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Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse

statistique de formes et des images

J´er´emie Bigot

Institut de Math

´ematiques de Toulouse

Universit

´e de Toulouse

Workshop MASCOT NUM - Anestis" Fiesta

Mars 2011

Collaboration avec Anestis Antoniadis, S

´ebastien Gadat, Fabrice

Gamboa, Sophie Lambert-Lacroix, Fr

´ed´erique Letu´e, Jean-Michel

Loubes, Cl

´ement Marteau, Myriam Vimond

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Motivations

1Motivations

2Choix d"une distance

3Moyenne de Fr´echet

4Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Mesure de dissimilarit´e

ACP g´eom´etrique

5Statistique non-param´etrique et mod`eles d´eformables

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Motivations

Probl´ematique

Objectif :comparer des objets pr´esentant des caract´eristiques similaires et extraire des informations sur la loi de distribution de ces objets Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Motivations

Probl´ematique

Observations :collection den“objets"Yi,i=1,...,nqui peuvent etre : des courbes ou des images i.e.Yi: Ω→RavecΩ?Rdpour d=1,2,3 des points dans le planYi?R2k(ensemble deklandmarks dans R 2) courbes param´etr´ees i.eYi: [0,1]→Rppourp=2,3 Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Motivations

Variabilit´e d"un ensemble de donn´ees

L"Analyse en Composante Principale(ACP)est tr`es utilis´ee pour visualiser les principaux modes de variabilit

´e d"un ensemble de

donn

´ees autour de leur moyenne

SoitYi,i=1,...,ndes variables al´eatoires iid`a valeur dans un espace de HilbertH.

Moyenne empirique¯Yn=1n?

n i=1YiSiH=Rp, ACP = diagonaliser la matrice de covariance S=1 nn i=1(Yi-¯Yn)(Yi-¯Yn)?, et on d

´efinit

-le premier mode de variation par¯Yn±⎷λ1ˆw1 -le deuxi`eme mode de variation par¯Yn±⎷λ2ˆw2 o `uˆw1,ˆw2,...sont les premiers vecteurs propres deSassoci´es aux plus grandes valeurs propresλ1≥λ2≥...≥0 Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Choix d"une distance

1Motivations

2Choix d"une distance

3Moyenne de Fr´echet

4Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Mesure de dissimilarit´e

ACP g´eom´etrique

5Statistique non-param´etrique et mod`eles d´eformables

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Choix d"une distance

Le probl`eme du choix d"une distance

Id´ee :la comparaison d"objets repose sur le choix d"une bonne distance Mod`ele utilis´e classiquement : choix d"unedistance euclidienned surHassoci´ee`a un produit scalaire d(y,y?) =?y-y??H=? ?y-y?,y-y??Hpoury,y?? H Le choix d"une distance induit des statistiques sp

´ecifiques

Distance euclidienne?moyenne usuelle dansH

Yn=1 nn i=1Y i=argmin y?Hn i=1?Yi-y?2 H

Questions :

le choix de la distance euclidiennesurHest-il bien adapt´ee`a la comparaison d"images ou de formes? ¯Ynest-il toujours dans“le mˆeme espace"que lesYi? Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Choix d"une distance

Espace des formes de Kendall

Soitx1,...,xkdes points dansR2(vecteur dansR2kouCk) D ´efinition d"une forme (Kendall (1984)) :“Shape is what remains when location, size, and rotational effects are filtered out"

Standardisation (

´echelle + translation)

τ(x1,...,xk) =(

(x1-¯x ??k j=1?xj-¯x?2

R2,...,xn-¯x

??k j=1?xj-¯x?2 R2) o `u¯x=1k? k j=1xj?R2 Pre-shape space :τ(x1,...,xk)?S2k-3?=F2k-2∩S2k-1, o`u F

2k-2={(x1,...,xk)?R2k:k?

j=1x j=0} S

2k-2={(x1,...,xk)?R2k:k?

j=1?xj?2 R2=1} Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Choix d"une distance

Espace des formes de Kendall

Soitθ:R2→R2une rotation dans le plan autour de l"origine.

Equivalence de deux pr

´e-formesτ1,τ2?S2k-3?:

1≂τ2s"il existeθtel queθ(τ1) =τ2

o `uθ(τ) =?θτ1,...,θτk?pourτ= (τ1,...,τk)?R2×k

Espace des formes de Kendall :ensemble de classes

d"

´equivalence

k

2={[τ] :τ?S2k-3?},

o `u[τ]est la classe d"´equivalence deτpour la relation≂ Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Choix d"une distance

Construction d"une distance surΣk

2 Soitτ1,τ2?S2k-3?, la distance (g´eod´esique) entreτ1etτ2donn´ee par d g(τ1,τ2) =cos-1(?τ1,τ2?), (avec?·,·?produit scalaire usuel surCk) induit une distance surΣk 2

On peut montrer que pour[τ1]et[τ2]:

Proposition (Procrustean distance)

˜d([τ1],[τ2]) =cos-1(|?τ1,τ2?|) =cos-1( (|k? j=1τ

1,jτ?2,j|)

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Choix d"une distance

Espace des formes = vari´et´e Riemannienne

Proposition (Vari´et´e Riemannienne)

(Σk

2,˜d)est une vari´et´e Riemannienne de dimension2k-4

Diff

´erences avec le cas Euclidien(Ck,? ?Ck)

Σk

2n"est pas un espace lin´eaire car “[τ1] + [τ2]/?Σk

2"˜dn"est pas une distance associ´ee`a un produit scalaire euclidien

Probl `emes : comment d´efinir une moyenne surΣk

2?comment d´efinir une notion d"ACP?

-siY? Halors on d´efinit pourv? Hl"op´erateur de covariance

IEY?Y,v?H(=EYY?v= ΣvsiH=Rp)

-si[Y]?Σk

2alors “IE[Y]?[Y],[v]?" n"a pas d"´equivalent simple!

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Moyenne de Fr´echet

1Motivations

2Choix d"une distance

3Moyenne de Fr´echet

4Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Mesure de dissimilarit´e

ACP g´eom´etrique

5Statistique non-param´etrique et mod`eles d´eformables

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Moyenne de Fr´echet

Moyenne au sens de Fr´echet

Definition

SoitXune variable al´eatoire de loiP`a valeur dans un espace m ´etrique(M,d). Une moyenne (pas n´ecessairement unique!) au sens de Fr ´echet de la distributionPest un pointx?qui est un minimumglobalde la fonction

F(x) =?

M d2(x,y)dP(y)etx??argmin x?MF(x) Lamoyenne empiriqueau sens de Fr´echet est donn´e par la distribution empirique associ

´ee`a un´echantillonX1,...,Xnde loiPi.e.

Xn?argmin

x?Mn i=1d

2(x,Xi)

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Moyenne de Fr´echet

Moyenne au sens de Fr´echet - cas euclidien

Proposition

SiMest un espace de Hilbert muni de la distance euclienne usuelle alors la moyenne de Fr

´echet est unique et correspond`a la notion de

moyenne usuelle x ?=EX=? M ydP(y), et Xn=1 nn i=1X i Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images

Moyenne de Fr´echet

Moyenne au sens de Fr´echet - propri´et´es statistiques

Question :convergence quandn→+∞de

Xn?argmin

x?Mn i=1d

2(x,Xi)

vers x ??argmin x?M? M d2(x,y)dP(y) R

´ef´erences

R. Bhattacharya and V. Patrangenaru. Large sample theory of intrinsic and extrinsic sample means on manifolds (i). Annals of statistics, 31(1) :1-29, 2003. R. Bhattacharya and V. Patrangenaru. Large sample theory of intrinsic and extrinsic sample means on manifolds (ii). Annals of statistics, 33 :1225-1259, 2005. Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

1Motivations

2Choix d"une distance

3Moyenne de Fr´echet

4Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Mesure de dissimilarit´e

ACP g´eom´etrique

5Statistique non-param´etrique et mod`eles d´eformables

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique Observations :collection den“objets"Yi,i=1,...,nqui peuvent etre : des courbes ou des images i.e.Yi: Ω→RavecΩ?Rdpour d=1,2,3 des points dans le planYi?R2k(ensemble deklandmarks dans R 2) Probl `eme :comment choisir un espaceMet une distance (Riemannienne)dpour mod´eliser les donn´ees? Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Choix d"une action de groupe

Une possibilit´e (dans cette direction) :se donner un groupeGde transformations qui agit sur l"espace de HilbertH

Principe :soitg?Gety? H

on note par·l"action deGsurH on supposeg·y? Hpour tout(g,y)?G× H Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Choix d"une action de groupe

Exemple d"action de groupes pourH=R2×k

Espace des formes -choix de

G=R2×S1×R+

groupe des transformations “affines" (translation + rotation + scaling) du plan, et pourg= (b,θ,a)?Gety?R2×kon d´efinit g·y=aRθy+( (1 1) )b? o `u R

θ=?cos(θ)sin(θ)

-sin(θ)cos(θ)? Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Choix d"une action de groupe

Exemple d"action de groupes pourH=L2([0,1])

D´eformation rigide de courbes 1D -choix de

G=R groupe des translations, et pourg=b?Gety?L2([0,1])on d

´efinit

g·y(t) =y(t-b),t?[0,1] Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Choix d"une action de groupe

Exemple d"action de groupes pourH=L2([0,1]2)

D´eformation rigide d"images 2D -choix de

G=R2×S1×R+

groupe des translations et rotations, et pourg= (b,θ,a)?Get y?L2([0,1]2)on d´efinit g·y(u) =y(aRθ(u-b)),u?[0,1]2 avec R

θ=?cos(θ)sin(θ)

-sin(θ)cos(θ)? Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

D´eformation rigide d"images 2D

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

Choix d"une action de groupe

Exemple d"action de groupes pourH=L2(Ω)avecΩ?Rd D´eformation non-rigide de courbes ou d"images -choix de

G={φ: Ω→Ω}

groupe de diff

´eomorphismes deΩi.e. tel que

φ(Ω) = Ω =φ-1(Ω),

et pourg=φ?Gety?L2(Ω)on d´efinit g·y(u) =y(φ(u)),u?Ω Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Action de groupe

D´eformation non-rigide d"images 2D

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Mesure de dissimilarit´e

Choix de “distances" non-euclidiennes

Th´eorie des formes de Grenander (1993) :variabilit´e g´eom´etrique des images sous l"action d"un groupe de Lie Espace des formes ou des images :H=R2×kouH=L2(Ω)

Espace des d

´eformations :Ggroupe (de Lie) agissant surH

Mesure de dissimilarit

´e induite parG:poury,y??L2(Ω)

d

2G(y,y?) =infg?G?

?y-g-1·y?? ?2

H+λD(g,e)?

,o`uλ≥0

Interpr

´etation ded2Gdans le casλ=0

d

2G(y,y?) =0s"il existeg?Gtel que

y=g-1·y? Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Mesure de dissimilarit´e

Estimation par moyenne de Fr´echet

Observations :Y1,...,Ynvariables al´eatoires iid`a valeur dansH Sch ´ema g´en´eral d"estimation(registration/warping/alignment) yn=argmin y?H1 nn i=1d

2G(y,Yi)

=argmin y?H1 nn i=1infg i?G? ?g-1 i·Yi-y? ?2

H+λD(gi,e)?

Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Mesure de dissimilarit´e

Estimation par moyenne de Fr´echet

Observations :Y1,...,Ynvariables al´eatoires iid`a valeur dansH Sch ´ema g´en´eral d"estimation(registration/warping/alignment) Etape 1Estimation des param`etres de d´eformations g1,...,ˆ gn) =argmin (g1,...,gn)?Gn? ?1 nn i=1? ?g-1 i·Yi-1 nn j=1g -1 j·Yj? ?2

H+λD(gi,e)?

Etape 2Alignement puis moyenne usuelle des donn´ees yn=1 nn i=1ˆ g-1 i·Yi Moyenne de Fr´echet pour l"analyse statistique de formes et des images Mesures de dissimilarit´e et ACP g´eom´etrique

Mesure de dissimilarit´e

Exemple : moyenne de courbes

G=S1- groupe de translation

Donn ´ees :courbesYi?L2([0,1])shift´ees al´eatoirement + bruit Y i(x) = f(x-gi)+Wi(x),pourx?[0,1],etgitranslations al´eatoires iid

Courbe

f/ Sous-´echantillon de 10 donn´ees (n=200)

00.10.20.30.40.50.60.70.80.910.2

0.25 0.3 0.35quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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