[PDF] UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN DADMISSION AUX ETUDES D

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UNIVERSITE DE LIEGE

EXAMEN D'ADMISSION AUX ETUDES

D'INGENIEUR CIVIL

Geometrie et geometrie analytique

Enonces et solutions des examens de 2006, 2007, 2008 et 2009 (premiere session)1

1 Enonces

Pour chaque examen, on demande de resoudre trois questions parmi les cinq qui sont enoncees.

1.1 Examen de juillet 2006

1. Par un pointAexterieur a un cercleC, on mene les tangentes a celui-ci,

qui rencontrentCaux deux points de tangenceBetB0. SoientC0le cercle circonscrit au triangleABB0ettla tangente aC0 issue deB. La droitetrencontreCenBet en un deuxieme pointC. (a) Demontrer que le triangleCBB0est isocele. (b) Demontrer que les hauteurs issues deBdans les trianglesABB0 etCBB0ont la m^eme longueur. (c) Demontrer que le centre du cercle inscrit au triangleAB0Cest situe sur la droiteBB0.

2. SoitABCun triangle rectangle enAetdune droite contenantA.

On noteGla projection orthogonale deBsurdetEla projection orthogonale deCsurd. On note egalementd1la parallele aACmenee parGetd2la parallele aABmenee parE. (a) Demontrer qued1,d2etBCsont concourantes. (b) Determiner le lieu geometrique du point d'intersection ded1etd2 quanddvarie.

3. SoitABCun triangle d'orthocentreH. On note respectivementA1,

B

1etC1les pieds des hauteurs issues deA,BetC. On notej!XYjla

longueur du vecteur!XY. Demontrer la relation 12 (j!ABj2+j!BCj2+j!CAj2) =!AH:!AA1+!BH:!BB1+!CH:!CC1:

4. SoitSABCun tetraedre tel queSAsoit perpendiculaire aABC. On

noteA0la projection orthogonale deAsurSBC. Demontrer la relation

A(SBC)A(ABC)=A(ABC)A(A0BC);

ouA(XY Z) designe l'aire du triangleXY Z. 2

5. On considere un tetraedreOABCet on noteGle centre de gravite

de la faceABC. On note respectivementA1,B1etC1les milieux de [B;C], [C;A] et [A;B]. Un planparallele aABCcoupeOA,OBet

OCen respectivementA0,B0etC0.

(a) Demontrer qu'il existe une unique position depour laquelle les droitesA0A1,B0B1etC0C1sont paralleles aOG. (b) Demontrer que pour toutes les autres positions, ces droites sont concourantes en un pointPde la droiteOG.

1.2 Examen de septembre 2006

1. Soient un cercleCde centreOet une corde [C;D] de ce cercle. Deux

droites non confonduesd1etd2sont secantes a la corde [C;D] et ren- contrent celle-ci en son milieuM. La droited1rencontreCen deux pointsA1etB1, et la droited2rencontreCenA2etB2. On suppose que les pointsA1etA2sont situes du m^eme c^ote de la corde [C;D]. On notePl'intersection de [C;D] et de la droiteA1B2, etQl'intersection de [C;D] et deA2B1. Le pied de la hauteur issue deOdu triangle OA

1B2(resp.OA2B1) est noteH1(resp.H2).

(a) Demontrer que les trianglesA1H1MetA2H2Msont semblables. (b) Demontrer que les angles \PH1M,\POM,\MOQet\MH2Qsont egaux ou supplementaires deux a deux. (c) En deduire queMest le milieu du segment [P;Q].

2. On considere un quadrilatereABCD. Le milieu de la diagonale [A;C]

est notePet celui de [B;D] est noteQ.

Demontrer la relation

j !ABj2+j!BCj2+j!CDj2+j!DAj2=j!ACj2+j!BDj2+ 4j!PQj2:

3. Soient deux cerclesCetC0non concentriques. Etant donne un pointP

du plan exterieur a ces deux cercles et une tangentepaCissue deP, on noteP1le point ouprencontreC. De m^eme, on noteP2le point de tangence aC0d'une tangentep0a ce cercle issue deP. Determiner le lieu geometrique des pointsPdu plan tels que j !PP1j2 j!PP2j2=k; oukest un nombre reel donne. 3

4. On considere un tetraedreABCDdont la baseBCDest equilaterale,

et tel que la droite reliantAau centre de gravite de cette base est perpendiculaire au planBCD. SoientPun point interieur au triangleBCD, etet0deux plans s'appuyant sur la droiteAPet respectivement paralleles aux droites BCetBD. Les planset0rencontrent l'ar^ete [C;D] en deux points respectifsQetR. Les distances du pointPaux ar^etes [B;C], [B;D] et [C;D] sont respectivement notees,et . La longueur de l'ar^ete [B;C] est notee. (a) Montrer que le trianglePQRest equilateral. (b) Exprimer la longueur d'un c^ote du trianglePQRen fonction de ,et. (c) Montrer que la valeur de++ ne depend pas de la position deP. (d) En deduire que la somme des distances dePaux quatre faces du tetraedreABCDest independante deP.

5. On considere une droitedde l'espace et un pointPn'appartenant pas a

d. Pour tout plancontenantd, on noteXla projection orthogonale de Psur. Determiner le lieu geometrique decrit par le pointXquand varie. (Suggestion : Si l'on procede par geometrie analytique, on choisira un systeme d'axes oudest l'un des axes).

1.3 Examen de juillet 2007

1. Soit un cercleCtangent interieurement a un autre cercleC0, le point

de tangence etant noteP. Par un pointQdeC, on mene une tangente aCqui rencontreC0en deux pointsAetB. Demontrer que la droitePQest la bissectrice d'un des angles formes par les droitesPAetPB.

2. On considere deux points distinctsAetBdu plan et une droited

perpendiculaire aAB. On suppose en outre que l'intersection dedet ABn'appartient pas au segment [A;B]. ParAon mene une droited1 qui coupedenM. ParBon mene une droited2perpendiculaire ad1. On noteNl'intersection dedetd2. Determiner le lieu du centre du cercle circonscrit au triangleMNAquandd1varie. 4

3. On considere un losangeABCDtel que le triangleBCDest equilateral,

et un pointPquelconque. Demontrer que l'on a jPAj2+jPCj2=jABj2+jPBj2+jPDj2:

4. Soientetdeux plans perpendiculaires. Soientdetd0deux droites

orthogonales entre elles telles qued,d0. Demontrer quedou d

0est perpendiculaire a\.

5. Une sphere opaque de rayonret de centreCposee sur un sol plan est

eclairee par une source lumineuse ponctuelleO, situee a une distance

2rdeCet a la m^eme hauteur queC.

(a) Determiner le lieu des points de la sphere ou les rayons lumineux sont tangents a cette sphere. Suggestion :Utiliser la symetrie du probleme par rapport a l'axe OC. (b) Caracteriser la forme de l'ombre portee par cette sphere sur le sol.

1.4 Examen de septembre 2007

1. On considere un triangleABCdu plan. On noteCle cercle circonscrit

au triangle etOle centre de ce cercle. La bissectrice interieure de l'angle^Acoupe [B;C] enDetCenI. (a) Demontrer que les droitesOIetBCsont perpendiculaires. (b) Demontrer la relationABAC=AD

2+DBDC;

ouXYdesigne la longueur du segment [X;Y].

2. Soient deux cerclesCetC0exterieurs l'un a l'autre. Determiner le lieu

des points a partir desquels les tangentes aCforment entre elles le m^eme angle que celui forme par les tangentes aC0. Preciser la nature de ce lieu.

3. On considere un triangleABC, et un pointParbitraire appartenant a

son c^ote [B;C], distinct deBetC. Demontrer que la valeur de !AB2!

BC:!BP+!AC2!

CB:!CP+!AP2!

PC:!PB

est independante dePet des dimensions du triangle. 5

4. Etant donnees deux droites gauchesd1etd2dans l'espace euclidien et

deux nombres positifsl1etl2, on place un segment [A;B] de longueurl1 surd1, et un segment [C;D] de longueurl2surd2. Demontrer que le vo- lume du tetraedreABCDest independant de la position des segments [A;B] et [C;D] sur leurs droites respectives.

5. Dans l'espace euclidien a trois dimensions, on considere la famille de

droites d'equationsx=ay y=az; ouaest un parametre reel, ainsi que les plans perpendiculaires a ces droites et contenant le point (a+ 1;22a2;a3+ 1). Demontrer que ces plans possedent une intersection commune et pre- ciser la nature de cette intersection.

1.5 Examen de juillet 2008

1. SoitABCun triangle isocele enA(c'est-a-dire tel que les c^otes [A;B]

et [A;C] sont de m^eme longueur). On considere deux pointsEetF distincts situes a l'interieur du segment [B;C]. Les paralleles aAB menees parEet parFcoupent respectivement [A;C] enGetH. Les paralleles aACmenees parEetFcoupent respectivement [A;B] en IetJ. (a) Demontrer que les segments [I;J] et [G;H] sont de m^eme longueur. (b) Enoncer et demontrer une condition necessaire et susante sur les positions deEetFpour que les droitesJGetIHsoient paralleles.

2. On considere un cercleCde centreOet deux droites perpendiculaires

d

1etd2passant parO. On noteAune des intersections ded1avecCet

Bune des intersections ded2avecC. ParAon mene une droite variable dqui coupeCen un pointMdistinct deB. La droiteAMcouped2 enB0et la droiteBMcouped1enA0. Demontrer que le produit des longueurs des segments [A;A0] et [B;B0] reste constant lorsquedvarie.

3. Soit un tetraedreABCDde l'espace.

(a) Demontrer les relations j !ABj2+j!CDj2 j!BCj2 j!DAj2= 2!AC!DB; j !ACj2+j!BDj2 j!BCj2 j!DAj2= 2!AB!DC: 6 (b) En deduire que les ar^etes opposees d'un tetraedre sont orthogo- nales si et seulement si les sommes des carres des longueurs de chacune de ses paires d'ar^etes opposees sont egales.

4. Dans l'espace, on considere un tetraedreABCDdont les ar^etes op-

posees sont deux a deux de m^eme longueur. Demontrer que les droites joignant les milieux de deux ar^etes opposees sont perpendiculaires deux a deux. (Suggestion : demontrer d'abord qu'elles sont secantes.)

5. Dans l'espace, on considere un cubeABCDA0B0C0D0, avec!AA0=!BB0=!CC0=!DD0et!AB=!DC. On noteGle centre de gravite du

carreABCDetKle point d'intersection de la droiteA0Get du plan AB 0D0. (a) Determiner la position deKsur le segment [A0;G]. (b) Demontrer queKappartient a la mediane issue deAdu triangle AD 0B0.

1.6 Examen de septembre 2008

1. On considere un polygone regulier convexeA1A2:::An, avecn3,

et un cercleCpassant par le centre de graviteGde ce polygone. Les droitesA1G,A2G, ...,AnGrencontrentCenG, ainsi qu'en un certain nombremde points distincts deGnotesB1;B2;:::;Bm(sans ordre particulier). Demontrer que les pointsB1;B2;:::;Bmfont partie des sommets d'un m^eme polygone regulier convexe anc^otes. (Suggestion:Commencer par etablir une condition necessaire et susante pour qu'un ensemble de points fassent partie des sommets d'un polygone regulier convexe a nc^otes.)

2. On considere un cercleCde centreOet deux diametres perpendiculaires

[A;B] et [C;D] de ce cercle. Un point variablePparcourtC. On note

Ql'intersection des droitesAPetCD.

Determiner le lieu de l'orthocentre (c'est-a-dire le point de rencontre des trois hauteurs) du triangleOPQ.

3. Soient un cercleCde centreOet un point xe quelconqueP.

(a) Une droite variabledissue deOrencontreCen deux pointsAet B. Demontrer que la valeur de!PA!PBreste constante lorsqued varie. 7 (b) Une droite variabled0issue dePrencontreCen deux pointsM etN. En utilisant la propriete etablie en (a), demontrer que la valeur de!PM!PNreste constante lorsqued0varie.

4. On place une sphereSde rayon 1 a l'interieur d'un tetraedre regulier

ABCD, de facon a ce qu'elle soit tangente aux trois faces issues deA. (a) Calculer la distance separant le sommetAdu centreOdeS. (b) Pour quelle longueur des ar^etes du tetraedreABCDla sphereS est-elle tangente a ses quatre faces ?

5. Dans l'espace a trois dimensions muni d'un repere orthonorme:

(a) Determiner une equation du planissu du point de coordonnees (1;1;1) et incluant la droitedd'equations

2x+y= 5

y+ 2z=3: (b) En fonction d'un ou de plusieurs parametres de votre choix, donner une equation pour les plans perpendiculaires aqui passent par l'origine du repere. (c) Parmi les plans evoques au point (b), donner une equation pour celui dont l'intersection avecest parallele ad.

1.7 Examen de juillet 2009

1. Dans un triangleABC, on note respectivementA0etB0les pieds des

hauteurs issues des sommetsAetB. On noteHle point d'intersection de ces hauteurs. On trace le cercleCcirconscrit au triangleA0B0Cet, par les pointsA0etB0, on mene respectivement les tangentesdAetdB a ce cercle. (a) Demontrer que [CH] est un diametre deC. (b) On notePl'intersection des droitesABetdA. Demontrer que le trianglePA0Best isocele. (c) En deduire que le pointPest situe au milieu du c^ote [AB]. (d) En deduire que la droitedBpasse parP.

2. Dans un repere orthonorme du plan, on donne la parabolePpar son

equation cartesienne x

2= 4y:

8 (a) Determiner l'equation cartesienne d'une tangente quelconque a la courbeP. (b) Determiner le lieu des points a partir desquels les tangentes me- nees a la courbePsont orthogonales entre elles.

3. On noteOle centre du cercle circonscrit a un triangleABC, etA0le

pied de la mediane issue deAde ce triangle. On noteGle centre de gravite du triangleAA0B. Demontrer que les droitesAA0etOGsont perpendiculaires si et seule- ment si le triangleABCest isocele enB. (Suggestion :Calculer!AA0:!OG)

4. On considere deux plans secantset0, et une droitedperpendicu-

laire a. Demontrer que la projection orthogonale dedsur0est perpendiculaire a l'intersection deet de0. (Rappel :La projection orthogonale dedsur0est l'intersection de0et du plan perpendicu- laire a0incluantd.)

5. On donne un cube de sommetsA;B;C;D;A0;B0;C0;D0(voir gure).

(a) Demontrer que les plansAB0D0etC0DBsont paralleles. (b) Demontrer que la droiteA0Cest perpendiculaire au planAB0D0. (c) Si on designe parTla projection orthogonale du pointCsur le planAB0D0(c'est-a-dire le pied de la droite perpendiculaire a ce plan issue deC), demontrer que la longueur du segment [A0T] est egale au tiers de la longueur du segment [A0C]. D 0D C 0C A 0A B B 0 9

2 Solutions proposees

2.1 Examen de juillet 2006

1. (a) NotonsOle centre deCet demontrons queOappartient aC0:

puisqueABetAB0sont tangentes aC, les angles[OBAet\OB0A sont droits et le quadrilatereOBAB0est inscriptible. Autrement dit,Oest sur le cercle determine parA,BetB0.

On a alors[BAO=\OB0B=\OBB0(1)

puisque ces angles determinent des arcs egaux sur le cercleC0.

De plus, on a

\CBO=[BAO(2) car \CBOest l'angle tangentiel associe a[BAO. Les trianglesBOCetBOB0sont isometriques. En eet puisque le triangleCBOest isocele on a\BCO=\CBOet donc

BCO=\CBO=\OBB0=\OB0B

par (1) et (2). Les trianglesBOCetBOB0ont donc leurs angles egaux. De plus, ils partagent un c^ote commun [O;B]. Les c^otes correspondants de ces deux triangles sont donc de m^eme longueur etBC=BB

0, ce qui demontre le point (a).

(b) Nous conservons les notations du point (a) et notons respective- mentHetH0les pieds des hauteurs issues deBdans les triangles BAB

0etBB0C.

Remarquons que puisqueCBB0est isocele de sommetB, la hau- teurBH0est aussi mediatrice de la base [C;B0] et que puisqueO est equidistant deCetB0, on aO2BH0et les droitesBH0et

BOconcident.

Demontrons que les triangles rectanglesB0BHetB0BH0sont isometriques. ?L'hypotenuse [B;B]0est commune. ?Les angles\B0BHet\B0BH0sont egaux. En eet, dans le triangleB0BH, on a

B0BH= 90\BB0H;

10 tandis que, puisqueOB0Aest droit, on a

BB0H= 90\OB0B:

On en deduit en utilisant (1) que

B0BH=\OB0B=\OBB0;

ce qui sut puisque \OBB0=\B0BH0: Puisque les triangles sont isometriques, les c^otes correspondants sont egaux, doncBH 0=BH. (c) Le centre du cercle inscrit a un triangle est l'intersection de ses bis- sectrices interieures. Il sut donc de demontrer queBB0est la bis- sectrice de l'angle \CB0A, ou encore que\CB0B=\BB0A. Puisque H

02CB0etH2B0A, cela decoule directement de l'egalite des

angles \H0B0B, et\BB0H, elle-m^eme consequence de l'isometrie des trianglesB0BHetB0BH0demontree au point (b).

2. Utilisons la geometrie analytique.

On choisit des axes orthonormes tels que la droiteABsoit l'axe des abscisses et la droiteACcelui des ordonnees. Les pointsA,B, etC ont alors pour coordonnees respectives (0;0), (b;0) et (0;c), oubetc sont des constantes non nulles, et qui peuvent m^eme ^etre supposees strictement positives en orientant correctement les axes. (a) Traitons directement le cas oudest la droiteAC. Dans ce cas on aG=AetE=C. On a doncd1=ACetd2contient C. L'intersection ded1etd2est alors le pointCet la these est demontree.

Sidn'est pasAC, alors elle admet pour equation

y=mx; oumest une constante reelle. La perpendiculaire admenee parBadmet le vecteur (1;m) comme vecteur normal et contient le point de coordonnees (b;0).

Elle admet donc pour equation

xb+my= 0: 11 Le pointGest l'intersection de cette derniere droite avecdet ses coordonnees satisfont donc le systeme y=mx x+my=b

On obtient directementG: (b1+m2;mb1+m2).

De la m^eme maniere, la droiteECadmet pour equation x+m(yc) = 0:

Les coordonnees deEsatisfont donc

y=mx x+my=mc et on obtientE: (mc1+m2;m2c1+m2). La droited1est parallele a l'axe des ordonnees et contientG. Elle admet donc l'equation x=b1 +m2:

De m^eme, la droited2admet pour equation

y=m2c1 +m2: L'intersectionIded1etd2a donc pour coordonnees (b1+m2;m2c1+m2).

Enn la droiteBCadmet pour equation

cx+by=bc:

Le pointIappartient donc aBCsi et seulement si

cb1 +m2+m2cb1 +m2=cb et cette equation est bien satisfaite. (b) Il ressort du point (a) que, quanddvarie, l'intersection ded1etd2 est toujours un point deBC. Le lieu est doncune partiedeBC, qui contient le pointC(il correspond a la positiond=AC). Les equations cartesiennes s'obtiennent en exprimant des conditions necessaires et susantes sur les coordonnees (X;Y) d'un pointP 12 pour que celui-ci appartienne au lieu : Un pointPde coordonnees (X;Y) appartient au lieu ssiP=Cou

9m2R:X=b1+m2

Y=m2c1+m2

Cette derniere condition se reecrit

9m2R:m2X=bX

(1 +m2)Y=m2c

Discussion :

?SiX= 0, la premiere equation s'ecrit 0 =b, ce qui est im- possible. ?SiX6= 0, la condition equivaut a

9m2R:m2=bXX

(1 +bXX )Y=bXX c; ou encore bXX 0 cX+bY=bc; La premiere condition est equivalente aX2]0;b], et la se- conde exprime que le point (X;Y) est situe sur la droiteBC. Cette partie du lieu est donc exactement le segment [B;C] prive du pointC. Etant donne qu'il a ete etabli que le pointCfait par ailleurs partie du lieu, la solution est exactement le segment [B;C].

3. Developponsj!ABj2. On a tout d'abord par la relation de Chasles

!AB=!AH+!HB:

Donc, on obtient

j !ABj2=!AB!AB= (!AH+!HB)(!AH+!HB)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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