[PDF] CQP 099 - Mathématiques de base - Chapitre 2 Polynômes

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CQP 099 - Mathématiques de base

Chapitre 2

Polynômes

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

14 août 2018

Chapitre 2 - Polynômes1 / 29

Introdution

Dans ce chapitre, nous définissons d"abord les notions de constante, de variable et de terme, pour en arriver à la définition d"un polynôme. Nous faisons la distinction entre le degré d"un terme et le degré d"un polynôme. Nous étudions également les opérations sur les polynômes : la somme, la différence, le produit et le quotient, qui seront très utiles dans les chapitres suivants. Les polynômes sont, en quelque sorte, la matière première des fonctions algébriques. Par conséquent, il est essentiel de bien les connaître et de savoir les manipuler.

Chapitre 2 - Polynômes2 / 29

Plan du chapitre

1Définitions

2Addition et soustraction de polynômes

3Multiplication de polynômes

4Division de polynômes

5Références

Chapitre 2 - Polynômes3 / 29

Définitions

1Définitions

2Addition et soustraction de polynômes

3Multiplication de polynômes

4Division de polynômes

5Références

Chapitre 2 - Polynômes4 / 29

Définitions

Unevariableest une quantité qui peut prendre n"importe quelle valeur d"un ensemble donné. Uneconstanteest une quantité qui a une valeur fixe. On utilise souvent les dernières lettres de l"alphabet (x,y,z) pour désigner les variables, et les premières lettres de l"alphabet (a,b,c,:::) pour représenter les constantes dont on ne précise pas la valeur numérique. Untermeest une expression algébrique formée du produit d"une constante (coefficient) et de variables, chaque variable étant affectée d"un exposant entier positif

ou nul. Un terme qui ne contient pas de variable est appeléterme constant.Chapitre 2 - Polynômes5 / 29

Définitions

Question éclair 2.1

Complétez le tableau suivant.

Chapitre 2 - Polynômes6 / 29

Définitions

Unpolynômeest une expression algébrique formée d"une somme ou une différence de termes. Unmonômeest un polynôme composé d"un seul terme, tandis qu"unbinômeest un polynôme composé de deux termes et untrinômeest un polynôme composé de trois termes. Les polynômes composés de quatre termes et plus ne portent pas de noms particuliers.

Chapitre 2 - Polynômes7 / 29

Définitions

Question éclair 2.2

Parmi les expressions suivantes, indiquez lesquelles sont des polynômes. x2+5x+3 x2 +1 2x +1

3x+px5

3x+p25

r2h+2rhChapitre 2 - Polynômes8 / 29

Définitions

Question éclair 2.3

Soit les expressions

x2+5x+3 x3 x2 +1 2x +1

3x+px5

r2h+2rh p2 xy2+3x2y5y px a)

Quelles e xpressionssont des monômes ?

b)

Quelles e xpressionssont des binômes ?

c)

Quelles e xpressionssont des tr inômes?

Chapitre 2 - Polynômes9 / 29

Définitions

Ledegré d"un termeest la somme des exposants qui affectent ses variables. Le degré d"un terme constant est 0.

Ledegré d"un polynômeest le plus grand des degrés de ses termes.Chapitre 2 - Polynômes10 / 29

Définitions

Question éclair 2.4

Complétez le tableau suivant.

Chapitre 2 - Polynômes11 / 29

Définitions

Exercices 2.1

Chapitre 2 - Polynômes12 / 29

Addition et soustraction de polynômes

1Définitions

2Addition et soustraction de polynômes

3Multiplication de polynômes

4Division de polynômes

5Références

Chapitre 2 - Polynômes13 / 29

Addition et soustraction de polynômes

On peut effectuer, sur des polynômes, les mêmes opérations élémentaires que sur les nombres réels, soit l"addition, la soustraction, la multiplication et la division. Pour additionner deux polynômes, il suffit d"additionner les coefficients destermes semblables, c"est-à-dire les termes qui ont les mêmes variables affectées des mêmes exposants. Pour soustraire un polynômeQd"un polynômeP(c"est-à-dire pour effectuer l"opération PQ), il suffit d"additionner àPl"opposé deQ. L"opposéd"un polynômePest le

polynômePqu"on obtient en multipliant tous les coefficients dePpar1.Chapitre 2 - Polynômes14 / 29

Addition et soustraction de polynômes

Question éclair 2.5

Effectuez les opérations suivantes.

a)(3x24x1) + (5x2+7x3) b)(t32t23t+5)(3t3+4t23t5) c)(2x2y+5xy+7y2) + (2x2y5xy+3y2) d)(4m2n+3n6m)(2m+n+4nm2)Chapitre 2 - Polynômes15 / 29

Addition et soustraction de polynômes

Exercices 2.2

Chapitre 2 - Polynômes16 / 29

Multiplication de polynômes

1Définitions

2Addition et soustraction de polynômes

3Multiplication de polynômes

4Division de polynômes

5Références

Chapitre 2 - Polynômes17 / 29

Multiplication de polynômes

La multiplication d"expressions algébriques fait appel aux propriétés des exposants. Avec des variables, ces propriétés sont identiques à celles qui s"appliquent aux nombres réels. Simetnsont des entiers positifs : x mxn=xm+n (xm)n=xmn x

0=1 six6=0

Pour multiplier deux termes, il faut d"abord multiplier les coefficients, puis multiplier les variables ensembles. Pourmultiplier deux polynômes, il suffit de multiplier chaque terme du premier par chaque terme du deuxième. On utilise ici la propriété de distributivitéde la multiplication sur l"addition : a(b+c) =a(b+c) =ab+ac =ab+acChapitre 2 - Polynômes18 / 29

Multiplication de polynômes

Question éclair 2.6

Effectuez les opérations suivantes.

a)

5 xy(3x22y2)

b)2(9x2) +2x(2x1) c)(3t5)(2t+4) d)(3u+2v)(2u3v)Chapitre 2 - Polynômes19 / 29

Multiplication de polynômes

Lorsqu"on additionne, qu"on soustrait ou qu"on multiplie deux polynômes, on obtient toujours un polynôme.

Chapitre 2 - Polynômes20 / 29

Multiplication de polynômes

Exercices 2.3

Chapitre 2 - Polynômes21 / 29

Division de polynômes

1Définitions

2Addition et soustraction de polynômes

3Multiplication de polynômes

4Division de polynômes

5Références

Chapitre 2 - Polynômes22 / 29

Division de polynômes

La division de polynômes est plus complexe que les trois opérations vues précédemment. Il est possible de diviser deux polynômes, mais le résultat n"est cette fois-ci pas toujours un polynôme. Avant d"arriver à diviser deux polynômes, on s"attarde

à des cas plus simples.

On s"intéresse d"abord au calcul du quotient de deux monômes. Pour diviser deux monômes, on divise d"abord les coefficients, puis on divise les variables semblables en soustrayant les exposants. Cela nous amène à la notion de division d"un polynôme par un monôme. Pour y arriver, on divise chaque terme du polynôme par ce monôme.

Chapitre 2 - Polynômes23 / 29

Division de polynômes

Question éclair 2.7

Effectuez les divisions suivantes six6=0.

a)

2x212x+96x

b)

12x510x48x3+3x4x3Chapitre 2 - Polynômes24 / 29

Division de polynômes

Ladivision de polynômess"effectue sensiblement de la même façon que la division de deux nombres entiers, en cherchant un quotient et, éventuellement, un reste. Ainsi, pour diviser un polynômePpar un polynômeS, on cherche un polynômeQ (appeléquotient) et un polynômeR(appeléreste) tels que PS =Q+RS

où soitR=0, ou encore le degré deRest inférieur au degré deS.Chapitre 2 - Polynômes25 / 29

Division de polynômes

Question éclair 2.8

Effectuez les divisions suivantes.

a)

20x27x+104x3

b)(9t3+18t211t+2)(3t24t+1)Chapitre 2 - Polynômes26 / 29

Division de polynômes

Exercices 2.4

Chapitre 2 - Polynômes27 / 29

Références

1Définitions

2Addition et soustraction de polynômes

3Multiplication de polynômes

4Division de polynômes

5Références

Chapitre 2 - Polynômes28 / 29

Références

A. Bolduc.

Math-o-matique.

Guérin, 2000.M. Gingras.

Mathématique d"appoint, 4e édition révisée.

Chenelière Éducation, 2011.J. Hamel.

Mise à niveau mathématique, 2e édition.

Éditions du renouveau pédagogique, 2017.Chapitre 2 - Polynômes29 / 29quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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