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ERM´eca(1)

?ER?Skieur On ´etudie le mouvement d"un skieurMde massemdescendant une piste selon une pente

faisant un angleαavec l"horizontale. L"air exerce une force de frottement-→F=-k.-→v, o`uk

est un coefficient constant positif et-→vla vitesse du skieur. La neige exerce sur le skieur, une

force de frottement de composante tangentielle-→Tet de composante normale-→N. Les modules

de ces composantes sont reli´es par la relation?-→T?=μ.?-→N?o`uμest appel´e le coefficient de

frottement solide. L"origine de l"axeOx(axe le long de la la pente orient´e dans le sens de la descente) est la

position initiale du skieur, suppos´e partir `a l"instant initial avec une vitesse n´egligeable. On note

Oyla normale `a la piste dirig´ee vers le haut. On prendra pour les applications num´eriques : k= 5u.S.I.,μ= 0,8u.S.I.,m= 75u.S.I.et cosα= sinα=⎷ 2 2.

1)D´eterminer l"unit´eSIdes coefficientsket

2)Faites un sch´ema et calculer les normesTetNdes forces-→Tet-→N.

3) ´Etablir l"´equation diff´erentielle que v´erifie la vitessev. On poseraτ=m k. Montrer que le skieur atteint une vitesse limitevl=mg k.(sinα-μ.cosα) que l"on calculera.

4)Exprimer la vitessevet la positionxdu skieur en fonction det,τetvlseulement.

5)Calculer la datet1pour la quelle le skieur `a une vitesse ´egale `avl

2 6) `A la datet1, le skieur tombe.On n´eglige alorsla r´esistance de l"air et on consid`ere que le

coefficient de frottement sur le sol estmultipli´e par 2.`A l"aide du th´eor`eme de l"´energie cin´etique, calculer la distanceDparcourue par le skieur avant

de s"arrˆeter.

Solution

1)u(k) =N.s.m-1=kg.s-1etμestsans unit´eetsans dimension.

2)Sch´ema similaire `aExM2.9.N=mg.cosα

= 520NetT=μ.mg.cosα= 426N. Attention-→Ts"oppose au mouvement, donc :-→T=-T.-→ex.

3) dv dt+vτ=g(sinα-μ.cosα)avec :τ=mk. Lorsque le skieur atteint la vitesse limitevl,v=Cte=vl=τ.g(sinα-μ.gcosα) donc :vl=mg k.(sinα-μ.cosα) = 20,8m.s-1= 74,8km.h-1

4)L"´equation diff´erentielle lin´eaire que v´erifievadmet pour solution la somme d"une solu-

tion particuli`ere et de la solution de l"´equation sans second membre. La solution particuli`ere correspond `a la vitesse limite. La solution de l"´equationsans second membre est de la forme : v

G=A.e-t

τ. La solution de l"´equation est doncv(t) =A.e-tτ+vl. Et connaissant la vitesse initialev(t= 0) = 0, on en d´eduit :v(t) =vl.(1-e-t

La positionxs"obtient par int´egration de la vitesse par rapport au temps :x=vl.(t+τ.e-tτ)+B.

La constante d"int´egration s"obtient avec la condition initialex(t= 0) = 0.

ERM´eca(1)

?SkieurPTSI-A|2011-2012

Nous obtenonsB=-vl.τ.

Finalement :x(t) =vl.[t+τ.(

-1+e-tτ)]

5)t1=τ.ln2 = 10,4s

6)Appliquons le th´eor`eme de l"´energie cin´etique sur la distanceDde freinage qui s´epare le

point de chuteAdu point de d"arrˆetB:

2m?vl2?

2=-ΔEpg+

?xB x

A-2μ.mgcosα-→ex?dx-→ex

Soit :-??m.v2l

8=??mg.Dsinα-2μ.??mgcosα.D?D"o`u :D=v2l8g.(2μ.cosα-sinα)= 13m

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