Représentation paramétrique de droites de plans Applications PDF

EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Pour montrer que deux droites sont parallèles il faudra déterminer leur équation réduite. Remarques : Deux droites seront confondues si elles ont la même

Représentation paramétrique de droites de plans Applications

1.2 Intersection de deux droites . Positions relatives de deux droites . ... Si D et ? ont un point commun elles sont confondues.

DROITES ET PLANS DE LESPACE

Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes d1 et d2

6e - Droites sécantes perpendiculaires et parallèles

1) définition : Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes. Exemple : Les droites (d1)

1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

Méthode 12 : Montrer que deux droites sont confondues. Le vecteur directeur de l'une doit être colinéaire au vecteur directeur de l'autre droite et elles.

1. Géométrie affine

(2) En dimension 3 et pour deux droites non parallèles D1 = A+K u et D2 Deux droites parallèles d'un plan affine ne se coupent pas ou sont confondues.

COMMENT DEMONTRER……………………

alors elles sont confondues Pour démontrer que deux droites sont perpendiculaires ... Pour démontrer qu'une droite est la médiatrice d'un segment.

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes d1 et d2

Méthode pour démontrer en géométrie dans lespace 1) Incidence

? Si deux droites ne sont pas parallèles ni sécantes alors elles sont non coplanaires. • droite et plan. ? Pour montrer qu'une droite est parallèle à un plan

Untitled

20 Démontrer que deux droites orthogonales à deux droites sécantes sont sécantes. 21 La proposition suivante est-elle vraie? Si deux droites sont orthogonales

Représentation paramétrique

de droites, de plans

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentations paramétriques

1.1 Définition

1.2 Intersection de deux droites

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Table des figures

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

3 Positions relatives de deux plans

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1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace

1.1 Définition

On se place dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace. SoitDune droite passant par un pointA(xA;yA;zA)et de vecteurdirecteur!u0 @a b c1 A M(x;y;z)est un point deDsi et seulement si il existe un réelttel que!AM=t!u.

En passant aux coordonnées, on obtient :

8>< :xxA=at yyA=bt zzA=ctc"est-à-dire8 :x=xA+at y=yA+bt

z=zA+ctDéfinition :On appellereprésen tationparamétrique ou système d"équations paramétriques de la droite

Dpar un pointA(xA;yA;zA)et de vecteur directeur!u0 @a b c1 A le système : 8 :x=xA+at y=yA+bt z=zA+ctavect2R

Le réeltest appelép aramètre.Remarques :1.Un p ointMest surDsi et seulement si il existe un réelttel que les coordonnées deM

vérifie le système d"équations paramétriques deD. 2. Récipro quement,si la droite admet comme équation paramétrique8 :x=x0+t y=y0+t z=z0+ t, cette droite passe par le pointM0(x0;y0;z0)et admet comme vecteur directeur!v0 1 A 3.

P ourobtenir une représen tationparamétrique d usegmen t[AB], il suffit de prendre comme vecteur

directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; 1]. 4.

P ourobtenir une représen tationparamétrique de la demi-droite [AB), il suffit de prendre comme

vecteur directeur!AB, comme point de la droite le pointAet de prendret2[0; +1[. Exercices :16, 18, 19 page 299 et 86, 87 page 3101- 107 page 3142- 115 page 3163- 119, 120, 121 page 316

4[TransMath]

1.2 Intersection de deux droites

Les résultats concernant les positions relatives de deux droites de l"Espace sont rappelées dans le tableau

1 Remarque :Dest une droite de vecteur directeur!uetest une droite de vecteur directeur!v.

Si !uet!vsont colinéaires :

Si Detn"ont pas de point commun, elles sont strictement parallèles; Si Detont un point commun, elles sont confondues.1. Représentation paramétrique d"une droite.

2. Type BAC.

3. Points équidistants de trois points.

4. Segments, demi-droites.

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites

Si !uet!vne sont pas colinéaires : Si Detn"ont pas de point commun, elles sont non coplanaires; Si Detont un point commun, elles sont sécantes. %Exercice résolu :Dans un repère

O;!{;!|;!k

de l"Espace, on considère les droitesD1,D2etD3 de représentations paramétriques : D 1:8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tt2RD2:8 :x=6t+ 8 y=12t+ 1 z= 9t2t2RD3:8 :x=t+ 6 y= 3t1 z=2t+ 2t2R

Étudier les positions relatives deD1etD2puis deD1etD3.Positions relatives deD1etD2:Un vecteur directeur deD1est!u0

@2 4 31
A et un vecteur directeur deD2est!v0 @6 12 91
A On a !v=3!u. Les vecteurs!uet!vsont colinéaires donc les droitesD1etD2sontparallèles. Reste à déterminer si les deux droites sontstrictement parallèlesouconfondues.

Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.

A2 D2()8

:6t+ 8 =1

12t+ 1 = 0

9t2 = 5()8

:t=32 t=112 t=79

Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.

Les droitesD1etD2sont doncstrictement parallèles. Positions relatives deD1etD3:Un vecteur directeur deD1est!u0 @2 4 31
A et un vecteur directeur deD3est!w0 @1 3 21
A

Les vecteurs

!uet!wne sont pas colinéaires donc les droitesD1etD3sont soitsécantes, soitnon coplanaires. On va donc chercher un éventuel point d"intersection àD1etD3. M(x;y;z)2 D1\ D3()il existe deux réelstetstels que8 :x=1 + 2t y= 4t z= 53tet8 :x=s+ 6 y= 3s1 z=2s+ 2

On a donc :

8>< :1 + 2t=s+ 6

4t= 3s1

53t=2s+ 2()8

:s= 2t7

4t= 3(2t7)1

53t=2(2t7) + 2()8

:s= 2t7

4t= 6t22

53t=4t+ 16()8

:s= 15 t= 11 t= 11 Les droitesD1etD3sont doncsécanteset leur point d"intersection a comme coordonnées : 8>< :x=1 + 211 = 21 y= 411 = 44 z= 5311 =28 3

RÉFÉRENCES

Remarques :1.A ttention!Lors de la rec herched"un év entuelp ointd" intersectionen tredeux droites, il

fautabsolumentdonner deux noms différents aux deux paramètres. 2.

Si les droites a vaientété non coplanaires, on aurait, lors de la résolution du système, trouv édeu x

valeurs différentes pourt(ous), ce qui est impossible. Exercices :20, 21, 22, 23 page 300; 90 page 310 et 92, 93 page 3115- 108, 109 page 3146[TransMath]

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Un planPest caractérisé par la donnée d"un pointA(x0;y0;z0)et de deux vecteurs directeurs~u0

@a b c1 A et ~v 0 @a0 b 0 c 01 A non colinéaires

M(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires

!AM=t~u+t0~v, avect;t02R ()8 :xx0=at+a0t0 yy0=bt+b0t0 zz0=ct+c0t0; t;t 02R 8 :x=x0+at+a0t0 y=y0+bt+b0t0 z=z0+ct+c0t0; t;t 02R

Le système obtenu est appelé

représen tationparamétrique du plan P.

On peut utiliser cette représentation paramétrique pour étudier les positions relatives d"une droite et d"un plan

(voir tableau 2 ) ou de deux plans (voir tableau 3

Remarque :Il existe un moyen plus simple d"étudier ces positions relatives. il sera vu dans le chapitre

" Orthogonalité, produit scalaire » et fait intervenir les équations de plans.

Exercices :94, 95, 96, 97 page 311[TransMath]

Références

[TransMath]

T ransMATHT ermS, Programme 2012 ( Nathan)

4 5. Positions relatives de deux droites.

6. Type BAC.

RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESPositions relatives deD1etD2CoplanairesNon coplanairessécantesstrictement parallèlesconfondues

un point commun uniquepas de point communtous les points sont communsil n"existe pas de plan

contenant les deux droitesTable1 - Positions relatives de deux droitesPositions relatives deDetPsécantsparallèles

DetPont un seul point

communDetPn"ont aucun point

communDest incluse dans le planP.Table2 - Positions relatives d"une droite et d"un planPositions relatives des plansP1etP2sécantsparallèles

confondusstrictement parallèlesou disjointsleur intersection est la droiteDleur intersection est un planleur intersection est vide

Table3 - Positions relatives de deux plans

5quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

[PDF] Représentation paramétrique de droites de plans Applications

Représentation paramétrique

Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2019/2020Table des matières

1 Représentations paramétriques

1.1 Définition

1.2 Intersection de deux droites

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

Table des figures

Liste des tableaux

1 Positions relatives de deux droites

2 Positions relatives d"une droite et d"un plan

3 Positions relatives de deux plans

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES

1 Représentations paramétriques d"une droite de l"Espace

1.1 Définition

On se place dans un repère

O;!{;!|;!k

En passant aux coordonnées, on obtient :

4[TransMath]

1.2 Intersection de deux droites

Si !uet!vsont colinéaires :

2. Type BAC.

3. Points équidistants de trois points.

4. Segments, demi-droites.

1 REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES 1.2 Intersection de deux droites

O;!{;!|;!k

Le pointA(1; 0;5)est un point deD1.

A2 D2()8

12t+ 1 = 0

9t2 = 5()8

Ce qui est impossible. Par suite,A =2 D2.

Les vecteurs

On a donc :

4t= 3s1

53t=2s+ 2()8

4t= 3(2t7)1

53t=2(2t7) + 2()8

4t= 6t22

53t=4t+ 16()8

RÉFÉRENCES

2 Représentation paramétrique d"un plan de l"Espace

M(x;y;z)2 P ()!AM,!uet!vcoplanaires

Le système obtenu est appelé

Exercices :94, 95, 96, 97 page 311[TransMath]

Références

T ransMATHT ermS, Programme 2012 ( Nathan)

4 5. Positions relatives de deux droites.

6. Type BAC.

DetPont un seul point

Table3 - Positions relatives de deux plans