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Cours de mathématiques

Première annéeExo7

2

SommaireExo7

1Logique et raisonnements. ........................................9

1

L ogique

9 2

R aisonnements

14

2Ensembles et applications. ......................................19

1

Ensembles

20 2

Applications

23
3

Injection, surjection, bijection

25
4

Ensembles finis

29
5

R elationd"équivalence

36

3Nombres complexes. ............................................41

1

L esnombres comple xes

41
2 R acinescar rées,équation du second degr é 45
3

Ar gumentet trigonométrie

48
4

Nombres comple xeset géométrie

52

4Arithmétique. ...................................................55

1

Division euclidienne et pgcd

55
2

Théor èmede Bézout

59
3

Nombres premiers

63
4

Congruences

66

5Polynômes. ......................................................73

1

Définitions

73
2

Arithmétique des polynômes

76
3

R acined"un polynôme, factorisation

80
4

F ractionsrationnelles

85

6Groupes. ........................................................89

1

Gr oupe

89
2

Sous-gr oupes

94
3

Morphismes de gr oupes

96
4

L egr oupeZ/nZ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5

L egr oupedes per mutationsSn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7Les nombres réels. .............................................107

1

L "ensembledes nombres rationnels Q.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2

P ropriétésde R.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3

Densité de QdansR.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4

Bor nesupérieure

116 3

4SOMMAIRE

8Les suites. ......................................................121

1

Définitions

121
2

Limites

124
3

Ex emplesremar quables

130
4

Théor èmede conver gence

135
5

Suites r écurrentes

140

9Limites et fonctions continues. .................................147

1

Notions de fonction

148
2

Limites

152
3

Continuité en un point

158
4

Continuité sur un inter valle

163
5

F onctionsmonotones et bijections

166

10Fonctions usuelles. .............................................173

1

L ogarithmeet e xponentielle

173
2

F onctionscirculaires inverses

177
3

F onctionshyperboliques et hyperboliques inverses

180

11Dérivée d"une fonction. .........................................185

1

Dérivée

186
2

Calcul des dérivées

189
3

Extremum local, théor èmede R olle

193
4

Théor èmedes accr oissementsfinis

197

12Zéros des fonctions. ............................................203

1

La dichotomie

203
2

La méthode de la sécante

208
3

La méthode de Newton

212

13Intégrales. .....................................................217

1

L "intégralede Riemann

219
2

P ropriétésde l"intégrale

225
3

P rimitived"une fonction

228
4 Intégration par par ties- Changement de variable 234
5

Intégration des fractions rationnelles

238

14Développements limités. .......................................243

1

F ormulesde T aylor

244
2 Développements limités au voisinage d"un point 250
3 Opérations sur les développements limités 253
4

Applications des développements limités

257

15Courbes paramétrées. ..........................................263

1

Notions de base

264
2

T angenteà une courbe paramétr ée

271
3

P ointssinguliers - Branches infinies

277
4

Plan d"étude d"une courbe paramétr ée

284
5

Courbes en polaires : théorie

291
6

Courbes en polaires : e xemples

298

SOMMAIRE5

16Systèmes linéaires. .............................................303

1 Intr oductionaux systèmes d"équations linéaires 303
2

Théorie des systèmes linéaires

307
3

R ésolutionpar la méthode du pivot de Gauss

310

17L"espace vectorielRn............................................317

1

V ecteursde Rn.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

2

Ex emplesd"applications linéaires

320
3

P ropriétésdes applications linéaires

326

18Matrices. .......................................................333

1

Définition

333
2

Multiplication de matrices

336
3

Inverse d"une matrice : définition

341
4

Inverse d"une matrice : calcul

343
5 Inverse d"une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires 346
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques 353

19Espaces vectoriels. .............................................361

1

Espace vectoriel (début)

361
2

Espace vectoriel (fin)

365
3

Sous-espace vectoriel (début)

369
4

Sous-espace vectoriel (milieu)

373
5

Sous-espace vectoriel (fin)

376
6

Application linéaire (début)

383
7

Application linéaire (milieu)

385
8

Application linéaire (fin)

388

20Dimension finie. ................................................395

1

F amillelibre

395
2

F amillegénératrice

400
3 Base 402
4

Dimension d"un espace vectoriel

408
5

Dimension des sous-espaces vectoriels

413

21Matrices et applications linéaires. ...............................419

1

R angd"une famille de vecteurs

419
2

Applications linéaires en dimension finie

425
3

Matrice d"une application linéaire

432
4

Changement de bases

438

22Déterminants. ..................................................447

1

Déter minanten dimension 2et3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

2

Définition du déter minant

451
3

P ropriétésdu déter minant

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