NOMBRES COMPLEXES : METHODES Comment calculer module
comment démontrer que trois points sont alignés ? Pour démontrer que A B
NOMBRES COMPLEXES
4)Montrer que les points et ne sont pas alignés. 5) Déterminer le barycentre de {(
Chapitre 2 NOMBRES COMPLEXES Enoncé des exercices
Exercice 2.20 Déterminer les solutions de z4 ? (3 + 8i)z2 ? 16 + 12i = 0 Démontrer que ces trois points sont alignés.
NOMBRES COMPLEXES (Partie 2)
Calculer l'affixe de son centre. 2) Les points et sont-ils alignés ? 1) - On va démontrer que les vecteurs BBBBB? et BBBBB? sont égaux.
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
3. 2 Forme trigonométrique. 3. 2.1 Argument d'un nombre complexe non nul . Les points A B et C sont alignés si et seulement si arg. (zC ?zA.
Nombres complexes et géométrie
est réel. Exercice 3. Montrer que quatre points distincts A B
COMMENT DEMONTRER……………………
Pour démontrer que trois points sont alignés. On sait que I est le milieu de [AB]. Propriété : Si un point est le milieu d'un segment alors ce point.
Les similitudes
7 févr. 2011 Conséquence Le point M d'affixe le complexe conjugué de z ... Á L'alignement : si A
Nombres complexes et géométrie
b) Démontrer que le point E' est un point du cercle (C'). c) Vérifier que : e – d = ( !3 + 2)(e' – d). En déduire que les points E E' et D sont alignés.
NOMBRES COMPLEXES - Chapitre 2/4
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ABo2m52oEYw Dans tout le chapitre, on munit le plan d'un repère orthonormé direct Partie 1 : Représentation dans le plan complexe1) Définitions
Définitions : et sont deux nombres réels.- À tout nombre complexe =+, on associe son image, le point de coordonnées
3 et tout vecteur ⃗ de coordonnées 3. - À tout point3 et à tout vecteur⃗
3, on associe le nombre complexe
=+ appelé affixe du point et affixe du vecteur ⃗.
On note () et ⃗().Exemple :
Vidéo https://youtu.be/D_yFqcCy3iE
Le point
3 23 a pour affixe le nombre complexe =3+2.
De même, le vecteur ⃗ a pour affixe =3+2.2) Propriétés
Propriétés :
et sont deux points du plan. et ⃗ sont deux vecteurs du plan. a) Le vecteur a pour affixe b) Le vecteur ⃗+⃗ a pour affixe +′. c) Le vecteur ⃗, réel, a pour affixe . d) Le milieu du segment [] a pour affixe 2Démonstrations :
a) On pose :3 et
3.Le vecteur
a pour coordonnées3 donc son affixe est égal à :
b) c) et d) : Démonstrations analogues en passant par les coordonnées des vecteurs.Autres exemples :
Méthode : Utiliser l'affixe d'un point en géométrieVidéo https://youtu.be/m9yM6kw1ZzU
On considère les points (-2+3), (2+4), (5+3), (1+2) et (-7).
a) Démontrer que le quadrilatère est un parallélogramme. Calculer l'affixe de son
centre. b) Les points , et sont-ils alignés ?Correction
a) - On va démontrer que les vecteurs et sont égaux.Affixe de
=2+4- -2+3 =4+Affixe de
=5+3-1+2
=4+Donc
et donc est un parallélogramme. - Le centre du parallélogramme est le milieu du segment []. Son affixe est : 2 -2+3+5+3 23+6
2 3 2 +3 3 b) On va démontrer que les vecteurs et sont colinéaires.Affixe de
=4+Affixe de
=-7-1+2
=-8-2.Donc :
=-2 et donc =-2Les vecteurs
et sont colinéaires et donc les points , et sont alignés.3) Image d'un conjugué
Remarque :
Les images et ' de et ̅ sont symétriques par rapport à l'axe des réels. Partie 2 : Module et argument d'un nombre complexe1) Module
Définition : Soit un nombre complexe =+. On appelle module de , le nombre réel positif, noté , égal à est un point d'affixe .Alors le module de est égal à la
distance . Propriétés : Soit un nombre complexe. a) =̅ b) c)Démonstrations (dont a) au programme) :
a) ̅= b) P c) P 4Démonstrations au programme :
- Module d'un produit : RRRR S S Comme et sont positifs, on a : - Module d'une puissance :On procède par récurrence.
• Initialisation pour =2 : , d'après la propriété du produit. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier >1 tel que la propriété soit vraie : - Démontrons que : La propriété est vraie au rang +1 : , d'après la propriété du produit. , par hypothèse de récurrence. • Conclusion :La propriété est vraie pour =2 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de
récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel , soit : 0 0 Méthode : Calculer le module d'un nombre complexeVidéo https://youtu.be/Hu0jjS5O2u4
Vidéo https://youtu.be/i85d2fKv34w
Calculer : a)
3-2
b) -3 RRRRRCorrection
a)3-2
P 3 -213 b)
-3 RRRRR -3 -3 =3×1=3 X 2 +1 3 d) 3 2 = 1 Propriétés : Soit et ′ deux nombres complexes non nuls et entier naturel non nul.Produit
Puissance
0 0Inverse
Y 1 Y= 1Quotient
Z Z= 52) Argument
Définition : Soit un point d'affixe non nulle.On appelle argument de , noté () une mesure, en radians, de l'angle ⃗;
Remarques :
- Un nombre complexe non nul possède une infinité d'arguments de la forme +2,On notera
modulo 2 ou2
- 0 n'a pas d'argument car dans ce cas l'angle ⃗; ^ n'est pas défini.Exemple :
Soit =3+3.
Alors3+3
3 +3 18=3 2 42
Propriétés : Soit un nombre complexe non nul. a) est un nombre réel ⟺ =0 b) est un imaginaire pur ⟺ c) d)Démonstrations :
a) Le point M d'affixe appartient à l'axe des réels. b) Le point M d'affixe appartient à l'axe des imaginaires. c) d) Ses résultats se déduisent par symétrie. 6 Méthode : Déterminer géométriquement un argumentVidéo https://youtu.be/NX3pzPL2gwc
a) Déterminer un argument de chaque affixe des points A, B et C. b) Placer les points D et E d'affixes respectives et telles que : =2 et arg 32
=3 et arg3
42
Correction
a) arg 42
arg 32
arg2
b) Le point D appartient au cercle de rayon 2 car =2.Le point E appartient au cercle de rayon 3 car
=3. Propriétés : Soit et ′ deux nombres complexes non nuls et entier naturel non nul.Produit
Puissance
0Inverse
g 1 h=-()Quotient
4 7 Partie 3 : Forme trigonométrique d'un nombre complexe1) Définition
Propriété : Soit =+ un nombre complexe non nul. On pose : =()
On a alors : =
cos et = sin. En effet, en considérant le triangle rectangle, on a : cos= sin=Définition : On appelle forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul l'écriture
cos+sin avec =(). Méthode : Passer de la forme trigonométrique à la forme algébrique et réciproquementVidéo https://youtu.be/kmb3-hNiBq8
Vidéo https://youtu.be/zIbpXlgISc4
Vidéo https://youtu.be/RqRQ2m-9Uhw
1) Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
=33-
63+-
6 332) Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :
2 =-5) 33+
Correction
1))
=3 =3 -1+×0 =-3.3cos-
63+sin-
6 33=3
3 2 +×g- 1 2 hs= 3 2 3 22))
2 -5 =5 Géométriquement (cercle trigo), on peut affirmer que : arg 2 42
Donc :
2 =5cos- 43+sin-
4 33.) - On commence par calculer le module de 3 8 3 X 3 +1 3+1=2 - En calculantquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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