[PDF] Chapitre III. Observation dun couple de variables

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Chapitre III. Observation d"un couplede variables

1) Distribution conjointe et tableau de contingence

On observe simultan

´ement 2 variablesXetYsur un´echantillon den individus d"une population donn ´ee. A chaque individu de l"´echantillon est donc associ

´e un couple de r´eponses`aXetY.

On notera(xi;yi)la r´eponse`a(X;Y)pour l"individu num´eroide l" ´echantillon. On notera aussiKetK0les nombres de modalit´es (ou de classes dans le cas d"une variable quantitative continue) deXet deY.

Pour des variables quantitatives discr

`etes ou des variables qualitatives, les ensemble des modalit

´es pourront alors s"´ecrire

M

X=fm1;:::;mKg

et M

Y=fm01;:::;m0K0g

1

Comme dans le cas d"une seule variable, les donn

´ees peuventˆetre

pr ´esent´ees sous la forme d"un tableau d"effectifs o`u, pour chaque couple de modalit ´es, on a compt´e le nombre d"individus ayant pour r´eponse ce couple de modalit

´es.

Ce tableau est appel

´ee

tableau de contingence ou distribution conjointe en effectifs de(X;Y) XnY m 01 m 02 m 0j m 0K0 m 1 n 11 n 12 n 1j n 1K0 m 2 n 21
n 22
n 2j n 2K0 m i n i1 n i2 n ij n iK0 m K n K1 n K2 n Kj n KK0 2

On a donc un tableau

`aKlignes (Nbre de modalit´es deX) etK0 colonnes (Nbre de modalit

´es deY) avec les effectifs pour lesK£K0

couples de modalit ´es(mi;m0j), (1·i·K,1·j·K0). Par exemple, a l"intersection de lai`eme ligne et de laj`eme colonne, l"effectif n ij repr ´esente le nombre d"individus de l"´echantillon ayant`a la fois les modalit

´es (r´eponses)

m i pourXet m 0j pourY. La somme desK£K0effectifsnij(1·i·K,1·j·K0) est´egale`a n, ce qui se traduit par la formule suivante: K X i=1K 0X j=1n ij=n 3

On peut

´egalement remplacer les effectifs par les fr´equences. Pour ceci, il suffit de diviser chaque effectif parn, f ij=nij n

Le tableau obtenu repr

´esentera alors la

distribution (conjointe) en fr

´equences deXetY

La somme des fr

´equences est´egale`a 1 (ou100%s"il s"agit de pourcentages), c"est- `a-dire, K X i=1K 0X j=1f ij= 1: Note:Le tableau de contingence est beaucoup plus lisible que la liste des donn ´ees brutes mais r´esulte en une perte d"information. En effet,`a partir du tableau de contingence, on ne peut pas reconstituer la liste des donn

´ees

brutes (alors que le contraire est possible), en particulier on ne peut pas conna ˆıtre le couple de r´eponses`a(X;Y)pour un individu donn´e. 4

2) Distributions marginales

A partir de la distribution (conjointe) deXetY, on peut en d´eduire la distribution marginale deX (appel

´ee aussi distribution deX) et la

distribution marginale deY (ou distribution deY). Le mot "marginal" vient du fait qu"on les pr

´esente souvent en "marge" du tableau de

contingence, en parall `ele`a la liste de modalit´es.

Effectifs marginaux:

l"effectif marginal de la modalit

´emi

deX correspond au nombre d"individus dont la r

´eponse`aXestmi. On le note

n i² et on l"obtient en faisant la somme desK0effectifs sur lai`eme ligne, n i1;ni2;:::;niK0, ce qui se traduit par la formule: n i²=K 0X j=1n ij Note:Le "point" en deuxi`eme position signifie donc que l"on somme sur le deuxi `eme indicej(iest fix´e). 5 De m

ˆeme, on peut calculer

l"effectif marginal de la modalit

´em0j

deY en faisant la somme desKeffectifs sur laj`eme colonne: n

²j=KX

i=1n ij La fr

´equence marginale de la modalit´emi

est not

´ee

f i² et est

´egale`a

l"effectif marginal n i² (somme des effectifs de lai`eme ligne) divis

´e par

la taille de l"

´echantillon

n De m

ˆeme la

fr

´equence marginale de la modalit´em0j

est not

´ee

f ²j et est egale`a l"effectif marginal n ²j (somme des effectifs de laj`eme colonne) divis

´e par

la taille de l"

´echantillon

n 6 Le tableau ci-dessous est le tableau de contingence avec les marges (en effectifs). XnY m 01 m 02 m 0j m 0K0

Marge X

m 1 n 11 n 12 n 1j n 1K0 n 1² m 2 n 21
n 22
n 2j n 2K0 n 2² m i n i1 n i2 n ij n iK0 n i² m K n K1 n K2 n Kj n KK0 n K²

Marge Y

n ²1 n ²2 n ²j n

²K0

n 7 Notons que la somme des effectifs marginaux deXest´egale`an,PK i=1ni²=n. Idem pour les effectifs marginaux deY,PK0 j=1n²j=n. Ce tableau fournit les 3 distributions (en effectifs): la distribution (marginale) deX(derni`ere colonne) avec ses modalit´es (1`ere colonne), la distribution (marginale) deY(derni`ere ligne) avec ses modalit´es (1`ere ligne) et la distribution conjointe deXetY(`a l"int´erieur du tableau) avec ses couples de modalit

´es(mi;m0j),i= 1;:::;K,j= 1;:::;K0.

8

Exemple 1: Notes d"

´etudiants et fili`eres d"´etude

XnY [0;6[ [6;10[ [10;14[ [14;20]

TotalX

Fili `ereA 26
6 4 1 37
Fili `ereB 12 9 3 1 25
Fili `ereC 1 4 5 6 16 Fili `ereD 10 8 3 1 22

TotalY

49
27
15 9 n=100

Sur les 100

´etudiants de l"´echantillon, il y a donc, par exemple,n²2= 27 etudiants (toutes fili`eres confondues) qui ont une note comprise entre 6 et

10 et il y a enn3²= 16qui sont issus de la fili`ere C (quelque soit leur

note). 9

Exemple 5: Couleurs des yeux et des cheveux

XnY Brun Noir Roux Blond

TotalX

Marron

113
72
7 39
231

Gris-vert

38
41
10 27
116
Bleu 20 17 8 53
98

TotalY

171
130
25
119
n = 445

Sur les 445

´el`eves de l"´echantillon, il y a donc, par exemple,n²1= 171 el`eves qui ont les cheveux bruns (quelque soit la couleur de leur yeux) et il y a enn2²= 116qui ont les yeux gris-vert (quelque soit la couleur de leur cheveux). 10

3) Distributions conditionnelles

A partir d"un couple de variables donn

´e(X;Y), on peut d´efinir les

distributions conditionnelles deXet les distributions conditionnelles de Y.

Etant donn

´e une modalit´em0jdeY, on d´efinit la

distribution conditionnelle deXsachantY=m0j (appel

´ee aussi distribution deX

conditionn ´ee par une modalit´em0jdeYou plus simplementdistribution conditionnelle deXY=m0j) comme la distribution deXrestreinte au sous-

´echantillon

(c"est- `a dire une partie, un sous-groupe de l"´echantillon) des seuls individus dont la r

´eponse (la modalit´e)`aYestm0j.

De m ˆeme,´etant donn´e une modalit´emideX, on d´efinit la distribution conditionnelle deYsachantX=mi (oudistribution conditionnelle deYX=mi) comme la distribution deYrestreinte au sous-´echantillon des seuls individus dont la r

´eponse (la modalit´e)`aXestmi.

11

Par la suite par souci de simplicit

´e dans les notations,Xm0j(resp.Ymi)

pourra d ´esignerXY=m0j(resp.YX=mi), pour toutj= 1;:::;K0(resp. pour touti= 1;:::;K). La distribution conditionnelle deXm0j(en effectifs et en fr´equences) est donn

´ee dans le tableau ci-dessous:

mod.X m 1 m 2 m i m K Tot. Eff. n 1j n 2j n ij n Kj n ²j Fr

´eq.

n

1j=n²j

n

2j=n²j

n ij=n²j n

Kj=n²j

1

Pour obtenir les fr

´equences de la distribution conditionnelle deXm0j, on a divis ´e chaque effectif par le total des effectifs de laj`eme colonne,`a savoir n

²j. On notera

f ijj=nij=n²j, la fr´equence conditionnelle deXm0j associ

´ee`a la modalit´emi

12

Attention! La distribution conditionnelle en fr

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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