[PDF] STT-1920 Méthodes statistiques Solutions des exercices du chapitre 4

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Solutions des exercices du chapitre 4

Num (a)

La moyenne.

(b) (c) Le 95 ecentile. (d) Le 5 ecentile.

Solution.

(a) moyenne de la loiF23;29=29

29¡2=29

27

¼1:074:

(b)

2£292(23 + 29¡2)

23(29¡2)2(29¡4)=p

0:20063¼0:448:

(c) le 95 ecentile de la loiF23;29=F23;29;0:05= 1:910: (d) le 5 ecentile de la loiF23;29=F23;29;0:95=1 F

29;23;0:05=1

1:967= 0:5084:

Num La distribution des poids des sacs remplis par la machine A est la loiN(2:080;(0:050)2). La distribution des poids des sacs remplis par la machine B est la loiN(2:050;(0:050)2). (a) Quel pourcentage des sacs remplis par la machine A pµesent moins de 2 kg? (b) Quel pourcentage des sacs remplis par la machine B pµesent moins de 2 kg? Je choisis au hasard 24 sacs remplis par la machine A et 30 sacs remplis par la machine B. Je calcule x A,sA, x B,sB. (c)

Je m'attends µa ce que

x A¡ x

Bsoit environ

, plus ou moins environ (d)

Je m'attends µa ce ques2

A=s2

Bsoit environ

, plus ou moins environ Petites questions portant sur la matiµere du chapitre deux. Je poseN=le nombre de sacs pesant moins de 2 kg parmi les 24 sacs remplis par la machine A. (e) 1 (f) (g) (h)

Comment calcule-t-onP[N¸4]?

Solution.

(a) P[X·2] =P[Z·(2:00¡2:08)=0:05] =P[Z· ¡1:60] = 0:0548: (b) P[Y·2] =P[Z·(2:00¡2:05)=0:05] =P[Z· ¡1:00] = 0:1587: (c)

On utilise le fait que

X A¡ X

B»Nµ

A¡¹B;¾2µ1

n A+1 n

Ici »ca donne

X A¡ X

B»Nµ

2:08¡2:05;(0:05)2µ1

24
+1 30
c'est-µa-dire X A¡ X

B»N(0:03;0:0001875):

On s'attend donc µa ce que

X A¡ X

Bsoit environ 0.030, plus ou moins environp

0:0001875¼0:014.

(d)

On utilise le fait que

S 2 A=S2

B»FnA¡1;nB¡1:

Ici »ca donne

S 2 A=S2

B»F23;29:

donc µa ce queS2 A=S2

Bsoit environ 1.074, plus ou moins environ 0.448.

(e) On obtientN»binomiale(n;p), avecn= 24 etp= 0:0548. (f)

E[N] =np= 24£(0:0548) = 1:3152.

(g) N=p np(1¡p) =p

24£0:0548£0:9452 = 1:1150.

(h) P[N¸4] = 1¡(P[N= 0] +P[N= 1] +P[N= 2] +P[N= 3]) = 1¡½µ24 (0:0548)0(0:9452)24+µ24 (0:0548)1(0:9452)23

µ24

(0:0548)2(0:9452)22+µ24 = 1¡(0:2586 + 0:3598 + 0:2399 + 0:1020) = 0:0398: 2 Num un bon modµele pour la population A et que la loiN(¹B;¾2B) est un bon modµele pour la population B. Obtenez un intervalle de con¯ance de niveau 90% pour le rapport

Solution.On utilise l'intervalle

1 p F n1¡1;n2¡1;® 2 s 1 s 2;1 p F n1¡1;n2¡1;1¡® 2 s 1 s 2! Ici on as1= 20:60 ets2= 8:20.µA l'aide de la table de la loi de Fisher, on obtient F n1¡1;n2¡1;® 2 =F15;20;0:05= 2:203 F n1¡1;n2¡1;1¡® 2 =F15;20;0:95=1 F

20;15;0:05=1

2:328= 0:4296:

On insµere tout »ca dans l'intervalle ci-dessus et on obtient l'intervalle (1:69;3:83). Num plus petit dans le casn1= 25 etn2= 31 ou dans le casn1= 38 etn2= 41? Solution.Dans les deux cas, lep-valueest la surface µa droite de 1.887 sous la sont grand et plus la surface µa droite de 1.887 est petite. Lep-valueest donc plus petit avecn1= 38 etn2= 41 qu'avecn1= 25 etn2= 31. D'ailleurs, avec le logiciel

R j'obtiens

Surface µa droite de 1.887 sous laF37;40= 0:0255 Surface µa droite de 1.887 sous laF24;30= 0:0500 Num

65:06 71:44 67:93 69:02 67:28 62:34 66:23 64:16

68:56 70:45 64:91 69:90 65:52 66:75 68:54 67:90

On suppose que la loi normale avec moyenne¹1et variance¾2est un bon modµele 3

66:00 71:79 65:19 67:25 65:12 61:17

69:72 64:04 67:93 63:95 63:85 68:82

67:54 63:22 61:82 66:81 65:40 69:02

On suppose que la loi normale avec moyenne¹2et variance¾2est un bon modµele On veut tester l'hypothµese nulleH0:¹1=¹2contre l'alternativeH1:¹1> ¹2. (a) (b) au seuil 1%. Au seuil 1%, est-ce que vous acceptez ou est-ce que vous rejetez l'hypothµese nulle? (c)

Quel est votrep-value?

(d)

Solution.

(a)

On rejetteH0siT¸tn1+n2¡2;®, avec

T= X 1¡ X 2 S cq 1 n 1+1 n 2= X 1¡ X 2 S cq 1 16 +1 18 t n1+n2¡2;®=t32;0:01= 2:449 (b)

On obtient

x

1= 67:2494s1= 2:4553

x

2= 66:0356s2= 2:8255

s c=s (n1¡1)s21+ (n2¡1)s22 n

1+n2¡2=r

15£(2:4553)2+ 17£(2:8255)2

32
= 2:6584:quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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