Feuille 5 : Arithmétique
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) est divisible par 120. Exercice 2 Déterminer les couples d'entiers naturels de pgcd 35 et ppcm 210. Exercice 3 Déterminer les
Quelques exercices darithmétique (divisibilité division euclidienne
Exercise .5 Démontrer par récurrence que : n(2n+ 1)(7n+ 1) est divisible par Exercise .6 Montrer que si n est pair les nombres a = n(n2 + 20); b = n(n2 ...
Arithmétique dans Z
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) est divisible par 120. Exercice 6. 1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.
Eléments de logique
10 thg 8 2018 Une théorie mathématiques n'est pas le rassemblement de résultats sans ... 1. La négation de la proposition vraie ” 6 = 4 + 2 ” est la ...
Devoir n°2 - 2016 corrigé
Exercice 2 : divisible par 5 avec n donc disjonction des cas reste de la division de n par 6. 0. 1. 2. 3. 4. 5 n est congru modulo 6 à.
Divisibilité dans Z. Nombres premiers.
Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout n?? que n3 a=n(n2. ?1) a=n(n?1)(n+ 1). Si n=0 alors a=0 et a est divisible par 6.
Corrigé Devoir surveillé n° 1 Terminale S spécialité
2. Pour montrer que pour tout entier naturel n
MULTIPLES DIVISEURS
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf
INF1130 SESSION H13 : SOLUTIONS du DEVOIR 2
Question 1 sur l'induction (30 points) a) Utilisez le principe d'induction pour montrer que pour tout entier n ? 0. (2n + 1)2 ? 1 est divisible par 8.
Eléments de base en arithmétique
Montrer que pour tout entier naturel n l'entier n(n + 1)(n + 2) est divisible par 6. 5. Quels entiers naturels vérifient (n2 + 1)
Divisibilité dans Z.
Nombres premiers.
Exercice
nest un entier naturel.a=n3-netb=2n3+3n2+n1. Démontrer queaet bsont divisibles par 6.2. Démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour toutn∈ℕque
n3+5nest un multiple de 6. Puis retrouver les résultats de la première question.Divisibilité dans Z.
Nombres premiers.
Correction :
1. a=n3-na=n(n2-1)
a=n(n-1)(n+1)Si n=0alorsa=0etaest divisible par 6On suppose maintenant que n∈ℕ*
n-1;n;n+1 sont trois entiers naturels consécutifs donc au moins l'un d'eux est un multiple de 2 et l'un des
trois nombres est un multiple de 3. Doncaest un multiple de 6, c'est à direaest divisible par 6. b=2n3+3n2+nb=n(2n2+3n+1)On factorise 2n2+3n+1
2n2+3n+1=0
Δ=b2-4ac
Δ=9-8
Δ=1
n1=-3-14=-1n2=-3+1
4=-2 4=-122n2+3n+1
=2(n+1)(n+12)=(n+1)(2n+1)On a donc:
b=n(n+1)(2n+1) net n+1sont deux entiers naturels consécutifs donc l'un d'eux est un multiple de 2.Par conséquentbest divisible par 2.
Sin=3pavecp∈ℕalorsbest divisible par 3.
Sin=3p+1 avecp∈ℕalors2n+1=2(3p+1)+1=6p+3=3(2p+1)alors best divisible par 3. Si n=3p+2 avecp∈ℕalorsn+1=3p+2+1=3p+3=3(p+1)alorsbest divisible par 3.Conclusion:best divisible par 6.
2. •Pour n=003+5´0=0 et 0 est un multiple de 6.•On suppose la propriété vraie au rangn, c'est à diren3+5nest un multiple de 6. On doit démontrer que
la propriété est vraie au rang n+1, c'est à dire que(n+1)3+5(n+1)est un multiple de 6 n3+5n est un multiple de 6 donc: il existek∈ℕtel que n3+5n=6k (n+1)3+5(n+1)=(n+1)(n+1)2+5(n+1)Divisibilité dans Z.
Nombres premiers.
=n3+5n+3n2+3n+6=n3+5n+3n(n+1)+6=6k+3n(n+1)+6Ornetn+1sont deux entiers naturels consécutifs donc l'un d'eux est un multiple de 2 donc
n(n+1)est un nombre pair et donc il existek'∈ℕtel que n(n+1)=2k' (n+1)3+5(n+1)=6k+6k'+6 =6(k+k'+1)aveck+k'+1entier naturel •D'après le principe de récurrence, pour toutn∈ℕque n3+5nest un multiple de 6. a=n3-na=n3+5n-6n Or, n3+5nest un multiple de 6 donc il existek∈ℕtel quen3+5n=6k a=6k-6n =6(k-n)doncaest un multiple de 6. b=2n3+3n2+nb=2(n3+5n)+3n(n-3) net n-3sont de parités différentes donc l'un des deux est un multiple de 2 donc: il existek'∈ℕtel quen(n-3)=2k' n3+5n est un multiple de 6 donc il existek∈ℕtel quen3+5n=6kb=12k+6k' b=6(2k+k')donc best un multiple de 6.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que q est dénombrable
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