[PDF] Les statistiques descriptives et les intervalles de confiance

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Statistiques

descriptives v.a. continues v.a. discrètes

Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLes statistiques descriptives et les intervalles de confiance

Yohann.Foucher@univ-nantes.fr

Equipe d"Accueil 4275 "Biostatistique, recherche clinique et mesures subjectives en santé", Université de Nantes

Odontologie - Cours #2

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confiance v.a. continues v.a. discrètesPlan

1. Statistiques descriptives

v.a. continues v.a. discrètes

2. Intervalle de confiance

v.a. continues v.a. discrètes

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1. Statistiques descriptives

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2. Intervalle de confiance

v.a. continues v.a. discrètes

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesDeux grandes catégories d"indicateurs

Les statistiques dites de localisation.

Les statistiques dites de dispersion.* Auteur : Christophe Dang Ngoc Chan

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1. Statistiques descriptives

v.a. continues v.a. discrètes

2. Intervalle de confiance

v.a. continues v.a. discrètes

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLes indicateurs de localisation

La moyenne

est l"indicateur de localisation le plus fréquemment utilisé. SoitXcette v.a. dont on observeNexpériences :x1,x2, ..., x N. x=P N i=1xiN =x1+x2+:::+xNN

La médiane

est la v aleurqui par tagel"échantillon en deux groupes de même effectif. Pour le calcul, ordonner les valeurs observées :

1:1;7:8;9:9;3:3;5:4

1:1;3:3;5:4;7:8;9:9

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLes indicateurs de localisation Le 1er quartile (Q1)est la v aleurqui identifie le quar tdes données inférieures.

Le 2nd quartile

est aussi la médiane ... Le 3ème quartile (Q3)est la v aleurqui identifie le quar tdes données supérieures.

Le mode

est la v aleurla plus représentée .

Le minimum

est la v aleurla plus f aible.

Le maximum

est la v aleurla plus f orte.

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLes indicateurs de dispersion

La variance

mesure la v ariabilitéautour de la mo yenne. s 2=P N i=1(xix)2N1

L"écart-type

respecte la même unité que la v ariance(plus facile à interpréter) s=ps 2 L"intervalle interquartiles (IQ)est la distance entre le 1er et le

3ème quartile.

L"étendue

est la distance entre le minim umet la maxim um.

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesQuelques conventions Grands échantillons :1moyenne (écart-type)2moyenne (minimum-maximum) Petits échantillons :1médiane (intervalle interquartiles)

2médiane (minimum-maximum)

Problèmes liés à la moyenne :

Sensible aux valeurs extrêmes (en particulier pour les petits

échantillons).

N"a de sens que pour des lois symétriques et unimodales.9 / 30

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesQuelques conventions Grands échantillons :1moyenne (écart-type)2moyenne (minimum-maximum) Petits échantillons :1médiane (intervalle interquartiles)

2médiane (minimum-maximum)

Problèmes liés à la moyenne :

Sensible aux valeurs extrêmes (en particulier pour les petits

échantillons).

N"a de sens que pour des lois symétriques et unimodales.9 / 30

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLes règles à respecter pour un graphique

Libellés des deux axes.

Unités des deux axes.

Légende explicite.

Titre.

Eviter les couleurs ou la 3D sauf nécessité.

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLa boite à moustache a1est la plus petite valeur supérieure àQ11:5IQ a3est la plus grande valeur inférieure àQ3+1:5IQ Les valeurs en dehors de ces bornes sont "extrêmes"Construction de la boite `a moustaches

Moyenne

a1a3

Premier quartile

Troisieme quartile

Mediane

04 -4 -a1est la plus petite valeur sup´erieure `aQ1-1.5×IQ -a3est la plus grande valeur inf´erieure `aQ3+ 1.5×IQ, o`uIQ=Q3-Q1est l" intervalle interquartile Les valeurs en dehors de ces bornes sont des valeurs "extrˆemes" qui sont repr´esent´ees par des points. En g´en´eral, lorsque la moyenne est sup´erieure `a la m´ediane c"est le signe que la distribution est ´etal´ee vers la droite (et inversement).

19* Auteur : Hélène Guérin

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLa boite à moustache pour comparer deux groupes

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLa boite à moustache pour décrire une

évolution

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesL"histogramme (les rectangles sont contigus)

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesL"histogramme pour comparer deux groupes

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confiance v.a. continues v.a. discrètesPlan

1. Statistiques descriptives

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2. Intervalle de confiance

v.a. continues v.a. discrètes

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesContexte général On s"intéresse à un v.a. aléatoire discrèteXàpmodalités à partir d"un échantillon de tailleN:Modalitésx

1x2...xpEffectifsN

1N2...Np

Fréquencesf

1=N1=N f2=N2=N...fp=Np=NDeux représentations couramment utilisées :

le graphique en bâtons le camembert le graphique en araignée

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesGraphique en bâtons

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesGraphique en bâtons

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesCamembert

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesGraphique en araignée

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesLes tableaux de contingence On s"intéresse à 2 v.a. aléatoires discrètes.

Exemple : Tests diagnostiques.Test diagnostique

T +TTotal

StatutM+ab a+b

de référenceMcd c+dTotala+c b+dN

Le statut de référence est défini par le

gold standard

Deux types d"erreurs :

bfaux négatifs : sujets ayant un test négatif alors qu"ils sont malades. cfaux positifs : sujets ayant un test positif alors qu"ils sont sains.

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1. Statistiques descriptives

v.a. continues v.a. discrètes

2. Intervalle de confiance

v.a. continues v.a. discrètes

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1. Statistiques descriptives

v.a. continues v.a. discrètes

2. Intervalle de confiance

v.a. continues v.a. discrètes

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesIntervalle de confiance

Soit un échantillon de tailleNetx1,x2,,xNles

observations d"une variable aléatoire continue. La moyenne de la population () est estimée parx.

SiN>30 (TCL), alors on sait aussi que

X N(;s=pN)

En centrant et réduisant, on obtient :

Xs=pN N(0;1) Pour obtenir l"intervalle de confiance à 95% de la moyenne estimée, on cherche l"intervalle à l"intérieur duquel on a 95% de chance de retrouver la moyenne théorique de la population :

Pr(1:96

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confiance v.a. continues v.a. discrètesIntervalle de confiance

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Intervalle de

confiance v.a. continues v.a. discrètesIntervalle de confiance Pr

1:96 <1:96 =0:95 Pr

X1:96spN

< 95%() =h

x1:96spN i

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confiance v.a. continues v.a. discrètesIntervalle de confiance

Exemple

On cherche à estimer l"âge moyen au diagnostic d"un cancer du sein. On observe une moyenne xde 58 ans et l"écart-type estimé de l"âge est à 30 ans (échantillons de 100 femmes).

Quelle est

l"intervalle de confiance de la moyenne? IC

95%() =h

581:9630p100

i = [52:12;63:88] Si on réalise 100 échantillons comme celui-ci, on attend 95 moyennes estimées comprises entre 52 et 63 ans.

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