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Marcel Délèze

Edition 2017

Thème : cinématique,

2 et 3

Lien vers les énoncés des exercices :

Corrigé de l'exercice 2-1

a)Equation cartésienne le point P x, y appartient à la droite AB les vecteurs AP x-1 y

3 et AB= 4

5 sont colinéaires

le déterminant des vecteurs AP , ABest nul det x 1 4 y 3

5 = 0 (x-1) (-5)-(y-3) 4 = 0

5 x 4 y 17 0 5 x 4 y 17 0 b)Système d'équations paramétriques le point P appartient à la droite AB les vecteurs AP x-1 y

3 et AB= 4

5 sont colinéaires

le vecteur AP est un multiple du vecteur AB AP= k·ABoù k est un nombre réel appelé paramètre x 1 y

3 = k·4

5 x = 1+4 k

y 3 5 k

Interprétation géométrique:

k indique par combien il faut multiplier le vecteur AB pour obtenir le vecteur AP. c )Autre système d'équations paramétriques On peut choisir librement l'équation paramétrique d'une composante (n'importe quelle fonction affine non constante x mt p m

0 ) puis calculer l'équation paramétrique

de l'autre composante au moyen de l'équation cartésienne de la trajectoire : x 4 t y 5 x 17

4=-5 (4 t)+17

4= -5 t+17

4

d)Méthode cinématique : nous interprétons le paramètre k comme désignant le temps et le

système d'équations paramétriques comme décrivant l'horaire d'un mouvement rectiligne uniforme:

à l'instant k=2, le mobile a la position

r 2 5 2

à l'instant k=7, le mobile a la position

r 7 1 3

Déplacement

r r 7 r 2 -4 5

Durée

k 7 2 5

Vitesse v

r k= -0.8 1

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Horairer

k v k k 0 r k 0 -0.8

1 (k-2)+5

2 = -0.8 k + 6.6

k

4 = x (k)

y k

Corrigé de l'exercice 2-2

a)Sytème d'équations paramétriques le point P appartient à la droite AB les vecteurs AP et ABsont colinéaires le vecteur AP x 1 y 3 z 2 est un multiple du vecteur AB= 4 5 3 AP= k·ABoù k est un nombre réel appelé paramètre x 1 y 3 z 2 k 4 5 3 x = 1+4 k y 3 5 k z 2 3 k

b)Méthode cinématique : nous interprétons le paramètre k comme désignant le temps et le

système d'équations paramétriques comme décrivant l'horaire d'un mouvement rectiligne uniforme :

à l'instant k=5, le mobile a la position

r 5 1 3 2

à l'instant k=12, le mobile a la position

r 12 5 2 1

Déplacement

r r 12 r 5 4 5 3

Durée

k 12 5 7

Vitesse v

r k= 1 7 4 5 3

Horairer

k v k k 0 r k 0 1 7 4 5 3 k 5 1 3 2 4 7 k 13 7 5 7 k 46
7 3 7 k 29
7 x k y k z k

2 2_et_3-cinematique-cor.nb

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Corrigé de l'exercice 2-3

y 1 3 x 1 5

2= 3 k +5

2 x 2 2 y 2 5

3= -2 t+5

9

Corrigé de l'exercice 2-4

représentation graphique de courbes paramétrées

ParametricPlot

3

2 t, 4

5 t 5

3 t, 7

2 t t, 2, 1 rapport d'aspect

AspectRatio

automatique

Automatic

2468
5 10

élimine

Eliminate

x 3

2 k, y

4 5 k , k 23
2 y 5 x

élimine

Eliminate

x 5

3 t, y

7 2 t , t 11 3 y 2 x réduis

Reduce

3 2 k 5 3 t 4 5 k 7 2 t, k, t k 5

19&& t -16

19

2_et_3-cinematique-cor.nb 3

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Corrigé de l'exercice 2-5

représentation graphique de courbes paramétrées

ParametricPlot

2

3 t, 1

5 t 5 2 t, 6 4 t t, 0, 10 rapport d'aspect

AspectRatio

automatique

Automatic

510152025

50
40
30
20 10 v 1 3 5, v 1 =3 2 5 2 =34 5.831 v 2 2 4, v 2 =2 2 4 2 =20 4.472 réduis

Reduce

x 2 3 t1 y 1 5 t1 x 5 2 t2 y 6 4 t2, x, y, t1, t2 x

19 && y

34 && t1

7 && t2

7 Oui, les deux mobiles se rencontrent au point (19, -34) à l'instant t=7.

4 2_et_3-cinematique-cor.nb

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Corrigé de l'exercice 2-7

Enclenchons le chronomètre à l'instant où le premier mobile passe au point (6; -2). L'horaire du

premier est r 1 t -2 2 t+6 2 Les deux mobiles se rencontrent à l'instant t=4, c'est-à-dire au point r 1 4 -2 2 4+6

2 = -2

6

La vitesse du deuxième mobile est donc

v 2 r 2 t= -2 6-10 10 4 0 -3 1

L'horaire du deuxième mobile est donc

r 2 t -3

1 t+10

10

Corrigé de l'exercice 2-8

Déterminons d'abord l'équation cartésienne de la trajectoire du premier mobile

élimine

Eliminate

x t, y 1 2 t , t 1 y 2 x Calculons ensuite le point de rencontre, c'est-à-dire l'intersection des deux trajectoires réduis

Reduce

2 x y 1 0 3 x y 2 0, x, y x

3 && y

7 L'heure de la rencontre est égale à l'heure du passage du premier au point d'intersection réduis

Reduce

3 t 7 1

2 t, t

t 3

La vitesse du deuxième mobile est donc

v 2 r 2 t= 3 7-0 2 3 0 1 3

L'horaire du deuxième mobile est donc

r 2 t 1 3 t+0 2

2_et_3-cinematique-cor.nb 5

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Corrigé de l'exercice 2-9

réduis

Reduce

x 2 3 t1 y 1 5 t1 z 2 t1 x 5 2 t2 y 6 4 t2 z 5, x, y, z, t1, t2 False L'ensemble des solutions est vide donc les deux trajectoires ne se coupent pas. Par ailleurs, les deux trajectoires ne sont pas parallèles donc les deux trajectoires sont g auches.

Corrigé de l'exercice 2-10

réduis

Reduce

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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