[PDF] Prépasup 18 avr. 2020 c) La

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Stage Trajectoire Prepa Scientique, du 13 Avril au 18 Avril 2020PrepasupExercice 1 Dire en justiant si les assertions suivantes sont vraies ou fausses : a) La somme, le pro duitde deux nom bresrationnels, l'in versed'un rationnel non n ulest un rationnel. b) La somme, le pro duitde deux nom bresirrationnels est un irrationnel. c) La somme d'un nom brerati onnelet d'un nom breirrationnel est un irration nel. d) Le pro duitd'un nom brerationnel par un nom breirrationnel est un irrationnel.

Solution

Soitx2R, on rappellexest rationnel si et seulement si il existe(a;b)2ZZtels quex=ab :On montre dans ces conditions qu' il existe un unique couple(p;q)2ZNtel quex=pq avecpetqpremiers entre eux. a)

C'est vrai(il sut de l' ecrire).

b) C'est faux. Ain sisi x=y=p2, alorsx+y= 02Q, etxy=22Q. c) C'est vrai. Soit x2Qety2RnQet soitz=x+y. Par l'absurde, supposons quez2Qalors : y=zx2Qce qui n'est pas. Ainsiz =2Q. d) C'est f aux.Ainsi si x= 0 ety =2Q, alorsz=xy= 02Q. Par contre, six2Qn f0g, le resultat est vrai. En eet par l'absurde, si on avaitz=xy2Qavecx6= 0, on auraity=z1x

2Qce qui n'est pas.

Exercice 2

a)

Mon trerque

p3 est irrationnel. b)

Mon trerque p2 +

p3 est irrationnel. c)

Mon trerque

ln2ln3 est irrrationnel. d)

Soit ( a;b;c;d)2Q4.

Que penser de l'assertion :ap2 +bp3 =cp2 +dp3 =)a=cetb=d?

Solution

a) P arl'absurde, si p3 etait dansQ, il existerait (p;q)2N2tel quep3 = pq avec (p;q) premiers ente eux. En elevant au carre, on aurait : (?)p2= 3q2et 3 diviseraitp2. Comme 3 est premier, 3 diviseraitpd'ou l'existence dep02Ntel quep= 3p0. En reportant dans l'egalite (?), on aurait 3p02=q2donc 3 diviseraitq, ce qui contredit (p;q) premiers ente eux.

La contradiction assure quep3 est irrationnel.

b)

P arl'absurde, si p2 +

p3 etait rationnel, alors son carre le serait, donc 5 + 2 p6 serait dansQ. Il en decoulerait quep6 serait dansQ. On adapte alors la preuve faite en a) pour montrer quep6 est irrationnel, ce qui etablit la contradiction et etablit le resultat. c)

T oujourspar l'absurde si

ln2ln3 est rationnel, alors . il existerait (p;q)2N2tel queln2ln3 =pq

On a alorsqln2 =pln3 donc ln(2q) = ln(3p). Par injectivite de la fonction ln, il en resulte que 2q= 3p.

Orqest non nul donc 2qest pair et 3pest impair d'ou la contradiction (aucun entier n'est pair et impair). Ainsi ln2ln3 est irrrationnel. 1 d)Elle est juste. Il sut pour la valider de montrer que pour (;)2Q2, l'egalitep2+p3 = 0 implique :== 0.

Supposons que : (1)p2 +p3 = 0 avec (;)2Q2.

Par passage au carre, on obtient : 22+ 32=2p6.

Par l'absurde, si6= 0 alors on aurait :p6 =22+ 3222Qce qui n'est pas. Ainsi= 0. Mezalors,= 0 ou= 0 et il en decoule en reportant dans (1) que== 0. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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