[PDF] Cours de Statistiques inférentielles





Previous PDF Next PDF



Modalités de passage en classe supérieure 2020-2021

3 sept. 2020 Tout élève de 2nde C admis en classe supérieure passe en 1ère C s'il satisfait à la condition suivante : Moyenne Annuelle Math + Moyenne ...





Résumé du Cours de Statistique Descriptive

15 déc. 2010 appliquer les techniques de statistiques descriptives au moyen du ... Démonstration Le minimum M(a b) en (a



TD n° 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 7 13 8 10 9 12 10 8 9 10 6 14

L'écart quadratique moyen de la série : s. est minimum lorsque a y ... c) Quelle est la probabilité de voir passer au moins 10 étoiles en un quart ...



Reglement general Licence - 2020-2022-App CFVU 23-07-20

23 juil. 2020 règlement qui s'applique est celui de l'établissement d'inscription de l'étudiant.e. Article 1er : organisation générale des parcours de ...



Cours de Statistiques inférentielles

Cette fois il s'agit d'estimer certaines caractéristiques statistiques de la loi (moyenne variance



Exercices Corrigés Statistique et Probabilités

Codification : S : Sport C : Cinéma



Exercices corrigés

Écrire une fonction minMaxMoyqui reçoit une liste d'entiers et qui renvoie le minimum le maximum et la moyenne de cette liste.



LA COMPENSATION : COMMENT ÇA MARCHE ?

Il s'agit donc du calcul de la moyenne générale coefficientée du semestre. Exemple : semestre 1 session 1. UE 1 : 12/20 coefficient 12. UE 2 : 08/20 



7 Lois de probabilité

puisque la probabilité de passer le cap des 2 ans est de 0.2 par le problème précédant suit une loi P (?) où ? est le nombre moyen en 10 min.

Licence 2-S4 SI-MASS

Année 2018Cours de Statistiques inférentielles

Pierre DUSART

2

Chapitre1Lois statistiques

1.1 Introduction

Nous allons voir que si une variable aléatoire suit une certaine loi, alors ses réalisations (sous forme

d"échantillons) sont encadrées avec des probabilités de réalisation. Par exemple, lorsque l"on a une énorme

urne avec une proportionpde boules blanches alors le nombre de boules blanches tirées sur un échan-

tillon de taillenest parfaitement défini. En pratique, la fréquence observée varie autour depavec des

probabilités fortes autour depet plus faibles lorsqu"on s"éloigne dep.

Nous allons chercher à faire l"inverse : l"inférence statistique consiste à induire les caractéristiques in-

connues d"une population à partir d"un échantillon issu de cette population. Les caractéristiques de

l"échantillon, une fois connues, reflètent avec une certaine marge d"erreur possible celles de la population.

1.1.1 Fonction de répartition

La densité de probabilitép(x)ou la fonction de répartitionF(x)définissent la loi de probabilité d"une

variable aléatoire continueX. Elles donnent lieu aux représentations graphiques suivantes :Figure1.1 - fonction répartition

La fonction de distribution cumuléeF(x)exprime la probabilité queXn"excède pas la valeurx:

F(x) =P(Xx):

De même, la probabilité que X soit entreaetb(b > a) vaut

P(a < X < b) =F(b)F(a):

4CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES1.1.2 Grandeurs observées sur les échantillons

L"espéranceE(X)d"une variable aléatoire discrèteXest donnée par la formule

E(X) =X

ix iP(xi): L"espérance est également appelée moyenne et notée dans ce casX. Sa variance2Xest l"espérance des carrés des écarts avec la moyenne :

2X=E[(XX)2] =X

i(xiX)2P(xi) =X ix

2iP(xi)2X:

Son écart-typeXest la racine positive de la variance.

1.2 Lois usuelles

1.2.1 Loi normale ou loi de Gauss

Une variable aléatoire réelleXsuit une loi normale (ou loi gaussienne, loi de Laplace-Gauss) d"espérance

et d"écart type(nombre strictement positif, car il s"agit de la racine carrée de la variance2) si cette

variable aléatoire réelleXadmet pour densité de probabilité la fonctionp(x)définie, pour tout nombre

réelx, par : p(x) =1 p2e12 (x )2: Une telle variable aléatoire est alors dite variable gaussienne.

Une loi normale sera notée de la manière suivanteN(;)car elle dépend de deux paramètres(la

moyenne) et(l"écart-type). Ainsi si une variable aléatoireXsuitN(;)alors

E(X) =etV(X) =2:

Lorsque la moyennevaut 0, et l"écart-type vaut 1, la loi sera notéeN(0;1)et sera appelée loi normale

standard. Sa fonction caractéristique vautet2=2. Seule la loiN(0;1)est tabulée car les autres lois (c"est-

à-dire avec d"autres paramètres) se déduise de celle-ci à l"aide du théorème suivant : SiYsuitN(;)

alorsZ=Y suitN(0;1). On notela fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : (x) =P(Z < x) avecZune variable aléatoire suivantN(0;1).

Propriétés et Exemples :(x) = 1(x),

(0) = 0:5;(1:645)0:95;(1:960)0:9750

Pourjxj<2, une approximation depeut être utilisée; il s"agit de son développement de Taylor à

l"ordre 5 au voisinage de 0 : (x)0:5 +1p2 xx36 +x540

Inversement, à partir d"une probabilité, on peut chercher la borne pour laquelle cette probabilité est

effective. Cours Proba-Stat / Pierre DUSART5Notation : on noteraz=2le nombre pour lequel

P(Z > z=2) ==2

lorsque la variable aléatoire suit la loi normale standard.risque0:010:020:050:10valeur critiquez=22:582:331:961:645coefficient de sécuritéc99%98%95%90%

A l"aide des propriétés de la loi normale standard, on remarque que le nombrez=2vérifie également

P(Z < z=2) =

P(Z

P(z=2< Z < z=2) =

P(jZj> z=2) =

La somme de deux variables gaussiennes indépendantes est elle-même une variable gaussienne (stabilité) :

SoientXetYdeux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les loisN(1;1)et N(2;2). Alors, la variable aléatoireX+Ysuit la loi normaleN(1+2;p

21+22).

1.2.2 Loi du2(khi-deux)

Définition 1SoitZ1;Z2;:::;Zune suite de variables aléatoires indépendantes de même loiN(0;1).

Alors la variable aléatoireP

i=1Z2isuit une loi appeléeloi du Khi-deuxàdegrés de liberté, notée 2(). Proposition 1.2.11. Sa fonction caractéristique est(12it)=2.

2. La densité de la loi du2()est

f (x) = 12 =2(=2)x=21ex=2pourx >0

0sinon.

oùest la fonction Gamma d"Euler définie par(r) =R1

0xr1exdx.

3. L"espérance de la loi du2()est égale au nombrede degrés de liberté et sa variance est2.

4. La somme de deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement2(1)et2(2)suit

aussi une loi du2avec1+2degrés de liberté. PreuveCalculons la fonction caractéristique deZ2lorsqueZsuitN(0;1). '(t) =E(eitZ2) =Z 1 1 eitz21p2ez2=2dz 1p2Z 1 1 e12 (12it)z2dz 1p2Z 1 1e 12 u2(12it)1=2dten posantu= (12it)1=2z '(t) = (12it)1=2 Maintenant pour la somme devariablesZ2iindépendantes, on a '(t) = (12it)=2:

6CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUESMontrons maintenant que la fonction de densité est correcte. Pour cela, calculons la fonction caractéris-

tique à partir de la densité : '(t) =E(eitx) =Z +1 0 eitx12 =2(=2)x=21ex=2dx 12 =2(=2)Z +1 0 x(1=2it)xdx 12 =2(=2)1(1=2it)(1=2it)=21Z +1 0 u=21euduen posantu= (1=2it)x 12 =2(=2)1(1=2it)=2Z +1 0 u=21eudu |{z} =(=2) '(t) =1(12it)=2

Calculons maintenant l"espérance et la variance. Selon la définition de la loi du2, chaque variable

Z isuit la loi normale centrée réduite. AinsiE(Z2i) =V ar(Zi) = 1etE(P i=1Z2i) =. De même, V(Zir) =E(Z4i)(E(Z2i))2=41:On sait que pour une loi normale centrée réduite4= 3donc

V ar(Z2i) = 2etV ar(P

i=1Z2i) = 2: La dernière proposition est évidente de par la définition de la loi du2.

Fonction inverse: on peut trouver une tabulation de la fonction réciproque de la fonction de répartition

de cette loi dans une table (en annexe) ou sur un logiciel tableur :

7!2;(FonctionKHIDEUX.inverse(;));

c"est-à-dire la valeur de2;telle queP(2()> 2;) =. Exemple : Pour= 0:990et= 5,2= 0:554 =20:99;5.Figure1.2 - fonction2inverse

1.2.3 Loi de Student

Définition 2SoientZetQdeux variables aléatoires indépendantes telles queZsuitN(0;1)etQsuit

2(). Alors la variable aléatoire

T=ZpQ=

suit une loi appeléeloi de Studentàdegrés de liberté, notéeSt().

Cours Proba-Stat / Pierre DUSART7Proposition 1.2.21. La densité de la loi de la loi de Student àdegrés de liberté est

f(x) =1p +12 )(=2)1(1 +x2=)+12

2. L"espérance n"est pas définie pour= 1et vaut 0 si2. Sa variance n"existe pas pour2et

vaut=(2)pour3.

3. La loi de Student converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

Remarque : pour= 1, la loi de Student s"appelle loi de Cauchy, ou loi de Lorentz.

1.2.4 Loi de Fisher-Snedecor

Définition 3SoientQ1etQ2deux variables aléatoires indépendantes telles queQ1suit2(1)etQ2 suit2(2)alors la variable aléatoire

F=Q1=1Q

2=2 suit une loi de Fisher-Snedecor à(1;2)degrés de liberté, notéeF(1;2).

Proposition 1.2.3La densité de la loiF(1;2)est

f(x) =(1+22 )(1=2)(2=2) 1 2

1=2x1=21(1 +

1 2x) 1+22 six >0 (0sinon):

Son espérance n"existe que si23et vaut2

22. Sa variance n"existe que si25et vaut22

2(1+22)

1(22)2(24).

Proposition 1.2.41. SiFsuit une loi de FisherF(1;2)alors1F suit une loi de FisherF(2;1).

2. SiTsuit une loi de Student àdegrés de liberté alorsT2suit une loi de FisherF(1;).

1.2.5 Fonctions inverses et TableurLoiNotationVariableFct RépartitionV. critiqueFonction inverse

GaussN(0;1)Zloi.normale.standard(z)z

loi.normale.standard.inverse(1)Khi-Deux 2()K

2khideux(k;;1)

;1;2inverse.Loi.f(;1;2))

8CHAPITRE 1. LOIS STATISTIQUES

Chapitre2Convergences

2.1 Convergence en probabilité

2.1.1 Inégalités utiles

Inégalité de Markov simplifiée

SoitYune v.a.r.,gune fonction croissante et positive ou nulle sur l"ensemble des réels, vérifiantg(a)>0,

alors

8a >0;P(Ya)E(g(Y))g(a):

Preuve

E(g(Y)) =Z

g(y)f(y)dy=Z Y