P6 (relation d'ordre)8>>><>>>:a)?x,y?Qtel quex>0 ety>0,on a x+y>0 etx·y>0 b)?x?Q,une seule propriété est vraie : x>0,x=0,ou 0>x.

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NOMBRES RATIONNELS

LA DIVISIONLa relation d'ordreElle est aussi transitive , c'est-à-dire pOn peut définir l' opération division÷:Z×Z\{0} →Q ?x,y?Z,y?=0,x÷ydéf= [x/y].

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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES RATIONNELS

LES INTERMÉDIAIRES ET LES TROUSEn général, dansNet dansZ, il n'y a pas toujours d'élément entre deux éléments

distincts : par exemple, entre 1 et 2. Ce n'est pas le cas deQ.THÉORÈMESoient a et b dansQtel que

aDÉMONSTRATION.On prendc= (a+b)/2 qui appartient bien àQ. Alors, il est facile de vérifier à partir de

la définition quea+b<2bet 2aM. Delfour (Université de Montréal)

Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES RATIONNELS⎷2/?Q

DÉMONSTRATION.On note d'abord que sim?Zest pair, alorsm2est pair. Sim?Zest impair, alors m=2k+1 pour unk?Zet m

2= (2k+1)2=4·(k2+k) +1

est impair. Ceci implique quem?Zest impair (resp. pair) si et seulement sim2est impair (resp. pair). On raisonne par l'absurde. Supposons qu'il existex?Qtel quex2=2. Alorsxest de la formem/npourmetndansZ,n?=0. On prend maintenantxsous sa forme réduite m/noù le plus grand commun diviseur(m,n) demetnest 1. On obtient alors m

2=2·n2ce qui entraîne quemest pair.

Il existe doncr?Ztel quem=2r.

De l'équation(m/n)2=2, il vient

4r2=2n2?2r2=n2

et on en conclut quen2et a fortiorinsont pair. Commemest aussi pair, le plus grand commun diviseur(m,n)≥2 et cela contredit le choix initial d'une forme réduite pourx=m/ntelle que(m,n) =1.

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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES RATIONNELS⎷2/?QOn en arrive alors au résultat suivant.THÉORÈMEi)

Il n'existe pas de

plus grand nombre rationnel positif de carré inférieur ou égal

à2.

ii)

Il n'existe pas de

plus petit nombre rationnel positif de carré supérieur ou égal

à2.

En d'autres termes, pour tout

, on a

2 2.

DÉMONSTRATION.(i)

queA={p?Q+:p2<2} . Prenonsp?Aet montrons que nous pouvons toujours lui associer un nombreq?Atel quepélément dansA.

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NOMBRES RATIONNELS⎷2/?Q

DÉMONSTRATION.(i)

queA={p?Q+:p2<2} . Prenonsp?Aet montrons que nous pouvons toujours lui associer un nombreq?Atel quepélément dansA. Associons àp?Ale nombre rationnelqdéf=p-p2-2 p+2 =p+2-p2 p+2 >p puisquep2-2<0 etp+2>0. Pour conclure, il faut maintenant montrer queq?A. On estime la différence q 2-2=" p-p2-2 p+2" 2 -2="2p+2 p+2" 2 -2

4p2+8p+4-2(p2+4p+4)

(p+2)2=2(p2-2) q?A et pChapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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NOMBRES RATIONNELS

BORNES INFÉRIEURES OU SUPÉRIEURES DANSQ?Il y a cependant des nombres rationnelsM?Qtel que et des nombres rationnelsm?Qtel que ?p?B={p?Q+:p2>2},p≥m. Il suffit de prendre par exempleM=2 etm=1. En effet, s'il existait unp?Atel que

Ces nombresMetmsont respectivement une

borne supérieure deAet une borne inférieure deB.

Ceci va nous amener naturellement à parler d'

ensembles bornés supérieurement (resp. inférieurement ) et pour ce type d'ensembles de plus petite borne supérieure (resp. plus grande borne inférieure Malheureusement, comme l'indique le Théorème 4, ces dernières bornes ne se trouvent pas nécessairement dansQ

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Chapitre 1. Des entiers naturels aux réels

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LES NOMBRES ENTIERS NATURELSN(+,·,<)

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