[PDF] Multiplication et division Multiplication et division. 1) Typologie

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Multiplication et division

1) Typologie des problèmes

On peut représenter les problèmes sous forme de schéma avec les lettres A, B, C, D. L'inconnue est A, B, C ou D.

Situation de proportion simple avec présence de l'unité

Problème de multiplication

" J'ai collé 32 timbres sur chaque page d'un album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l'album ? »

1 ࢻ 32

14 ࢻ D

D = B x C

Problème de partage

" la valeur d'une part » = division partition, on partage un nombre par un autre. " J'ai collé 448 timbres dans un album de 14 pages. Il y a le même nombre de timbres sur chaque page. Combien y a-t-il de timbres sur chaque page ? »

1 ࢻ C

14 ࢻ 448

D = B x C ou D = (B x C) + r (r compris entre 0 et B)

Problème de groupement

" le nombre de parts» = division quotition, on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre. " J'ai collĠ 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ? »

1 ࢻ 14

B ࢻ 448

D = B x C ou D = B x C + r (r compris entre 0 et C) Situation de proportion simple sans présence de l'unitĠ

A ࢻ B

C ࢻ D

Ces problèmes sont résolus en faisant intervenir des procédures liées à la proportionnalité.

objet A ࢻ (C fois plus ou C fois moins) ࢻ objet B

Situation de produit de mesures

Problème de multiplication " Quel est le nombre de carreaux d'une page quadrillée de 25 sur 60 carreaux ? »

Modélisation : tableau à double entrée.

Problème de division

" Jean a 4 chemises différentes. Combien doit-il acheter de pantalons pour avoir 20 façons de s'habiller ? »

Modélisation : équation (20 = 4 * x)

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2) Procédures de résolution

Problèmes de multiplication

Proportionnalité simple avec présence de l'unité J·ML MŃOHPp 6 NRvPHV GH 4 ŃUM\RQV. Combien ai-je de crayons ? ༃ Utiliser un support ou un schéma ࢻ avec des bâtons par ex. ༄ Faire des additions ࢻ 6 + 6 + 6 + 6 = 24 ༅ Faire des multiplications ࢻ 6 x 4 = 24 J·ai acheté 48 boîtes de 6 crayons. Combien ai-je de crayons ? ༃ Faire des additions (procédure coûteuse !) en regroupant les termes ༄ Faire une multiplication ࢻ 48 x 6 = 288 J·ai acheté 48 boîtes de 34 crayons. Combien ai-je de crayons ? ༄ Faire une multiplication avec éventuellement une calculatrice ࢻ 48 x 34 = 1632

Produit de mesures

Combien puis-je composer de menus différents avec 3 entrées, 4 plats et 2 desserts ? ༃ Écriture de tous les couples possibles ༄ Arbre de dénombrement ༅ Tableau à double entrée ༆ Raisonnement (à chaque entrée on associe 4 plats, ce qui donne 4 x 3, etc.)

Problèmes de division

On range 273 ±XIV dans des boîtes de 12. Combien de boîtes peut-on remplir ?

༇ Pose de la multiplication à trou ࢻ c'est souvent une première étape vers une procédure plus élaborée

༉ Essais par approches successives ࢻ 12 x 30 puis 12 x 25 puis 12 x 15 puis 12 x 20... pour se rapprocher de 273.

༊ Quotients partiels au hasard ࢻ l'élève fait un essai de multiple puis retire ce multiple au dividende. Il recommence

་ Quotients partiels au hasard avec des multiples de 10. ༌ Utilisation de la division.

X et Y petits

X grand et Y petit

X et Y grands

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Reconnaître si un nombre est un multiple de n

༃ Chercher si le nombre dans la table de multiplication " prolongée » ༄ Essayer des nombres k tels que n x k soit égal au nombre cherché ༅ Diviser le nombre donné par n pour voir si le reste est nul ༆ Utiliser une propriété connue ࢻ les multiples de 5 se terminent par 0 ou 5, etc.

3) Variables didactiques

Pour tous les problèmes : - la familiarité avec le contexte Pour les problèmes résolus avec une multiplication ou une division

ͻ Type de problème : les " proportion simple » sont plus faciles que les " problèmes de mesure ».

ͻ Types de nombres utilisés : les nombres décimaux à virgule sont problématiques.

ͻ Taille des nombres

ͻ Outils de calculs disponibles ou non

Pour les problèmes résolus avec une division

ͻ Edžistence ou non d'un reste

4) Erreurs et difficultés fréquentes

Pour les problèmes avec des nombres entiers uniquement

ͻ Erreur dans le choix de la procédure de résolution : due au contexte ou à l'énoncé, quand certains mots prêtent à

ͻ Erreur dans l'exécution de la procédure ou dans l'interprétation de calculs effectués

ͻ Erreurs de calcul

Pour les problèmes avec des nombres à virgule

ͻ Difficulté à faire intervenir la multiplication : dans des problèmes du type " Un kilo de sucre coûte 5,70 Φ. J'ai acheté

0,735 kilos de sucre. Combien ai-je payé ? », les élèves ont du mal à voir qu'il faut multiplier 5,70 par 0,735.

ͻ Difficulté lorsque " la division ne s'arrête pas » : c'est le cas de 12/13 par exemple. Il faut donner une réponse

forcément imprécise.

ͻ Diviser un entier par un nombre à virgule n'est pas au programme de primaire. Il faut trouver de nouvelles procédures

pour ce type de problèmes (ex : Combien de fois je peux avoir 9,25 dans 74 ? Au lieu de diviser simplement 74 par 9,25).

Difficultés dans les calculs de la multiplication ͻ Distributivité, commutativité, associativité de la multiplication

ͻ Techniques opératoires :

- les tables ne sont pas parfaitement mémorisées - la décomposition en base 10 n'est pas automatique

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- les retenues sont mal gérées (certains élèves les traitent comme celles des additions) - les calculs ne sont pas faits dans l'ordre - le " décalage » qui correspond à l'existence d'un 0 n'est pas pris en compte.

Difficultés dans les calculs de la division

ͻ La diǀision fournit deux résultats qu'il faut interpréter : le quotient et le reste

ͻ Techniques opératoires :

- il faut considérer le dividende " de gauche à droite » - la division exige d'effectuer simultanément des divisions, multiplications, soustractions - si on ne pose pas les soustractions partielles, le calcul devient très complexe - les chiffres écrits pour le quotient sont provisoires et peuvent changer !

Difficultés dans la notion de multiple

ͻ Confusion multiple et multiplication : 24 est-il un multiple de 3 ? ࢻ 24 x 3 ͻ Si Y est multiple de X, cela ne veut pas dire que X est multiple de Y

ͻ Extension abusive des propriétés de certains nombres : 18 est multiple de 4 car 8 est dans la table de 4.

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