Mouvement dans un champ de force centrale PDF

Appliquer la deuxième loi de Newton à un satellite ou à une planète. (6). Démontrer que le mouvement circulaire et uniforme est une solution des équations

Mouvement des satellites et des planètes 1) Expression de la

La vitesse est donc constante et donc le mouvement du satellite est un mouvement circulaire uniforme. ? Dans un mouvement circulaire uniforme

Chapitre 13 Mouvements des satellites et des planètes

Le mouvement d'un point M est circulaire si sa trajectoire est un arc de cercle ou un cercle. Il est uniforme si la valeur v de sa vitesse est constante au

Activités sur les lois de Képler – Correction en directe. I. Comment

Comment démontrer que le mouvement d'un satellite est uniforme dans À partir de la deuxième loi de Newton montrer que

Physique TC 1 Correction 1. Sur un schéma représentez la force

circulaire dans la base de Frenet ( . 6. Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. 7. Exprimer la vitesse du satellite en fonction de G MT et r.

CONCOURS BLANC 2017 - PTSI

9 mai 2017 Montrer que le vecteur . est constant au cours du mouvement. 2. Mise en orbite circulaire du satellite.

Chapitre 13 : Mouvement des planètes et satellites

Mouvements des planètes et satellites 13.2 Mouvement circulaire uniforme . ... montrer qu'une orbite circulaire est nécessairement uniforme à l'aide.

Mouvement dans un champ de force centrale

?7 Satellite géostationnaire : justifier le type d'orbite 1 - Montrer que le mouvement est circulaire uniforme

Problèmes de physique de concours corrigés – 1ère année de

mouvement de (S) est ? r r. P. mV. ? ? . 2. Montrer que l'effet des collisions équivaut à une force r. F s'exerçant sur le satellite. Ce dernier est.

D M 2 1 M 7

1) Montrer qu'un satellite artificiel en orbite circulaire autour de la 2) Démontrer que le mouvement du satellite autour de la Terre est uniforme et ...

Mécanique

Chapitre 6

Mouvement dans un champ de force centrale

1 - Étude avec le moment cinétique

I Conséquences générales pour une force centrale

II Application aux planètes et satellites

a/ Conservation du moment cinétique b/ et c/ Démonstrations

2 - Étude énergétique

a/ Énergie potentielle e ective b/ Type de mouvement - : état de di usion - : état lié

1 - Rappels sur la loi de Newton

2 - Référentiels

- Terrestre, géocentrique, héliocentrique - mouvement plan - loi des aires, E p,ef r E m r min r max

3 - Nature des trajectoires4 - Lois de Kepler

1- orbite = ellipse avec Soleil au foyer

2- aires balayées égales

en des temps égaux 3- T 2 proportionnel à a 3 x y O M(t) r t t r min x y O M t r t t r min x y O M t r t t r min r max périgéeapogée hyperbole parabole ellipse

5 - Étude d'un satellite en orbite circulaire

a/ Particularités de l'orbite circulaire v uniforme - savoir exprimer la période - et la vitesse - et E m b/ Cas géostationnaire - T=24h, circulaire, plan équatorial - savoir calculer l"altitude périgéeapogée (coord. polaires dans plan du mvt) III Application aux chargesCe qu"il faut connaître (cours : II) I

1Quelles sont les définitions des référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique?

Décrire le mouvement de la Terre dans chacun.

2Donner l"expression de la force gravitationnelle exercée par une massem0située enO, sur une massemsituée enM

une distancer=OM. Donner l"expression de l"énergie potentielle dont dérive cette force. I

3Énoncer les trois lois de Kepler.

Ce qu"il faut savoir faire(cours : I)

4Pour un point matériel soumis à une force centrale, démontrer la conservation du moment cinétique, en déduire des

conséquences (mouvement plan, loi des aires).!EC1 I

5Exprimer la conservation de l"énergie mécanique, construire une énergie potentielle effective. L"utiliser pour décrire

qualitativement le mouvement radial (état lié ou état de diffusion).(cours : II) I

6Cas particulier d"un mouvement circulaire : montrer que le mouvement est uniforme, exprimer sa période et retrouver

la 3 eloi de Kepler.!EC2 I

7Satellite géostationnaire : justifier le type d"orbite, calculer l"altitude du satellite.!EC3

Mécanique chapitre 61 / 10Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023

Exercices de cours

Exercice C1 - Conservation du moment cinétique et conséquences On considère un pointMde massemsoumis à un champ de force centrale~F, de centreO.

1 -Montrer que le moment cinétique enOest conservé au cours du mouvement. On utilisera les coordonnées sphériques

de centreO.

2 -On note~ezle vecteur unitaire colinéaire à~O.

Montrer qu"à tout instant,!OMest perpendiculaire à~Oet donc à~ez. En déduire que le mouvement est dans le plan

Oxy.

3 -On utilise les coordonnées polaires dans le planOxy.

Montrer que la conservation du moment cinétique implique que la quantitér2_est constante au cours du mouvement.

Comment interprète-t-on ceci géométriquement? Exercice C2 - Particularités de l"orbite circulaire

On considère un satellite en orbite autour de la Terre, dans le cas particulier où cette orbite estcirculaire(rayonR).

On se place dans le référentiel géocentrique, muni d"un repère polaire dans le plan de l"orbite, de centreO(centre de la

Terre). On noteMle point repérant le satellite, etmsa masse. On noteRT= 6400km le rayon de la Terre etMT= 6;01024kg sa masse. On donneG= 6;671011m3kg1s2.

1 -Montrer que le mouvement est circulaire uniforme, c"est-à-dire que la norme du vecteur vitesse (ou la vitesse angu-

laire) est constante. On pourra pour cela appliquer le PFD au satellite.

2 -Donner l"expression de la normevde la vitesse sur l"orbite, puis de la période du mouvement, en fonction du rayon

R, de la masse de la TerreMTet de la constanteG.

On remarque que ceci permet de retrouver la troisième loi de Kepler (mais cette 3 eloi est plus générale car elle est aussi valable pour les mouvements elliptiques, dont le cercle n"est qu"un cas particulier).

3 -Orbite basse : dans cette question, le satellite est en orbite basse, donc à une altitude (mesurée par rapport à la

surface de la Terre)hRT. Sa distance au centre de la TerreOest doncR=RT+h'RT. a -Calculer sa période de révolution autour de la Terre. b -Calculer également sa vitesse.

Cette vitesse, qui est celle nécessaire à la mise en orbite d"un objet à altitude nulle, est appelée première vitesse

cosmique. Ceci s"applique pour les satellites assez bas, comme par exemple l"ISS (h= 400km).

4 -Énergie mécanique : donner l"expression de l"énergie mécanique de la massemen fonction deG,MT,metR, et

montrer qu"elle est bien négative.

Exercice C3 - Satellite géostationnaire

On considère un satellite en orbite autour de la Terre, dans le cas particulier où cette orbite estcirculaire, dont on note

Rle rayon.

On se place dans le référentiel géocentrique, muni d"un repère polaire dans le plan de l"orbite, de centreO(centre de la

Terre). On noteMle point repérant le satellite, etmsa masse. On noteRT= 6400km le rayon de la Terre etMT= 6;01024kg sa masse. On donneG= 6;671011m3kg1s2.

On considère un satellite géostationnaire.

1 -Expliquer en quoi "géostationnaire" consiste, et quel type d"orbite cela implique (en terme de forme, de localisation

et de période).

2 -Donner l"expression de la période du mouvement en fonction du rayonR, de la masse de la TerreMTet de la

constanteG.

On pourra pour cela appliquer le PFD au satellite (identique questions 1 et 2 de l"EC précédent).

3 -En déduire la distanceR, puis l"altitudehpar rapport au sol.

Mécanique chapitre 62 / 10Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023 Cours

Définition : champ de force centrale

Un point matérielMévolue dans un champ de force centrale, de centreO, lorsqu"il est uniquement soumis à une force dont la direction est colinéaire à!OMet dont la norme ne dépend que der=OM. Cette force s"exprime donc, dans un repère en coordonnées sphériques centré surO, comme ~F=F(r)~er:aaa Une force centrale est toujours conservative : il existe une énergie potentielleEp(r)telle que

F(r) =dEpdr:

1Exemples :

IForce de gravitation entre une massemsituée enO, et une massem0à une distancer, s"écrit :

IForce électrostatique entre une chargeqsituée enO, et une chargeq0à une distancer, s"écrit :

IRessort attaché enOexerce sur un pointMà son autre extrémité (avecOM=r) une force :

Ces exemples importants justifient que l"on s"intéresse aux propriétés des forces centrales.

I - Conséquences générales pour une force centrale

1 - Étude avec le moment cinétique

a/ Conservation du moment cinétiquePropriété : conservation du moment cinétique Soit un pointM, de massemet vitesse~v, soumis uniquement à une force centrale~F=F(r)~er. )Le moment cinétique enOest constant,~O=!cst.Démonstration :

Coordonnées sphériques de centreO.

2Appliquons le théorème du moment cinétique par rapport au point fixeO:

d~Odt=!OM^~F=r~er^F~er=~0: aaaM (coordonnées sphériques)Conséquences de la conservation du moment cinétique )Le mouvement a lieu dans un plan (celui perpendiculaire à~Oet contenantO).

)En coordonnées polaires dans le plan du mouvement, la grandeurr2_=Cest constante au cours du mouve-

ment.

On appelleCla "constante des aires".

Ceci s"interprète géométriquement en disant que le vecteur position balaie des aires égales pendant des durées

égales.Mécanique chapitre 63 / 10Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023 b/ Démonstration conséquence 1 : le mouvement est plan Comme~Oest constant, on peut prendre l"axeOzorienté par~O, avecM2Oxyinitia- lement. Or on sait que (propriété du produit vectoriel) !OM?!OM^m~v.

Donc8t;!OM?~O.

Donc8t;!OM?~ez(car~Oest selon~ez).

!Si!OMreste toujours perpendiculaire à~ez, c"est que le mouvement du pointMest toujours contenu dans le planOxy.aaaO M y xzc/ Démonstration conséquence 2 : la loi des aires Le mouvement étant dans le planOxy, on utilisera dans toute la suite les coordonnées polaires dans ce plan (alors qu"avant on était en coordonnées sphériques). On note~ur,~ules vecteurs de cette base. On a~ur^~u=~ez.

Comme d"habitude :

!OM=r~ur, et~v=d(r~ur)dt= _r~ur+r_~u.

3Écrire le moment cinétique et prouver quer2_est constant.

aaa trajectoire plan du mouvement~

O=r~ur|{z}!OM^m(_r~ur+r_~u)|{z}

~v =r~ur^_r~ur|{z} ~0+r~ur^mr_~u =mr2_~ez:

Comme~Oest constant, on en déduit que8t; r2_=cst:On noteCcette constante, appelée constante des aires. La loi8t; r2_=Cest appelée la loi des aires.Interprétation géométrique

2_=rrddt=C, donc pendant un temps dtl"angleévolue de d, et on a

la relationrrd2 =Cdt2 Or on voit querrd=2est l"aire balayée par le vecteur position!OM(l"aire du triangle rectangle ci-contre vautrrd=2, et l"aire non coloriée est d"ordre

2 en dtdonc négligeable).

CommeC=cst, cette aire balayée est toujours la même pendant un temps dt

constant, où que l"on soit sur la trajectoire.aaaAutre interprétation :r2_doit rester constant au cours du mouvement, donc

si rest petit alors il faut pour compenser une vitesse angulaire plus im- portante (_augmente). si rest grand alors la vitesse angulaire sera plus petite (_diminue). aaa centre O--

Bilan des points à connaître jusqu"ici :

- Ce qu"il faut connaître : savoir que le mouvement est plan, que la loi des aires existe (sans connaître par coeur ler2_).

- Ce qu"il faut savoir faire : l"EC1, à faire pour réviser. Le point le plus important est de savoir redémontrer la loi des

airesr2_=cst. Mécanique chapitre 64 / 10Raoul Follereau | PTSI | 2022-2023

2 - Étude énergétique

a/ Introduction de l"énergie potentielle effective Écrivons l"énergie mécanique d"une massemévoluant dans un champ de force centrale. Co ordonnéesp olairesdans le plan du mouv ement. On note Ep(r)l"énergie potentielle dont dérive la force.

Vitesse ~v= _r~ur+r_~u, donck~vk2=

On a la loi des aires, r2_=C, doncr_=C=r.

Énergie mécanique :

E m=Ec+Ep(r) =12 mv2+Ep(r) 12 m_r2+12 m(r_)2+Ep(r) 12 m_r2+12 mC2r

2+Ep(r) (loidesaires)

12 m_r2+Ep;eff(r)où on définitEp;eff(r) =12quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Mécanique

Chapitre 6

Mouvement dans un champ de force centrale

1 - Étude avec le moment cinétique

II Application aux planètes et satellites

2 - Étude énergétique

1 - Rappels sur la loi de Newton

2 - Référentiels

3 - Nature des trajectoires4 - Lois de Kepler

1- orbite = ellipse avec Soleil au foyer

2- aires balayées égales

5 - Étude d'un satellite en orbite circulaire

1Quelles sont les définitions des référentiels terrestre, géocentrique et héliocentrique?

Décrire le mouvement de la Terre dans chacun.

2Donner l"expression de la force gravitationnelle exercée par une massem0située enO, sur une massemsituée enM

3Énoncer les trois lois de Kepler.

Ce qu"il faut savoir faire(cours : I)

4Pour un point matériel soumis à une force centrale, démontrer la conservation du moment cinétique, en déduire des

5Exprimer la conservation de l"énergie mécanique, construire une énergie potentielle effective. L"utiliser pour décrire

6Cas particulier d"un mouvement circulaire : montrer que le mouvement est uniforme, exprimer sa période et retrouver

7Satellite géostationnaire : justifier le type d"orbite, calculer l"altitude du satellite.!EC3

Exercices de cours

1 -Montrer que le moment cinétique enOest conservé au cours du mouvement. On utilisera les coordonnées sphériques

2 -On note~ezle vecteur unitaire colinéaire à~O.

3 -On utilise les coordonnées polaires dans le planOxy.

1 -Montrer que le mouvement est circulaire uniforme, c"est-à-dire que la norme du vecteur vitesse (ou la vitesse angu-

2 -Donner l"expression de la normevde la vitesse sur l"orbite, puis de la période du mouvement, en fonction du rayon

R, de la masse de la TerreMTet de la constanteG.

3 -Orbite basse : dans cette question, le satellite est en orbite basse, donc à une altitude (mesurée par rapport à la

4 -Énergie mécanique : donner l"expression de l"énergie mécanique de la massemen fonction deG,MT,metR, et

Exercice C3 - Satellite géostationnaire

Rle rayon.

On considère un satellite géostationnaire.

1 -Expliquer en quoi "géostationnaire" consiste, et quel type d"orbite cela implique (en terme de forme, de localisation

2 -Donner l"expression de la période du mouvement en fonction du rayonR, de la masse de la TerreMTet de la

3 -En déduire la distanceR, puis l"altitudehpar rapport au sol.

Définition : champ de force centrale

F(r) =dEpdr:

1Exemples :

1 - Étude avec le moment cinétique

Coordonnées sphériques de centreO.

2Appliquons le théorème du moment cinétique par rapport au point fixeO:

On appelleCla "constante des aires".

Donc8t;!OM?~O.

Donc8t;!OM?~ez(car~Oest selon~ez).

Comme d"habitude :

3Écrire le moment cinétique et prouver quer2_est constant.

O=r~ur|{z}!OM^m(_r~ur+r_~u)|{z}

2_=rrddt=C, donc pendant un temps dtl"angleévolue de d, et on a

2 en dtdonc négligeable).

Bilan des points à connaître jusqu"ici :

2 - Étude énergétique

Vitesse ~v= _r~ur+r_~u, donck~vk2=

On a la loi des aires, r2_=C, doncr_=C=r.

Énergie mécanique :

2+Ep(r) (loidesaires)