[PDF] 2. Les fonctions usuelles 1 chx? . ?. Exercice 2.25.

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2.Lesf onctionsusuelles

2.1Théorèmesd'analyseadmis

Théorème2.1.1 - Fonctionsconstantes .Soitunefonction f:I!Rdérivablesuruninter- valleI"R.Lafonction festconstantesi etseulement si#x$I,f (x)=0. Théorème2.1.2 - Théorèmede labijection.Soitunefonction f:I!R.Onnote J=f(I).

Onsupposeque lafonctionfest:

•continuesurI, •strictementmonotonesur I. Alorslafonction fréaliseunebijection del'intervalle Iversl'intervalleJ,etsa bijection récirpoquef &1 :J!Iestunefonction continuestrictement monotonedemême sensquef. Théorème2.1.3 - Dériv ationdelabijectionréciproque.Soitunefonction f:I!Retun pointx 0 $I.Onsuppose que: •feststrictementmonotone surl'interv alleI, •festdériv ableaupointx 0 •f (x 0 )'=0. Onsaitdéjà quefréaliseunebijection del'interv alleIversl'intervalleJ=f(I)etalors,la fonctionf &1 estdériv ableaupointy 0 =f(x 0 )avec (f &1 (y 0 1 f (x 0

Onendéduit quesi

•f:I!Reststrictementmonotone surl'intervalle I, •festdériv ablesurl'intervalleI, •#x$I,f (x)'=0, alorslafonction f &1 estdériv ablesurl'intervallef(I)avec (f &1 1 f (f &1

28Chapitre2.Lesfonctionsusuelles

2.2Fonctionslogar ithme,exponentielle,puissance

2.2.1Fonctionlogar ithme

Definition2.2.1Onappelle fonctionlogarithme,toutefonctionf:R !Rdérivable,différente delafontion nulle,quivérifie larelation fonctionnelle #x$R et#y$R ,f(x)y)=f(x)+f(y) Théorème2.2.1Lesfonctionslog arithmessontles fonctions R !R x*!k) x 1 dt t

2.2.2Fonctionlogar ithmenépérien

Definition2.2.2Sik=1,onappelle logarithme népérienoulog arithmenaturellafonction logarithmeobtenue.Ilestcaractérisé parlne=1. R

Soit"unefonctionlog arithmealors ilexistek$R

telleque"(x)=k)lnx,#x$R Proposition2.2.2Ilexiste uneuniquefonction,notéeln :]0,+![!Rtelleque: (lnx) 1 x (pourtoutx>0)etln 1=0.

Propriété2.2.3Lafonctionlog arithmenépérien vérifie(pourtousx,y>0)lespropriétés sui-

vantes: •ln(x)y)=ln(x)+ln(y) •ln(x n )=nlnx,#n$N •ln x y =lnx&lny •lim x!+! lnx=+!,lim x!0 lnx=&! •lnestune fonctioncontinue,strictement croissanteetdéfinit unebijectionde ]0,+![surR •lim x!0 ln(1+x) x =1 •lafonctionln estconcav eetln x+x&1(pourtout x>0)

2.2Fonctionslog arithme, exponentielle,puissance29

2.2.3Fonctionlogar ithmebasea

Toutefonctionlogarithme"estunebijection deR

versR,ona "(x)=1,klnx=1,lnx= 1 k cark'=0 Donc 1 k admetununique antécédentpourln àsav oira. Definition2.2.3Lenombreaestappelébase dela fonctionlogarithme ".Lafonction "est alorsnotéelog a Definition2.2.4Pourx>0,ondéfinit lelogarithme enbasea$R \{1}par log a x= lnx lna desorteque log a a=1.

Propriété2.2.4#a$R

\{1},#x$R ,#y$R ,#n$Z,ona lespropriétéssui vantes: •log a (xy)=log a x+log a y •log a 1=0 •log a a=1 •log a x y =log a x&log a y •log a 1 y =&log a y •log a (x n )=nlog a x R •Poura=10,onobtient lelogarithme décimallog 10 (10)=1(etdonclog 10 (10 n )=n).

Danslapratique, onutilisel'équi valence:

x=10 y ,y=log 10 x •Eninformatiqueintervient lelog arithmeenbase 2:log 2 (2 n )=n. •Labasede lneste:lne=1.

Étudionslesv ariationsde lafonctionlog

a :#x$R ,log a (x)= 1 xlna •00.Ona letableaude variations suivant : x01+! signedelog a x+ variationsdelog a 0

30Chapitre2.Lesfonctionsusuelles

Onendéduit lesgraphiquesqui suivent :

R

Commelim

x!+! lnx x =0etlim x!0 xlnx=0,(Ox)estunebranche parabolique.

2.2.4Fonctionexponentielle

Lafonctionlog arithmenépérien estcontinueetstrictementcroissantesur I=]0,+![donc d'aprèslethéorème delabijection, elleréaliseune bijectionde]0,+![versJ=f(]0,+![)= R. Definition2.2.5Labijectionréciproque deln:]0,+![!Rs'appellelafonction exponentielle, notéeexp :R!]0,+![. Proposition2.2.5Lafonctione xponentiellevérifie lespropriétéssuivantes: •exp(lnx)=xpourtoutx>0etln (expx)=xpourtoutx$R •exp(x+y)=expx)expy •exp(nx)=(expx) n •exp(x&y)= expx expy •exp:R!]0,+![estunefonct ioncontinue,strictement croissantevérifiantlim x!&! expx=0 etlim x!+! expx=+! •lafonctione xponentielleest dérivableet(expx) =expxpourtoutx$R(ellesatisfait donc l'équationdifférentielle f =f)(*) •lafonctione xponentielle estconvexeet#x$R,expx-1+x(l'inégalitéeststrictesi x$R •onalim x!+! expx x =+!etlim x!&! xexpx=0.

2.2Fonctionslog arithme, exponentielle,puissance31

R Onretrouve (*)delamanièresui vante :commela fonctionlnestdériv ablesurI=]0,![, etque#x$]0,+![,ln (x)'=0,sabijection réciproqueestdéri vable surf(I)=J=Ravec ((ln) &1 1 (ln) (((ln) &1

2.2.5Fonctionexponentielle basea

Lorquea>0eta'=1,lelog arithmeenbase aestunefonction f a continuesurI=R ,etstricte- mentmonotone.D'après lethéorème delabijection, ilréaliseune bijectiondeIversJ=f a (I)=R.

Onnoteexp

a a Definition2.2.6Ondéfinitpour a>0,l'exponentielle debasea: exp a R!R x*!exp(xlna) Proposition2.2.6L'exponentielledebaseavérifiel'équationfonctionnelle : #(x,y)$R 2 ,exp a (x+y)=exp a x)exp a y

Commelafonction f

a estdériv ablesurR ,etque #x$R ,f a (x)'=0,lafonction exp a estdériv able surl'intervalle J=Ret #x$J=R,(exp a x) =lnaexp a x

Étudionslesv ariationsdela fonctionexp

a •01.On aletableau devariations suivant : x&!0+! signedee xp a x+ variationsdeexp a 0 1

Onendéduit lesgraphiquesqui suivent :

32Chapitre2.Lesfonctionsusuelles

R •Ladroited'équation y=x+1esttangenteà lacourbereprésentati vede lafonction exponentielle. •Onae xp e =exp. •Onnoteaussi expxpare x (puissancex-ièmedee=exp1.2,718,lenombre qui vérifielne=1)cequi sejustifiepar lecalcul: e x =exp(xlne)=expx.

Notation2.1.Pourtoutreélx ettout nombrea$R

\{1},a x =exp a x.

Propriété2.2.7#a$R

\{1},#b$R \{1},#x$R,#y$R,l'exponentielle baseavérifieles propriétéssuiv antes: •exp a (x+y)=exp a x)exp a y,a x+y =a x )a y •a 0 =1,a 1 =a •a &x 1 a x •a x&y a x a y •a x )b x =(ab) x a x b x a b x •(a x y =a xy

2.2.6Fonctionpuissance

Definition2.2.7Pour!$R,ondéfinit lafonctionpuissance par: f ]0,+![!R x*!x =e !lnx

Lafonctionf

estdériv ablesurRentantque fonctioncomposée, et#x$R, f (x)=!x !&1

EnnotantI=]0,+![,

•si!=0,f estconstanteet vaut1, •si!>0,f eststrictementcroissante surI, •si!<0,f eststrictementdécroissante surI.

Lorsque!>0,onpeut prolongerf

parcontinuitéen enposant f (0)=0.Étudionsla dérivabilité delafonction ainsiprolongée(encore notéef •si!>1,f estdériv ableen0avecf (0)=0, •si!=1,f estdériv ableen0avecf (0)=1, •si0Comme#!$R ,f estcontinuesur I=]0,+![etstrictementmonotone surI,elleest bijectiv e deIversJ=]0,+![.Onmontre alorsque f &1 =f1 Onales graphiquessuiv antsen fonctiondesv aleursde!:

2.3Fonctionscir culaires (outrigonométriques)inverses (ouréciproques) 33

Propriété2.2.8Soientx,y>0eta,b$R.Lafonction puissancevérifieles propriétéssuiv antes: •x a+b =xquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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